Schnittwinkel (Geometrie)

Grundidee

Ein Schnittwinkel ist in der Geometrie ein Winkel, in dem sich zwei geometrische Objekte schneiden. Solche Objekte können Geraden, Ebenen, Kurven oder Flächen sein. Bei zwei Geraden entstehen beim Schnitt im Allgemeinen vier Winkel. Je zwei gegenüberliegende Winkel sind kongruent, also gleich groß. Als Schnittwinkel bezeichnet man meist den kleineren dieser Winkel; er ist spitzwinklig oder rechtwinklig. Der größere Schnittwinkel ist stumpfwinklig oder rechtwinklig und ergibt sich als Nebenwinkel, weil sich Nebenwinkel zu 180° ergänzen. Schneiden sich zwei Geraden rechtwinklig, sind alle vier Winkel gleich groß, und jeder kann als Schnittwinkel gelten.

Für Geraden und Ebenen führt man die Bestimmung des Schnittwinkels auf Winkel zwischen passenden Geraden zurück. Rechnerisch verwendet man dafür in der analytischen Geometrie vor allem Richtungsvektoren, Normalenvektoren und das Skalarprodukt. Bei gekrümmten Objekten wie Kurven, Funktionsgraphen oder Flächen wird der Schnittwinkel über Tangenten, Tangentialvektoren oder Tangentialebenen im betrachteten Schnittpunkt definiert.

Geraden

Für zwei Geraden in der Ebene, die als lineare Funktionen in Normalform gegeben sind, also y_1 = m_1x + b_1 und y_2 = m_2x + b_2, gilt für den Schnittwinkel α:

\tan \alpha = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|, falls m_1\cdot m_2 \neq -1.

Dabei ist \tan \alpha der Tangens des Schnittwinkels, und der Betrag sorgt dafür, dass der kleinere Winkel betrachtet wird. Aus dem Tangenswert erhält man α mit dem Arkustangens. Wenn m_1\cdot m_2=-1 gilt, schneiden sich die Geraden rechtwinklig, also beträgt der Schnittwinkel 90°. Diese Formel gilt nur für Geraden in der Ebene.

Sind Geraden in Parameterform gegeben, etwa g: \vec{x}=\vec{p}+t\vec{a} und h: \vec{x}=\vec{q}+s\vec{b}, verwendet man ihre Richtungsvektoren \vec{a} und \vec{b}. Dann gilt:

\cos \alpha = |\cos \varphi| = \frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.

Hier sind |\vec{a}| und |\vec{b}| die Längen der Vektoren, \vec{a}\cdot\vec{b} ist ihr Skalarprodukt, und \varphi ist der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Mit dem Arkuskosinus bestimmt man daraus den Schnittwinkel. Diese Formel gilt sowohl in der Ebene als auch im euklidischen Raum.

Geraden und Ebenen

Der Schnittwinkel einer Geraden g mit einer Ebene E ist der Winkel zwischen g und derjenigen Geraden h in E, die unter allen Geraden der Ebene den kleinsten Winkel mit g bildet. Diese Gerade h ist die Orthogonalprojektion von g auf E. Eine Orthogonalprojektion ist die senkrechte Projektion eines Objekts auf eine Gerade oder Ebene.

Der Winkel α zwischen Gerade und Ebene ergänzt sich mit dem Winkel β zwischen g und einer zu E senkrechten Geraden zu 90°. Für die Rechnung nutzt man deshalb einen Normalenvektor \vec{n} der Ebene. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Ist \vec{a} ein Richtungsvektor der Geraden, gilt:

\sin \alpha = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{a}|}{|\vec{n}|\,|\vec{a}|}.

Im Beispiel ist die Gerade g: \vec{x}=(2,2,1)+t(1,-1,1) und die Ebene E: \vec{x}=(1,1,5)+r(2,0,1)+s(-1,-1,3) gegeben. Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich durch das Kreuzprodukt (2,0,1)\times(-1,-1,3)=(1,-7,-2). Damit erhält man \sin \alpha=\frac{|6|}{\sqrt{54}\,\sqrt{3}}\approx0{,}471 und daraus \alpha\approx61{,}9^\circ.

