Gleichung

Grundbegriff und Lösungen

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage darüber, dass zwei Terme gleich sind. Sie hat die Form T₁ = T₂; T₁ heißt linke Seite, T₂ rechte Seite. Eine Gleichung kann wahr beziehungsweise erfüllt sein, etwa 1 = 1, oder falsch, etwa 1 = 2.

Enthält mindestens eine Seite Variablen, hängt die Wahrheit der Gleichung von den eingesetzten Werten ab. Alle Variablenwerte, für die sie erfüllt ist, heißen Lösungen; ihre Gesamtheit ist die Lösungsmenge. Gibt es keine Lösung, heißt die Gleichung unlösbar oder unerfüllbar. Die gewählte Grundmenge ist entscheidend: x² = 2 hat in den natürlichen und rationalen Zahlen keine Lösung, in den reellen Zahlen aber die Lösungen √2 und −√2. Die Gleichung x² = −2 ist über den reellen Zahlen unlösbar, besitzt über den komplexen Zahlen jedoch die Lösungen i√2 und −i√2.

Bei zwei oder mehr Gleichungen spricht man von einem Gleichungssystem. Eine Lösung muss sämtliche Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Gültigkeit und besondere Formen

Eine Identitätsgleichung oder Identität gilt für alle Werte einer vorgegebenen Grundmenge oder Teilmenge. Beispiele sind die erste binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b² für alle reellen a und b sowie das Assoziativgesetz (a+b)+c = a+(b+c). Für Identitäten wird gelegentlich das Zeichen ≡ verwendet.

Eine Bestimmungsgleichung dient dazu, alle Werte zu finden, welche die Gleichung erfüllen. Nicht gesuchte, als bekannt vorausgesetzte Variablen heißen Parameter. Für x²+px+q = 0 mit der Unbekannten x und den Parametern p und q lautet die Lösungsformel x₁,₂ = −p/2 ± √(p²/4−q). Für 4q ≤ p² sind die Lösungen reell, andernfalls komplex.

Eine Definitionsgleichung führt ein neues Symbol ein. Dafür verwendet man häufig :=, wobei der Doppelpunkt auf der Seite des zu definierenden Symbols steht. So wird die Ableitung durch f′(x₀) := limₓ→ₓ₀ (f(x)−f(x₀))/(x−x₀) definiert. Definitionen sind keine wahren oder falschen Aussagen.

Nach der rechten Seite unterscheidet man außerdem:

• Homogene Gleichungen haben die Form T(x)=0. Ist T eine Funktion, heißt eine Lösung auch Nullstelle. Bei einer von null verschiedenen rechten Seite heißt die Gleichung inhomogen.

• Fixpunktgleichungen haben die Form T(x)=x; ihre Lösungen heißen Fixpunkte.

• Eigenwertprobleme haben die Form T(x)=λx. Gesucht werden gemeinsam der Eigenwert λ und ein Eigenvektor x ≠ 0.

Lineare und nichtlineare Gleichungen

Eine Gleichung ist linear, wenn sie als T(x)=a geschrieben werden kann, wobei a unabhängig von x und T linear in x ist. Linearität bedeutet T(λx+μy)=λT(x)+μT(y) für alle Koeffizienten λ und μ. Die beteiligten Größen müssen in passenden Vektorräumen liegen.

Für lineare Gleichungen gilt das Superpositionsprinzip: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung ist die Summe aus einer Partikulärlösung dieser Gleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Eine Partikulärlösung ist dabei eine einzelne konkrete Lösung. Jede homogene lineare Gleichung besitzt mindestens die Lösung x=0. Hat sie nur diese eine Lösung, besitzt die entsprechende inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung.

Nichtlineare Gleichungen lassen sich unter anderem nach der Art ihrer Nichtlinearität ordnen:

• Algebraische Gleichungen enthalten ein Polynom. Ab Grad zwei sind sie nichtlinear, etwa ax²+bx+c=0 oder ax³+bx²+cx+d=0. Für Polynomgleichungen bis zum Grad vier existieren allgemeine Lösungsformeln.

• Bei Bruchgleichungen steht die Unbekannte mindestens einmal im Nenner. Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man sie auf algebraische Gleichungen zurückführen. Dabei können unzulässige Werte entstehen; bei (x+2)/(x²+3)=2/(x+1) gehört x=−1 nicht zum Definitionsbereich.

• Bei Wurzelgleichungen steht die Unbekannte unter einer Wurzel. Man isoliert eine Wurzel und potenziert mit dem Wurzelexponenten, bis keine Wurzel mehr vorkommt. Potenzieren mit einem geraden Exponenten ist keine Äquivalenzumformung, kann also die Lösungsmenge verändern. Bei √x=1−x führt Quadrieren zu x=(1−x)²; deren negative Lösung ist für die Ausgangsgleichung unzulässig.

• Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten, etwa 2^(3x+2)=4^(x+1). Sie lassen sich durch Logarithmieren bearbeiten. Logarithmusgleichungen werden umgekehrt durch Exponenzieren gelöst.

