Ursprungsgerade

Grundidee und Definition

Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Ursprung eines Koordinatensystems verläuft. Weil sie den Ursprung enthält, haben ihre Gleichungen oft eine besonders einfache Form. Die Ortsvektoren aller Punkte auf einer Ursprungsgerade bilden einen eindimensionalen Untervektorraum des euklidischen Raums.

In einem euklidischen Raum \mathbb{R}^n besteht eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor \vec{u}\in \mathbb{R}^n aus allen Punkten, deren Ortsvektoren \vec{x}\in \mathbb{R}^n die Gleichung \vec{x}=s\vec{u} für s\in\mathbb{R} erfüllen. Das bedeutet: Jeder Punkt der Geraden entsteht, indem man den Richtungsvektor \vec{u} mit einer reellen Zahl s multipliziert.

Gleichungen in der Ebene

In der euklidischen Ebene mit kartesischem Koordinatensystem kann eine Ursprungsgerade durch eine Koordinatengleichung beschrieben werden. Ihre Punkte haben Koordinaten x,y, die ax+by=0 erfüllen. Dabei dürfen die Parameter a und b nicht beide gleich null sein.

Falls b\neq 0 gilt, kann man die Gleichung nach y auflösen. Dann erhält man die Normalform y=mx mit der Steigung m=-a/b. Die Steigung beschreibt, wie stark die Gerade im Koordinatensystem ansteigt oder fällt.

Vektoriell lässt sich eine Ursprungsgerade in der Ebene durch \vec{x}=s\vec{u} beschreiben. Der Vektor \vec{u} heißt Richtungsvektor, weil er die Richtung der Geraden angibt. Alle Ortsvektoren der Punkte auf der Geraden sind skalare Vielfache dieses Richtungsvektors.

Alternativ kann man in der Ebene die Normalengleichung \vec{n}\cdot\vec{x}=0 verwenden. Dabei ist \vec{n} ein Normalenvektor der Geraden, also ein Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht. Das Zeichen \cdot bezeichnet das Skalarprodukt. Die Gerade besteht dann aus allen Punkten, deren Ortsvektoren senkrecht auf \vec{n} stehen.

Wichtige Beispiele

Zentrale Beispiele für Ursprungsgeraden in der Ebene sind die beiden Koordinatenachsen. Die x-Achse hat die Gleichung y=0, die y-Achse die Gleichung x=0. Als Richtungsvektoren eignen sich dafür die kanonischen Einheitsvektoren \vec{e}_1=(1,0)^T und \vec{e}_2=(0,1)^T. Die Parametergleichungen lauten entsprechend \vec{x}=s\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und \vec{x}=s\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.

Weitere wichtige Beispiele sind die Winkelhalbierenden der Quadranten. Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Gleichung x-y=0 und kann durch \vec{x}=s\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} beschrieben werden. Die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten hat die Gleichung x+y=0 und kann durch \vec{x}=s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} beschrieben werden.

Im dreidimensionalen Raum können die drei Koordinatenachsen mit den Standard-Einheitsvektoren \vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0) und \vec{e}_3=(0,0,1) angegeben werden. Ihre Gleichungen sind \vec{x}=s\vec{e}_1, \vec{x}=s\vec{e}_2 und \vec{x}=s\vec{e}_3.

Ursprungsgeraden im Raum

Die Parameterform \vec{x}=s\vec{u} funktioniert nicht nur in der Ebene, sondern auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Eine Ursprungsgerade besteht auch dort aus allen Punkten, deren Ortsvektoren skalare Vielfache eines festen Richtungsvektors sind.

Ein wichtiger Unterschied zur Ebene betrifft die Normalengleichung. In zwei Dimensionen beschreibt \vec{n}\cdot\vec{x}=0 eine Gerade durch den Ursprung. In drei- und höherdimensionalen Räumen beschreibt eine solche Normalengleichung jedoch keine Gerade mehr, sondern eine Hyperebene. Eine Hyperebene ist eine Verallgemeinerung einer Ebene in höheren Dimensionen.

Abstand und Projektion

Der Abstand eines Punkts von einer Ursprungsgerade kann mithilfe der Orthogonalprojektion bestimmt werden. Sei \vec{v} der Ortsvektor des Punkts und \vec{u} der Richtungsvektor der Ursprungsgerade. Dann ist der Ortsvektor des Lotfußpunkts

\vec{p}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\,\vec{u}.

Der Lotfußpunkt ist der Punkt auf der Geraden, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Er entsteht durch die Orthogonalprojektion des Vektors \vec{v} auf die Gerade. Der Abstand des Punkts von der Ursprungsgerade beträgt dann |\vec{v}-\vec{p}|.

Vektorraumstruktur und Schnitte

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen Vektorraum, den Koordinatenraum. Die Menge der Ortsvektoren einer Ursprungsgerade ist ein Untervektorraum dieses Raums:

U=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid \vec{x}=s\vec{u}\ \text{für}\ s\in\mathbb{R}\}.

Dieser Untervektorraum ist die lineare Hülle des Richtungsvektors \vec{u}. Die lineare Hülle besteht aus allen skalaren Vielfachen eines Vektors. Ursprungsgeraden sind genau die eindimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum sind die zweidimensionalen Untervektorräume Ursprungsebenen. Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt immer eine Ursprungsgerade. Ist \vec{n}_1 beziehungsweise \vec{n}_2 der Normalenvektor der beiden Ursprungsebenen, dann ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden durch das Kreuzprodukt \vec{u}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2 gegeben.

Allgemein sind die (n-1)-dimensionalen Untervektorräume im n-dimensionalen euklidischen Raum Ursprungs-Hyperebenen. Der Schnitt von n-1 solchen Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren \vec{n}_1,\ldots,\vec{n}_{n-1} ergibt eine Ursprungsgerade. Ihr Richtungsvektor ist durch das verallgemeinerte Kreuzprodukt \vec{u}=\vec{n}_1\times\cdots\times\vec{n}_{n-1} gegeben.