Ebenen

Der Schnittwinkel zweier sich schneidender Ebenen E_1 und E_2 ist der Winkel zwischen zwei Geraden g_1 und g_2, die in den beiden Ebenen liegen und jeweils senkrecht auf der Schnittgeraden stehen. Statt diese Geraden direkt zu betrachten, kann man die Normalenvektoren der Ebenen verwenden.

Sind \vec{n}_1 und \vec{n}_2 Normalenvektoren der Ebenen, dann ist der Winkel zwischen diesen Normalenvektoren entweder gleich dem Schnittwinkel der Ebenen oder ergänzt sich mit ihm zu 180°, falls der Winkel zwischen den Normalenvektoren größer als 90° ist. Mit dem Betrag im Skalarprodukt erhält man direkt den üblichen kleineren Schnittwinkel:

\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}.

Im Beispiel werden die Ebenen E_1: -4x+y+2z=10 und E_2: 3x+2y+2z=2 betrachtet. Aus den Koeffizienten der Koordinatengleichungen erhält man die Normalenvektoren \vec{n}_1=(4,1,2) und \vec{n}_2=(3,-2,1). Damit gilt \cos \alpha=\frac{|-6|}{\sqrt{21}\,\sqrt{17}}\approx0{,}318, also \alpha\approx71{,}5^\circ.

Kurven und Funktionsgraphen

In der Analysis und Differentialgeometrie wird der Schnittwinkel auf gekrümmte Objekte übertragen. Dazu ersetzt man Geraden durch Tangenten, Richtungsvektoren durch Tangentialvektoren und Ebenen durch Tangentialebenen. Eine Tangente beschreibt die momentane Richtung einer Kurve in einem Punkt; ein Tangentialvektor gibt diese Richtung als Vektor an.

Für zwei differenzierbare Funktionsgraphen, die sich in (x_S,y_S) schneiden, ist der Schnittwinkel der Winkel zwischen ihren Tangenten in diesem Punkt. Die Tangentensteigungen sind f'(x_S) und g'(x_S). Falls f'(x_S)\cdot g'(x_S)\neq -1, gilt:

\tan \alpha = \left|\frac{f'(x_S)-g'(x_S)}{1+f'(x_S)\cdot g'(x_S)}\right|.

Falls f'(x_S)\cdot g'(x_S)=-1, beträgt der Schnittwinkel 90°. Als Beispiel schneiden sich Sinus- und Kosinusfunktion bei x_S=\pi/4. Dann ergibt sich \tan\alpha=2\sqrt{2}, also \alpha=\arctan(2\sqrt{2})\approx70{,}53^\circ.

Bei zwei differenzierbaren Kurven ist der Schnittwinkel in einem Schnittpunkt der Winkel zwischen ihren Tangenten oder gleichwertig zwischen ihren Tangentialvektoren. Im Beispiel einer Geraden \sqrt{3}x-y=1 und des Einheitskreises x^2+y^2=1 im Punkt (\sqrt{3}/2,1/2) sind passende Tangentialvektoren \vec{a}=(1,\sqrt{3}) und \vec{b}=(-1/2,\sqrt{3}/2). Daraus folgt \cos\alpha=1/2 und damit \alpha=60^\circ.

Kurven und Flächen

Schneiden sich eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Fläche in einem Punkt, so ist ihr Schnittwinkel in diesem Punkt als Schnittwinkel des Tangentialvektors \vec{a} der Kurve mit dem Normalenvektor \vec{n} der Fläche definiert. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und seiner Orthogonalprojektion auf die Tangentialebene der Fläche.

Schneiden sich zwei differenzierbare Flächen in einer Schnittkurve, kann man für jeden Punkt dieser Schnittkurve einen Schnittwinkel bestimmen. Er ist definiert als Schnittwinkel der Normalenvektoren \vec{n} und \vec{m} der beiden Flächen im betrachteten Punkt. Anders als bei zwei Ebenen ist dieser Schnittwinkel im Allgemeinen nicht überall gleich, sondern hängt vom Punkt auf der Schnittkurve ab.