Kreuzprodukt

Grundidee und geometrische Bedeutung

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) ist eine Verknüpfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum: Zwei Vektoren a und b werden einem neuen Vektor a × b zugeordnet. Es ist besonders wichtig, weil es zugleich eine Richtung senkrecht zu zwei Vektoren und einen Flächeninhalt beschreibt. In Physik und Mathematik dient es beispielsweise bei Drehgrößen und zur Bestimmung von Normalenvektoren von Ebenen.

Sind a und b nicht der Nullvektor und nicht parallel, steht a × b senkrecht auf beiden Vektoren und damit auf ihrer aufgespannten Ebene. Seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt: a, b und a × b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Der Betrag ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms:

a × b = |a||b| sin(θ) n.

Dabei ist θ der eingeschlossene Winkel zwischen 0° und 180° und n der passende senkrechte Einheitsvektor. Sind die Vektoren parallel oder ist einer der Nullvektor, gilt a × b = 0. Für ein Dreieck beträgt der zugehörige Flächeninhalt die Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts.

Berechnung in Koordinaten

In einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem mit a = (a₁,a₂,a₃)ᵀ und b = (b₁,b₂,b₃)ᵀ lautet die Rechenformel:

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)ᵀ.

Beispiel:

(1,2,3)ᵀ × (−7,8,9)ᵀ = (−6,−30,22)ᵀ.

Als Merkregel kann man die Komponenten mithilfe einer symbolischen 3×3-Determinante mit den Standardbasisvektoren e₁, e₂, e₃ in der ersten Spalte bestimmen. Die Formel folgt auch aus den Basisprodukten e₁ × e₂ = e₃, e₂ × e₃ = e₁, e₃ × e₁ = e₂ sowie aus der Antikommutativität, zum Beispiel e₂ × e₁ = −e₃. Mit dem Levi-Civita-Symbol εᵢⱼₖ lässt sich schreiben: a × b = Σᵢ,ⱼ,ₖ₌₁³ εᵢⱼₖaᵢbⱼeₖ.

Wichtige Rechenregeln und Zusammenhänge

Das Kreuzprodukt ist alternierend und antikommutativ:

• a × a = 0 und a × 0 = 0 × a = 0.
• a × b = −b × a. Deshalb darf man die Reihenfolge nicht vertauschen, ohne das Vorzeichen zu ändern.
• a × b = 0 genau dann, wenn a und b linear abhängig sind, also insbesondere parallel sind.
• |a × b| ≤ |a||b|; Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b orthogonal sind.

Es ist außerdem bilinear, also in jedem Argument additiv und homogen: a × (b + c) = a × b + a × c sowie a × (βb) = β(a × b) = (βa) × b. Das Kreuzprodukt ist jedoch nicht assoziativ.

Mit dem Skalarprodukt gilt |a × b|² + (a · b)² = |a|²|b|². Eine zentrale Determinantenbeziehung lautet v · (a × b) = det(v,a,b). Sie bestimmt das Kreuzprodukt eindeutig.

Für wiederholte Kreuzprodukte gilt die Graßmann-Identität: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c. Die Lagrange-Identität verbindet zwei Kreuzprodukte: (a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (b · c)(a · d). Statt der Assoziativität erfüllt das Kreuzprodukt die Jacobi-Identität a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0; dadurch bildet ℝ³ mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.

Matrizen, Volumen und Rotation

Für einen festen Vektor w ist die Abbildung v ↦ w × v linear. In der Standardbasis wird sie durch die schiefsymmetrische Kreuzproduktmatrix dargestellt:

[w]× = ((0,−w₃,w₂),(w₃,0,−w₁),(−w₂,w₁,0)).

Es gilt [w]×v = w × v und [w]× = −[w]×ᵀ. Eine solche Matrix beschreibt also das Kreuzprodukt mit einem festen Vektor als gewöhnliche Matrixmultiplikation.

Das Spatprodukt ist die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt: (a × b) · c = det(a,b,c). Es ist eine Zahl und gibt das orientierte Volumen des von a, b und c aufgespannten Parallelepipeds an.

In der Vektoranalysis ist die Rotation eines Vektorfeldes V im ℝ³ definiert als rot V = ∇ × V. Ihre Komponenten sind (∂V₃/∂x₂ − ∂V₂/∂x₃, ∂V₁/∂x₃ − ∂V₃/∂x₁, ∂V₂/∂x₁ − ∂V₁/∂x₂)ᵀ. Die dabei auftretenden Ausdrücke sind Anwendungen von Differentialoperatoren, keine gewöhnlichen Produkte; daher gelten Rechenregeln wie die Graßmann-Identität hierfür nicht allgemein.

Physikalische Bedeutung und Verallgemeinerungen

In der Physik unterscheidet man polare und axiale Vektoren. Polare Vektoren, etwa Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und elektrische Feldstärke, erhalten die Signatur +1. Axiale Vektoren oder Pseudovektoren, etwa Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Drehimpuls und magnetische Flussdichte, erhalten die Signatur −1. Beim Kreuzprodukt multiplizieren sich die Signaturen: Gleiche Signaturen ergeben einen axialen, verschiedene einen polaren Vektor. Typische Anwendungen sind Flächenberechnungen, Normalenvektoren von Ebenen, Drehmoment, Drehimpuls, Corioliskraft, Lorentzkraft und die Abstandsformel für windschiefe Geraden.

Für ℝⁿ mit n ≥ 2 gibt es eine Verallgemeinerung mit n − 1 Faktoren. Das Produkt a₁ × ··· × aₙ₋₁ ist durch v · (a₁ × ··· × aₙ₋₁) = det(v,a₁,…,aₙ₋₁) bestimmt. Es steht orthogonal auf allen n − 1 Eingabevektoren; sein Betrag ist das (n−1)-dimensionale Volumen des aufgespannten Parallelotops. Für n = 2 erhält man statt eines Produkts zweier Vektoren die Abbildung (a₁,a₂)ᵀ ↦ (a₂,−a₁)ᵀ, also eine Drehung um 90° im Uhrzeigersinn.

In komplexen Vektorräumen wie ℂ³ hängt die Anpassung von der Definition des komplexen Skalarprodukts ab. Beim Standardskalarprodukt ⟨x,y⟩ = Σᵢ₌₁ⁿ überline{xᵢ}yᵢ wird das Kreuzprodukt wie in ℝ³ berechnet und das Ergebnis anschließend komplex konjugiert.