Außenwinkel

Was sind Außenwinkel?

Die Außenwinkel eines konvexen Polygons sind die außen anliegenden Winkel zwischen einer Seite des Polygons und der Verlängerung einer benachbarten Seite. Jeder Außenwinkel ist der Nebenwinkel eines Innenwinkels und ergänzt diesen zu 180°. Die Summe der Außenwinkel eines Polygons ist unabhängig von der Anzahl seiner Ecken und beträgt stets 360°. Nach dem Außenwinkelsatz ist in einem Dreieck jeder Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Bezeichnungen

Werden die Seiten eines konvexen Polygons über die Ecken hinaus verlängert, entstehen Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende (Scheitelwinkel) kongruent sind. Der Winkel im Inneren des Polygons heißt Innenwinkel; bei Ecken A, B, C, ... werden die Innenwinkel meist α, β, γ, ... genannt. Der innen liegende Scheitelwinkel ist gleich groß wie der Innenwinkel. Die beiden verbleibenden Scheitelwinkel heißen Außenwinkel und werden üblicherweise α', β', γ', ... bezeichnet. Jeder Außenwinkel ergänzt seinen zugehörigen Innenwinkel zu 180°: α + α' = β + β' = γ + γ' = ... = 180°. Den zu einem Außenwinkel gehörenden Innenwinkel nennt man anliegenden Innenwinkel, alle übrigen Innenwinkel nichtanliegende Innenwinkel; entsprechend spricht man von anliegenden und nichtanliegenden Außenwinkeln.

Beispiele

Gleichseitiges Dreieck: α = β = γ = 60° und α' = β' = γ' = 120°. Rechteck: α = β = γ = δ = 90° und α' = β' = γ' = δ' = 90°. Bei einem gleichwinkligen Polygon (z. B. einem regelmäßigen Polygon) mit n Ecken sind alle Außenwinkel gleich groß und messen jeweils 360°/n.

Außenwinkelsätze

Der Außenwinkelsatz der euklidischen Geometrie besagt, dass der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel ist: α' = β + γ, β' = α + γ und γ' = α + β. Der schwache Außenwinkelsatz besagt, dass jeder Außenwinkel strikt größer als jeder der beiden nichtanliegenden Innenwinkel ist, also z. B. α' > β und α' > γ. Daraus folgt auch: Jeder Innenwinkel ist stets strikt kleiner als jeder der beiden nichtanliegenden Außenwinkel.

Winkelsumme und Winkelhalbierende

Die Innenwinkelsumme eines konvexen Polygons mit n Ecken beträgt (n − 2) · 180°. Da anliegende Innen- und Außenwinkel sich zu 180° ergänzen, ergibt sich für die Außenwinkelsumme: n · 180° − (n − 2) · 180° = 360°. Die Außenwinkelsumme beträgt also unabhängig von der Anzahl der Ecken stets 360°; dabei werden je zwei kongruente Außenwinkel nur einmal gezählt. In den Ecken eines konvexen Polygons schneiden sich die Winkelhalbierenden der zugehörigen Außen- und Innenwinkel stets im rechten Winkel. In einem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der Außenwinkel verschiedener Ecken in den Ankreismittelpunkten J_A, J_B und J_C; jeder dieser Schnittpunkte liegt zugleich auf der Winkelhalbierenden des jeweils nichtanliegenden Innenwinkels. Außerdem teilt die Außenwinkelhalbierende in einem Dreieck die verlängerte gegenüberliegende Seite außen im Verhältnis der Längen der beiden dem Winkel anliegenden Seiten (siehe Kreis des Apollonios). Die Schnittpunkte der Außenwinkelhalbierenden mit den verlängerten gegenüberliegenden Seiten liegen, sofern sie existieren, alle auf einer Geraden.

Verallgemeinerungen

Nichtkonvexe Polygone: Auch hier lassen sich Innen- und Außenwinkel definieren. An einer einspringenden Ecke liegen die Außenwinkel jedoch im Inneren des Polygons; ihnen wird dann ein negatives Winkelmaß zugeordnet, sodass die Summe aus Außenwinkel und zugehörigem Innenwinkel weiterhin 180° beträgt. Auf diese Weise ergibt sich die Außenwinkelsumme auch für nichtkonvexe Polygone zu 360°. Allgemeinere Geometrien: Der Begriff des Außenwinkels lässt sich auch in der absoluten Geometrie und der riemannschen Geometrie definieren. Der schwache Außenwinkelsatz gilt auch in der absoluten Geometrie, während der Außenwinkelsatz in nichteuklidischen Geometrien nicht mehr richtig sein muss. In der sphärischen Geometrie ist die Außenwinkelsumme eines Polygons stets kleiner als 360°, in der hyperbolischen Geometrie stets größer als 360°.