Proportionalität

Grundidee

Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht Proportionalität, wenn sie in jedem zusammengehörigen Wertepaar im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Bei Messwerten kann man auch von näherungsweiser Proportionalität sprechen, wenn die Quotienten der zusammengehörigen Wertepaare ähnlich sind.

Proportionale Größen sind verhältnisgleich. Das bedeutet: Wird eine Größe verdoppelt, verdreifacht oder halbiert, dann wird die andere Größe ebenfalls verdoppelt, verdreifacht oder halbiert. Allgemein geht die Größe b aus der Größe a durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervor. Dieses Verhältnis b:a heißt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante.

Mathematische Definition

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten x und Funktionswerten y. Sie hat die Form:

y = m · x

Dabei ist m ein konstanter Proportionalitätsfaktor mit m ≠ 0. Da es bei Proportionalität gleichwertig ist, ob y aus x durch Multiplikation mit einem festen Faktor entsteht oder umgekehrt x aus y, gilt auch:

x = 1/m · y

Der Faktor m = 0 ist dabei unzulässig.

Zwei Variablen sind proportional zueinander, wenn das Verhältnis ihrer zusammengehörigen Werte xi und yi konstant ist. Als Gleichung:

yi/xi = m

Proportionalität liegt also genau dann vor, wenn dieses Verhältnis m konstant ist. Wenn m reell ist, kann es positiv oder negativ sein.

Graph und Abgrenzung

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität. Bei einem linearen Zusammenhang zweier Größen sind nicht unbedingt die Werte selbst proportional, sondern nur die Veränderungen bezogen auf ein bestimmtes Wertepaar. Die grafische Darstellung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei reellen Größen ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade.

Bei Proportionalität ist diese Gerade eine Ursprungsgerade: Sie geht durch den gemeinsamen Nullpunkt. Ihre Steigung wird durch den Proportionalitätsfaktor bestimmt.

Manchmal wird Proportionalität auch direkte Proportionalität genannt. Davon unterschieden wird die indirekte, inverse, umgekehrte oder reziproke Proportionalität. Dabei ist eine Größe proportional zum Kehrwert der anderen Größe. Dann ist nicht der Quotient der beiden Größen konstant, sondern ihr Produkt. Der Graph einer solchen Beziehung ist eine Hyperbel und geht nicht durch den Nullpunkt.

Der Dreisatz setzt eine proportionale Funktion voraus.

Typische Beispiele

Der Kreisumfang ist proportional zum Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl π = 3,14159… . Bei einem Kauf ist die Mehrwertsteuer proportional zum Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, zum Beispiel 0,19 = 19 %. Für Gegenstände aus dem gleichen Metall ist die Masse näherungsweise proportional zum Volumen; der Proportionalitätsfaktor ist die Dichte. An einem Widerstand ist bei konstanter Temperatur die Stromstärke meist näherungsweise proportional zur Spannung; der Proportionalitätsfaktor ist der elektrische Widerstand.

Ein Zahlenbeispiel zur Dichte: Für Öl sind in einer Tabelle die Werte Volumen x in m³ und Masse y in t angegeben: 1 m³ entspricht 0,8 t, 3 m³ entsprechen 2,4 t, 7 m³ entsprechen 5,6 t. Der Quotient y/x, also Masse/Volumen, ist jedes Mal 0,8 t/m³. Dieser Quotient ist zugleich die Steigung der Geraden und der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung; hier bedeutet er die Dichte des Öls. Auch der umgekehrte Quotient x/y ist eine Proportionalitätskonstante. In diesem Beispiel bedeutet er das spezifische Volumen: Volumen/Masse = 1,25 m³/t.

Anwendung bei Dehnung

Ein weiteres Beispiel ist die elastische Dehnung eines Drahtes. Wird an einem Draht mit einer Kraft F gezogen, dann ergibt sich bei elastischem Verhalten eine Dehnung ε in Längsrichtung:

F = E · A · ε

Dabei ist A die Querschnittsfläche und E die Proportionalitätskonstante, genannt Elastizitätsmodul. Dehnung bedeutet, dass sich die Länge l des Drahtes um Δl ändert. Es gilt:

ε = Δl/l

Mit der elastischen Längsdehnung ist bei einem homogenen isotropen Material eine Querkontraktion verbunden. Dabei ändert sich der Durchmesser D um ΔD:

ΔD/D = -ν · Δl/l

ν ist die Proportionalitätskonstante und heißt Poissonzahl. Das Minuszeichen bedeutet: Wenn die Länge größer wird, also Δl positiv ist, wird der Durchmesser kleiner, also ΔD negativ.

Schreibweise und verwandte Begriffe

Für „a proportional zu b“ wird das Tilde-Zeichen verwendet:

a ~ b

Ebenfalls genormt ist die Schreibweise:

a ∝ b

In TeX schreibt man dafür \sim beziehungsweise \propto. Das Zeichen ∝ leitet sich aus dem mittelalterlichen æ für lateinisch aequalis ab, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens.

Verwandte Begriffe sind Überproportionalität und Unterproportionalität. Von Überproportionalität spricht man, wenn sich eine Größe immer stärker ändert als die andere. Von Unterproportionalität spricht man bei einer systematisch schwächeren Änderung. Bezogen auf die Gleichung y = m x^a gilt: Bei normaler Proportionalität ist a = 1, bei Überproportionalität a > 1 und bei Unterproportionalität 0 < a < 1.