• Bei trigonometrischen Gleichungen steht die Unbekannte im Argument einer Winkelfunktion. Lösungen wiederholen sich meist periodisch. Für sin(x)=cos(x) gilt x=π/4+πk mit k ∈ ℤ, sofern man die Lösungsmenge nicht auf ein Intervall wie [0,2π) beschränkt.

Unbekannte Zahlen, Folgen und Funktionen

Gleichungen werden auch danach eingeteilt, welche Art von Objekt gesucht wird.

• Diophantische Gleichungen sind skalare Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, für die ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Die kubische Gleichung 2x³−x²−8x=−4 besitzt die ganzzahligen Lösungen x=±2.

• Bei Differenzengleichungen ist eine Folge unbekannt. Die lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung xₙ−xₙ₋₁−xₙ₋₂=0 liefert mit x₀=0 und x₁=1 die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

• Bei Funktionalgleichungen wird eine Funktion gesucht, die ohne Ableitungen auftritt. Für f(x+y)=f(x)f(y) sind die Lösungen die Exponentialfunktionen f(x)=aˣ.

• Differentialgleichungen suchen Funktionen, die zusammen mit ihren Ableitungen auftreten. Die höchste vorkommende Ableitung bestimmt die Ordnung. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten Ableitungen nach nur einer Variablen, etwa f′(x)+xf(x)=0. Partielle Differentialgleichungen enthalten partielle Ableitungen nach mehreren Variablen, etwa ∂f(x,t)/∂t+∂f(x,t)/∂x=0. Differential-algebraische Gleichungen verbinden Differentialgleichungen mit Gleichungen ohne Ableitung. In stochastischen Differentialgleichungen treten zusätzlich zufallsabhängige Ableitungsterme auf, beispielsweise in der Black-Scholes-Gleichung dSₜ=rSₜdt+σSₜdWₜ.

• Bei Integralgleichungen tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf. Ein Beispiel einer linearen Integralgleichung 1. Art ist ∫₀ˣ(x−t)f(t) dt=x³.

Gleichungsketten und Gleichungssysteme

Eine Gleichungskette verbindet mehrere Terme: T₁=T₂=⋯=Tₙ. Sie ist nur dann erfüllt, wenn jede einzelne Gleichheit stimmt. Deshalb ist 17+3=20=10+7 falsch, während 17+3=20=10+10 wahr ist. Grundlage dafür ist die Transitivität der Gleichheitsrelation. Gleichheiten können auch mit Ungleichungen zu einer Kette verbunden werden.

In einem Gleichungssystem treten mehrere Gleichungen und meist mehrere Unbekannte auf. Sind alle Gleichungen linear, handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. Das System x+y+z=5 und 2x−z=13 besitzt zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Es kann als A·x⃗=b⃗ geschrieben werden: A ist die Koeffizientenmatrix, x⃗ der Vektor der Unbekannten und b⃗ der Vektor der rechten Seiten. Allgemeine Lösungsverfahren dafür liefert die lineare Algebra.

Sind nicht alle Gleichungen linear, heißt das System nichtlinear. Ein Beispiel bilden 3x²+2xy=1 und sin(x)·ln(y)=eˣ. Für nichtlineare Systeme existiert kein allgemeingültiges Lösungsverfahren; häufig werden Näherungen wie das Newton-Verfahren verwendet. Die Aussage, für eine eindeutige Lösung seien ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte nötig, ist nur eine Faustregel. Bis zu einem gewissen Grad wird sie für reelle Gleichungen und Unbekannte durch den Hauptsatz über implizite Funktionen gestützt.

Lösungsverfahren und Beurteilung

Bei einer analytischen Lösung wird eine Gleichung allgemein so umgeformt, dass die gesuchte Variable allein auf einer Seite steht und sich die Lösung exakt bestimmen lässt. Das wichtigste Hilfsmittel sind Äquivalenzumformungen: Sie erzeugen Gleichungen mit genau derselben Lösungsmenge. Analytische Lösungen sind nur für bestimmte Gleichungen möglich.

Ist keine analytische Lösung verfügbar, kann mithilfe eines Computers eine näherungsweise numerische Lösung berechnet werden. Viele nichtlineare Probleme werden dazu lokal linear angenähert; anschließend löst man die entstehenden linearen Probleme. So arbeitet beispielsweise das Newton-Verfahren. Bei Gleichungen in unendlich-dimensionalen Räumen kann man die Lösung in geeigneten endlich-dimensionalen Unterräumen suchen, etwa mit der Galerkin-Methode.

Eine qualitative Analyse bestimmt Eigenschaften einer Lösung, auch wenn diese nicht ausdrücklich berechnet werden kann. Wichtige Fragen sind, ob überhaupt eine Lösung existiert, ob sie eindeutig ist und ob sie stetig von den Parametern abhängt. Sind diese Bedingungen erfüllt, spricht man von einem korrekt gestellten Problem. Diese Analyse ist auch für numerische Verfahren wichtig, damit deren Ergebnis tatsächlich eine Näherungslösung der ursprünglichen Gleichung ist.