Differenzenquotient

Grundidee und Definition

Ein Differenzenquotient beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe zu der Veränderung einer unabhängigen Größe. In der Analysis dient er zur Definition der Ableitung; in der numerischen Mathematik wird er verwendet, um Ableitungen näherungsweise zu bestimmen und Differenzialgleichungen zu lösen.

Für eine reellwertige Funktion f: D_f → ℝ mit [x₀;x₁] ⊂ D_f heißt φ(x₁,x₀) = (f(x₁) − f(x₀))/(x₁ − x₀) Differenzenquotient von f im Intervall [x₀;x₁]. Mit Δx := x₁ − x₀ und Δy := f(x₁) − f(x₀) lautet er Δy/Δx. Setzt man h = x₁ − x₀, erhält man (f(x₀+h) − f(x₀))/h.

Geometrisch ist dies die Steigung der Sekante durch (x₀,f(x₀)) und (x₁,f(x₁)). Wenn x₁ gegen x₀ beziehungsweise h gegen 0 geht, wird die Sekante zur Tangente an der Stelle x₀.

Von der Sekante zur Ableitung

Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten für x₁ → x₀, so heißt er Differentialquotient oder Ableitung von f an der Stelle x₀. Der Differenzenquotient selbst ist nur für x₁ ≠ x₀ definiert.

Typische Ergebnisse sind:

• Für die konstante Funktion f(x) = c sind Differenzen- und Differentialquotient 0.
• Für f(x) = a·x sind beide gleich a.
• Für f(x) = x² ist der Differenzenquotient x₁+x₀, die Ableitung 2·x₀.
• Für f(x) = x³ ist der Differenzenquotient x₁²+x₁·x₀+x₀², die Ableitung 3·x₀².
• Für f(x) = xⁿ ist der Differenzenquotient Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ x₁ⁱ·x₀ⁿ⁻¹⁻ⁱ, die Ableitung n·x₀ⁿ⁻¹.
• Für f(x) = exp(x) ist der Differenzenquotient exp(x₀)·(exp(x₁−x₀)−1)/(x₁−x₀), die Ableitung exp(x₀).

Diskrete Näherung bei Differenzialgleichungen

Bei numerischen Verfahren werden kontinuierliche Funktionswerte durch diskrete, nummerierte Werte y_k an Stützstellen x_k oder bei zeitabhängigen Vorgängen t_k ersetzt. Eine Differenzengleichung berechnet diese Werte rekursiv, also jeweils aus bereits bekannten Folgegliedern. Die Schrittweite ist meist konstant und wird mit Δx, Δt oder h bezeichnet.

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung enthält neben einer gesuchten Funktion, etwa y(t), auch ihre Ableitung y'(t); sie heißt gewöhnlich, wenn die Funktion nur von einer Variablen abhängt. Das Differenzenverfahren ersetzt Differentialquotienten durch Differenzenquotienten. Aus einer kontinuierlichen Lösung wird dadurch eine diskrete Annäherung. Kleinere Schrittweiten können die Annäherung verbessern; komplexere Differenzengleichungen können bei gleicher Approximation die benötigte Zahl der Folgeglieder k_max deutlich verringern.

Für ein lineares System 1. Ordnung a₁·y'(t)+a₀·y(t)=b₀·u(t) kann so direkt eine rekursive Differenzengleichung aufgestellt werden. Das klassische Verfahren für ein Anfangswertproblem ist das eulersche Streckenzugverfahren.

Vorwärts-, Rückwärts- und Zentraldifferenz

In der Numerik ist ein Differenzenquotient die zeitdiskrete Form des Differentialquotienten. Für y'=f(x,y) und die Schrittweite h gelten drei wichtige Näherungen:

• Vorwärts-Differenzenquotient: y' ≈ (y_{k+1}−y_k)/h. Er verwendet den Wert an der linken Intervallgrenze und den folgenden Wert.
• Rückwärts-Differenzenquotient: y' ≈ (y_k−y_{k−1})/h. Er verwendet den aktuellen und den vorherigen Wert.
• Zentraler Differenzenquotient: y' ≈ (y_{k+1}−y_{k−1})/(2h). Er bezieht Werte auf beiden Seiten der Stützstelle ein.

Der zentrale Differenzenquotient ist nicht der arithmetische Mittelwert zweier Verfahren. Seine hohe Genauigkeit steigt nach dem Artikel nicht einfach mit fallendem h, sondern mit dem Quadrat des fallenden Wertes von h.

Beispiel: Euler-Vorwärtsverfahren

Für die Differenzialgleichung y'(x)=y(x)+eˣ wird für ein Anfangswertproblem ein Anfangswert y₀ bei x=0 vorgegeben. Eine analytische Lösung wird, falls möglich, über eine Stammfunktion ∫f(x) dx = F(x)+C bestimmt; die Integrationskonstante C wird mithilfe des Anfangswerts festgelegt. Bei komplizierteren Differenzialgleichungen ist eine solche analytische Bestimmung nicht immer möglich.

Ersetzt man bei y'(x)=f(x,y) die Ableitung durch den Vorwärts-Differenzenquotienten, erhält man (y_{k+1}−y_k)/h = f(x_k,y_k). Dies ist eine explizite Differenzengleichung erster Ordnung, auch „Euler-Vorwärts“.

Für das Beispiel folgt (y_{k+1}−y_k)/h = y_k+e^{x_k} und damit y_{k+1}=y_k+h·(y_k+e^{x_k}). Aus dem eingegebenen Wert y₀ werden die weiteren Näherungswerte nacheinander berechnet.

Höhere Ableitungen und allgemeine Stützstellen

Auch höhere Ableitungen lassen sich mit Differenzenquotienten approximieren. Grundlage dafür ist die Taylor-Reihe. Für die zweite Ableitung lautet eine zentrale Näherung (y_{i+1}−2y_i+y_{i−1})/Δx² = f''(x)+O(Δx²). Die O-Notation kennzeichnet den Fehlerterm, dessen Wert von x abhängig sein kann. Für höhere zentrale Differenzen werden mehrere benachbarte Funktionswerte verwendet, etwa für die vierte Ableitung (y_{i+2}−4y_{i+1}+6y_i−4y_{i−1}+y_{i−2})/Δx⁴. Bei ungeraden Ableitungsordnungen kommt y_i in den angegebenen zentralen Formeln nicht vor. Durch zusätzliche Funktionswerte kann die Fehlerordnung erhöht werden.

Die Koeffizienten solcher Formeln können rekursiv, als endliche Summe mit Binomialkoeffizienten oder als Matrixprodukte bestimmt werden. Für höhere Fehlerordnungen wird aus Taylor-Approximationen ein lineares Gleichungssystem aufgebaut; seine Systemmatrix ist mit einer Vandermonde-Matrix verwandt. Für große N kann diese Matrix singulär werden, sodass eine Matrixinversion am Rechner nicht mehr möglich ist.

Differenzenquotienten sind außerdem an beliebigen Stützstellen möglich. Für die m-te Ableitung gilt näherungsweise (d^m y/dx^m)|_{x=x_i} ≈ Σₙ₌₀ᴺ⁻¹ C_n^(m,N)·y(x_i+s_n), N>m. Die verschiedenen reellen Verschiebungen s_n müssen paarweise verschieden sein. Die Koeffizienten C_n^(m,N) werden durch ein lineares Gleichungssystem mit Kronecker-Delta bestimmt. Die kleinste Genauigkeit ergibt sich bei N = m+1; weitere Stützstellen können sie erhöhen. Zentrale Differenzenquotienten sind ein Spezialfall dieser allgemeinen Methode.