Formelsammlung analytische Geometrie

Grundidee und Schreibweise

Die analytische Geometrie beschreibt geometrische Objekte mit Koordinaten, Vektoren und Gleichungen. Punkte, Geraden, Ebenen, Kreise, Kugeln und weitere Kurven oder Flächen werden dadurch rechnerisch behandelt. Die Formelsammlung verwendet kartesische Koordinaten: in der Ebene x_1 und x_2, gleichwertig zu x und y; im Raum zusätzlich x_3, gleichwertig zu z. Vektoren stehen in Pfeilschreibweise. Ein Ortsvektor beschreibt die Lage eines Punktes vom Ursprung aus und trägt denselben Großbuchstaben wie der Punkt. Das Skalarprodukt wird mit · geschrieben, das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt mit ×.

In der Ebene hat ein Punkt P die Koordinaten (p_1,p_2), im Raum (p_1,p_2,p_3). Punkte können als Koordinaten P(p_1|p_2) bzw. P(p_1|p_2|p_3) oder als Ortsvektoren dargestellt werden. Der Verbindungsvektor von A nach B ist jeweils B - A, also in der Ebene (b_1-a_1, b_2-a_2) und im Raum (b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3). Der Mittelpunkt der Strecke AB ist M = 1/2(A+B). Ein Teilungspunkt, der AB im Verhältnis λ teilt, hat den Ortsvektor T = 1/(1+λ)(A+λB). Der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC ist S = 1/3(A+B+C).

Geraden und Ebenen

Eine Gerade wird häufig in Parameterform beschrieben. In der Punkt-Richtungs-Form lautet sie X = A + λu. Dabei ist A ein Punkt der Geraden, u ein Richtungsvektor und λ eine reelle Zahl. Der Richtungsvektor darf nicht der Nullvektor sein. In der Zwei-Punkte-Form durch A und B lautet die Gerade X = A + λ(B-A); dafür müssen A und B verschieden sein.

In der Ebene kann eine Gerade auch mit einem Normalenvektor n beschrieben werden: n · (X-A) = 0. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Geraden. Als explizite Koordinatengleichung steht für eine nicht zur x_2-Achse parallele Gerade x_2 = mx_1 + t, wobei m die Steigung und t der Achsenabschnitt auf der x_2-Achse ist. Die Achsenabschnittsform lautet x_1/s + x_2/t = 1, wenn die Gerade die Achsen in (s|0) und (0|t) schneidet und s ≠ 0 sowie t ≠ 0 gilt.

Im dreidimensionalen Raum werden zusätzlich Ebenen behandelt. Eine Ebene in Punkt-Richtungs-Form lautet X = A + λu + μv. Die Parameter λ und μ sind reell; die Richtungsvektoren u und v müssen linear unabhängig sein. In der Drei-Punkte-Form verwendet man X = A + λ(B-A) + μ(C-A), wobei A, B und C nicht auf einer Geraden liegen dürfen. Die Normalenform einer Ebene ist n · (X-A) = 0 mit n ≠ 0. Die Koordinatengleichung lautet ax_1 + bx_2 + cx_3 = d, wobei a, b und c nicht alle 0 sind. Aus einer Parameterform erhält man einen Normalenvektor durch n = u × v.

Abstände, Projektionen und Winkel

Der Abstand zweier Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras. In der Ebene gilt |AB| = sqrt((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2), im Raum |AB| = sqrt((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2).

Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g mit Normalengleichung n_1x_1+n_2x_2+n_0=0 ist in der Ebene d(P,g) = |n_1p_1+n_2p_2+n_0| / sqrt(n_1^2+n_2^2). Der Abstand paralleler Geraden mit gleichen Koeffizienten n_1,n_2 und Konstanten n_0,n_0' ist |n_0-n_0'| / sqrt(n_1^2+n_2^2). Im Raum ist der Abstand eines Punktes P von einer Geraden X = A+λu gleich |(P-A)×u|/|u|. Für eine Ebene mit n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+n_0=0 gilt d(P,ε)=|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3+n_0|/sqrt(n_1^2+n_2^2+n_3^2). In Parameterform X=A+λu+μv ist d(P,ε)=|(P-A)·(u×v)|/|u×v|.

Orthogonalprojektion bedeutet senkrechte Projektion. Ein Punkt B wird auf eine Gerade X=A+λu durch P_g = A + ((B-A)·u)/(u·u) u projiziert. Auf eine Gerade oder Ebene in Normalenform (X-A)·n=0 lautet die entsprechende Formel P = B - ((B-A)·n)/(n·n)n. Bei einer Parallelprojektion in Richtung v auf eine Gerade oder Ebene in Normalenform wird statt n im letzten Faktor v verwendet: P = B - ((B-A)·n)/(v·n)v.

Schnittwinkel werden mit dem Skalarprodukt berechnet. Zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren u und v gilt für den kleineren Winkel ε: cos ε = |u·v|/(|u||v|). Im Raum gilt für den Winkel zwischen Ebene mit Normalenvektor n und Gerade mit Richtungsvektor u: sin ε = |n·u|/(|n||u|). Zwischen zwei Ebenen mit Normalenvektoren m und n gilt cos ε = |m·n|/(|m||n|).

