Strahlensatz

Grundidee und Voraussetzungen

Der Strahlensatz, auch erster und zweiter Strahlensatz oder Vierstreckensatz, ist eine zentrale Aussage der Elementargeometrie. Er beschreibt Streckenverhältnisse, die entstehen, wenn zwei Strahlen mit gemeinsamem Ausgangspunkt Z von zwei parallelen Geraden geschnitten werden. Die Schnittpunkte seien auf der ersten Parallelen A und B und auf der zweiten A′ und B′. Die Regeln erlauben, aus drei bekannten Längen eine unbekannte vierte Länge zu berechnen.

Der erste Strahlensatz betrifft Abschnitte auf den beiden Strahlen. Entsprechende Verhältnisse sind gleich, zum Beispiel |ZA|/|AA′| = |ZB|/|BB′|, |ZA|/|ZA′| = |ZB|/|ZB′| oder |AA′|/|ZA′| = |BB′|/|ZB′|.

Der zweite Strahlensatz vergleicht die Abschnitte auf den parallelen Geraden mit den vom Scheitel Z gemessenen Strecken: |AB|/|A′B′| = |ZA|/|ZA′| = |ZB|/|ZB′|.

Umkehrung, Figuren und Erweiterung

Gilt die erste Verhältnis-Eigenschaft, kann man umgekehrt auf parallele Geraden schließen. Aus der zweiten Eigenschaft allein folgt dagegen keine Parallelität.

Die Sätze gelten sowohl für eine V-Figur, bei der Z auf derselben Seite beider Parallelen liegt, als auch für eine X-Figur, bei der Z zwischen den Parallelen liegt. In der X-Figur lassen sich die Verhältnisse durch Punktspiegelung in Z auf eine V-Figur mit denselben Streckenlängen zurückführen. Wird die Aussage mit sich schneidenden Geraden statt mit Strahlen formuliert, gilt die Umkehrung des ersten Strahlensatzes jedoch nicht mehr.

Bei drei oder mehr Geraden durch Z entstehen weitere Verhältnisgleichungen auf den Parallelen. Schneidet eine dritte Gerade diese in C und C′, gilt etwa |BC|/|AC| = |B′C′|/|A′C′|. Diese Aussage wird gelegentlich dritter Strahlensatz genannt.

Zusammenhang mit Ähnlichkeit und Vektoren

Die Dreiecke ZAB und ZA′B′ sind ähnlich: Sie haben gleiche Winkel und ihre entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis. Der Strahlensatz folgt unmittelbar aus dieser Ähnlichkeit. Entsprechend sind bei einer dritten Geraden auch die Dreiecke ZAC und ZA′C′ ähnlich.

Die Konfiguration lässt sich als zentrische Streckung auffassen. Dabei werden Punkte von einem Zentrum Z aus mit einem Streckungsfaktor abgebildet. In einer V-Figur kann beispielsweise der Faktor 1,5 die Punkte A und B auf A′ beziehungsweise B′ abbilden; in einer X-Figur kann der Faktor −0,5 sein.

Auch die Vektorrechnung verwendet dieselbe Idee. Für Vektoren a⃗, b⃗ und einen reellen Skalar λ gilt λ(a⃗ + b⃗) = λa⃗ + λb⃗. Ihre Längen werden dabei alle um denselben Betrag skaliert: ‖λ·a⃗‖/‖a⃗‖ = ‖λ·b⃗‖/‖b⃗‖ = ‖λ·(a⃗+b⃗)‖/‖a⃗+b⃗‖ = |λ|. Die Norm ‖x⃗‖ bezeichnet die euklidische Länge eines Vektors.

Vermessen und Teilen

Der Strahlensatz hilft bei unzugänglichen Strecken, weil in einer Verhältnisgleichung drei bekannte Größen die vierte bestimmen. Anwendungen in der Vermessung sind unter anderem Jakobsstab, Försterdreieck und der Daumensprung.

Für die Höhe der Cheops-Pyramide wird ein Stab der Höhe A = 1,63 m mit Schattenlänge B = 2,00 m verwendet. Bei direkt messbarer Pyramidenschattenlänge 65 m und Seitenlänge 230 m ist die gesamte Schattenlänge C = 65 m + ½·230 m = 180 m. Mit D/A = C/B folgt für die Höhe D = A·C/B = 146,7 m. Die Rechnung entspricht vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst.

Für eine Flussbreite gilt bei der beschriebenen rechtwinkligen Konstruktion |AB| = |AE|·|CD|/|CE|. Die Strecken AE, CE und CD liegen dabei auf derselben Uferseite und sind messbar.

Eine Strecke AB lässt sich ohne Messen im ganzzahligen Verhältnis m:n teilen: Von A aus trägt man auf einem Strahl m+n gleich lange Abschnitte ab, verbindet deren Endpunkt mit B und zieht durch den Endpunkt des m-ten Abschnitts eine Parallele dazu. Diese schneidet AB im Verhältnis m:n.

Begründung der Sätze

Satz 1 kann mit flächengleichen Dreiecken bewiesen werden. Weil AB parallel zu A′B′ ist, haben die Lote von A′ und B′ auf AB gleiche Länge. Daher sind die Dreiecke ABB′ und ABA′ flächengleich. Nach Ergänzen um das Dreieck ZBA sind auch ZB′A und ZBA′ flächengleich. Mit der Dreiecksflächenformel g·h/2 erhält man durch Kürzen die Verhältnisgleichungen des ersten Satzes.

Ein weiterer Beweis nutzt gleiche Stufenwinkel und rechtwinklige Dreiecke. Sind h und h′ die Höhen, so folgt aus gleichen Winkeln h/h′ = b/b′ und h/h′ = a/a′; also a/a′ = b/b′.

Satz 2 entsteht konstruktiv, indem durch A eine Parallele zu ZB′ gezogen wird. Sie schneidet A′B′ in G; wegen |AB| = |B′G| liefert Satz 1 dann |ZA|/|ZA′| = |AB|/|A′B′|. Die Umkehrung von Satz 1 wird durch Widerspruch bewiesen: Eine durch B′ gezogene Parallele zu AB müsste auf dem Strahl ZA denselben Abstand von Z ergeben wie A′. Die Punkte müssten daher identisch sein, also sind AB und A′B′ parallel.