Flächen, Volumina, Kreise und Kugeln

Flächeninhalte lassen sich vektoriell berechnen. Für das Dreieck ABC gilt F_ABC = 1/2 |AB × AC|. In Koordinaten der Ebene wird dies als Betrag einer Summe aus Produkten der Punktkoordinaten angegeben. Für ein nicht überschlagenes Polygon mit den Ecken P_1 bis P_n gibt die Formelsammlung die bekannte Koordinatenformel an, bei der die Produkte benachbarter Koordinaten einmal addiert und einmal subtrahiert werden; anschließend nimmt man den Betrag von 1/2 dieser Differenz. Im Raum ist das Volumen eines Tetraeders P_0P_1P_2P_3 mit a = P_0P_1, b = P_0P_2 und c = P_0P_3 gleich V = |1/6 [a,b,c]|, also ein Sechstel des Betrags des Spatprodukts beziehungsweise der zugehörigen Determinante.

Ein Kreis ist in kartesischen Koordinaten durch Mittelpunkt und Radius festgelegt. Der Einheitskreis hat die Gleichung x_1^2+x_2^2=1. Allgemein gilt für Mittelpunkt (c,d) und Radius r: (x-c)^2+(y-d)^2=r^2. In Parameterform steht (x_1,x_2) = (r cos t + c, r sin t + d) mit 0 ≤ t ≤ 2π. Die Tangente an den Einheitskreis im Punkt B(b_1|b_2) lautet b_1x_1+b_2x_2=1; allgemein lautet sie (x-c)(b_1-c)+(y-d)(b_2-d)=r^2. Für einen Kreis durch drei nicht kollineare Punkte gibt die Formelsammlung eine Determinantengleichung und eine Matrixformel für den Mittelpunkt an.

Die Kugel ist das räumliche Gegenstück zum Kreis. Die Einheitskugel hat die Gleichung x_1^2+x_2^2+x_3^2=1. Allgemein gilt bei Mittelpunkt (a,b,c): (x_1-a)^2+(x_2-b)^2+(x_3-c)^2=r^2. Die Parameterform im Ursprung ist (x_1,x_2,x_3) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) mit 0 ≤ θ ≤ π und 0 ≤ φ ≤ 2π. Für eine Kugel durch vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, wird der Mittelpunkt durch eine Matrixgleichung bestimmt.

Kegelschnitte und spezielle Kurven

Kegelschnitte sind Ellipse, Hyperbel und Parabel. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu den Brennpunkten F_1 und F_2 konstant gleich 2a ist. Ihre Gleichung in kartesischen Koordinaten ist x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1; bei Mittelpunkt M(c,d) lautet sie (x-c)^2/a^2 + (y-d)^2/b^2 = 1. Die lineare Exzentrizität ist sqrt(a^2-b^2), und eine Parameterform ist (x,y) = (a cos t, b sin t) mit 0 ≤ t ≤ 2π.

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist. Ihre Standardgleichung lautet x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1; in achsenparalleler Lage mit Mittelpunkt M(c,d) lautet sie (x-c)^2/a^2 - (y-d)^2/b^2 = 1. Die lineare Exzentrizität ist sqrt(a^2+b^2). Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem Brennpunkt und zur Leitgeraden l konstant ist. Ihre Gleichung lautet y^2 = 2px, verschoben (y-d)^2 = 2p(x-c). Zu Ellipse, Hyperbel und Parabel enthält der Artikel außerdem Tangenten-, Normalen- und Schnittpunktformeln mit Geraden.

Bei ebenen Kurven mit ausgezeichneter Krümmung wird die Krümmung κ als wichtiges Merkmal verwendet. Da Translation und Drehung die geometrische Form nicht ändern, kann eine symmetrische Darstellung gewählt werden. Eine ebene, zweimal stetig differenzierbare Kurve ist durch Angabe ihrer Krümmung in jedem Punkt eindeutig beschrieben. Genannt werden unter anderem: Gerade mit κ = 0, Kreis mit κ = 1/a, gleichseitige Hyperbel mit κ = -1/r, Lemniskate mit κ = 3r/(2a^2), logarithmische Spirale mit κ = 1/(r sqrt(1+b^2)) beziehungsweise 1/(bs), Klothoide mit κ = 2bs, Katenoide mit κ = a/y^2 beziehungsweise a/(a^2+s^2), und Kreisevolvente mit κ = 1/(a sqrt(2s)). Dabei bezeichnen C_b(x) und S_b(x) die Fresnelschen Integrale.

Flächen zweiter Ordnung

Flächen zweiter Ordnung sind räumliche Flächen, deren Gleichungen quadratische Terme enthalten. Ein Ellipsoid mit Halbachsen a, b, c, Mittelpunkt im Ursprung und achsenparallelen Halbachsen wird durch x_1^2/a^2 + x_2^2/b^2 + x_3^2/c^2 = 1 beschrieben.

Ein Hyperboloid mit Halbachsen a, b, c hat in der Formelsammlung die Gleichung x_1^2/a^2 + x_2^2/b^2 - x_3^2/c^2 = 1. Ein Paraboloid mit Scheitel im Ursprung wird durch x_1^2/a^2 ± x_2^2/b^2 - 2z = 0 beschrieben; das Plus liefert ein elliptisches, das Minus ein hyperbolisches Paraboloid. Ein Kegel mit Halbachsen a und b der Ellipse und Spitze im Ursprung hat die Gleichung x_1^2/a^2 + x_2^2/b^2 - x_3^2/c^2 = 0.