Rechteck

Begriff und grundlegende Merkmale

Ein Rechteck, auch Orthogon, ist in der Geometrie ein ebenes Viereck, dessen vier Innenwinkel rechte Winkel sind, also jeweils 90° betragen. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms und damit auch des Trapezes. Das Quadrat ist ein besonderer Fall des Rechtecks: Bei ihm sind zusätzlich alle Seiten gleich lang.

Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind jeweils gleich lang und parallel. Die Diagonalen, also die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Ecken, sind gleich lang und halbieren einander. Ihr Schnittpunkt ist zugleich der Mittelpunkt des Umkreises. Ein Rechteck besitzt daher einen Umkreis und ist ein Sehnenviereck.

Symmetrie und Kennzeichen

Ein Rechteck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten seiner Seiten. Seine zwei Symmetrieachsen stehen senkrecht aufeinander. Außerdem ist es punktsymmetrisch beziehungsweise zweizählig symmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen. Seine Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe.

Ein Viereck kann auf verschiedene gleichwertige Arten als Rechteck erkannt werden: Es ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel; oder ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen. Ebenso ist ein Viereck ein Rechteck, wenn seine gleich langen Diagonalen einander halbieren, oder wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und ein Winkel ein rechter ist.

Berechnungen und Konstruktion

Für ein Rechteck mit Seitenlängen a und b sowie Diagonale d gelten folgende Formeln:

• Flächeninhalt: A = a · b.
• Umfang: U = 2 · a + 2 · b = 2 · (a + b).
• Diagonalenlänge: d = √(a² + b²).
• Umkreisradius: rᵤ = d/2 = 1/2 · √(a² + b²).
• Innenwinkel: α = β = γ = δ = 90°.

Die Diagonalenformel folgt aus dem Satz des Pythagoras. Der Radius des Umkreises ist die Hälfte der Diagonale. Zur Konstruktion eines Rechtecks müssen zwei Größen gegeben sein, oft beide Seitenlängen oder eine Seitenlänge und die Diagonalenlänge.

Warum das Quadrat oft optimal ist

Bei mehreren Optimierungsaufgaben unter Rechtecken ist das Quadrat die Lösung. Das gilt etwa für maximalen Umfang oder maximalen Flächeninhalt bei gegebener Diagonalenlänge beziehungsweise gegebenem Flächeninhalt des Umkreises. Ebenso hat bei gegebenem Umfang das Quadrat die kleinste Diagonale, den kleinsten Umkreisflächeninhalt und den größten Flächeninhalt. Bei gegebenem Flächeninhalt besitzt es die kleinste Diagonale, den kleinsten Umkreisflächeninhalt und den kleinsten Umfang. Je zwei der sechs genannten Aufgaben sind grundsätzlich dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen; es gibt also eigentlich drei verschiedene Optimierungsprobleme. Für andere, nicht genannte Optimierungsprobleme muss das Quadrat nicht die Lösung sein.

Diagonalenlänge und Umkreisflächeninhalt führen zur selben Lösung, denn der Umkreisflächeninhalt π · rᵤ² = 1/4 · π · d² ist eine stetige, streng monoton steigende Funktion von d. Für den maximalen Flächeninhalt bei fester Diagonale kann man den Umkreis betrachten: Nach dem Satz des Thales ist die Diagonale AC der Durchmesser. Die rechtwinkligen Dreiecke ABC und CDA haben jeweils dann die größte Fläche, wenn ihre entsprechenden Katheten gleich lang sind. Damit müssen alle vier Rechteckseiten gleich lang sein.

Auch die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel zeigt dies: √(a · b) ≤ (a + b)/2. Daraus folgt für positive a und b: a · b ≤ (a² + b²)/2; Gleichheit gilt genau bei a = b. Das Quadrat mit der Seitenlänge 1/2 · √(2 · a² + 2 · b²) hat dieselbe Diagonale wie ein Rechteck mit Seiten a und b, aber den maximal möglichen Flächeninhalt.

Rechteckgitter und besondere Rechtecke

Ein Rechteckgitter ist eine unendliche Punktmenge in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Formal lautet sie { (a · x₁, b · x₂) ∈ ℝ² | a, b > 0 und x₁, x₂ ∈ ℤ }. Die positiven reellen Zahlen a und b sind die Abstände benachbarter Punkte. Das Gitter entsteht aus einem Quadratgitter durch zwei Parallelstreckungen, also affine Abbildungen, die in zwei Richtungen unterschiedlich stark strecken.

Ein Rechteckgitter ist achsen-, dreh- und punktsymmetrisch. Es ist zudem translationssymmetrisch für die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufenden Vektoren a · a₁ · e⃗₁ und b · a₂ · e⃗₂, wobei a₁ und a₂ ganze Zahlen sowie e₁ und e₂ Einheitsvektoren sind. Bei einer solchen Streckung wird ein orthogonal ausgerichtetes Quadrat zum Rechteck, ein anders ausgerichtetes Quadrat zum Parallelogramm und ein Kreis zur Ellipse.

Ein Goldenes Rechteck erfüllt für seine Seiten a und b die Bedingung (a + b)/a = a/b. Sein Seitenverhältnis ist der Goldene Schnitt: a/b = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887.

Perfekte Rechtecke und Spiralen

Ein perfektes Rechteck lässt sich lückenlos und überschneidungsfrei mit Quadraten überdecken, deren Seitenlängen alle verschieden sind. Zbigniew Moroń fand 1925 eine Zerlegung eines Rechtecks der Seitenlängen 32 und 33 in neun Quadrate mit Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18. Ein weiteres Beispiel von ihm hat die Seitenlängen 47 und 65 und wird von zehn Quadraten mit Seitenlängen 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 und 25 überdeckt.

Ineinander liegende Rechtecke können spiralförmig angeordnet werden, indem jeweils vier kongruente rechtwinklige Dreiecke sie einschließen. So entstehen vier unendliche konvergente Reihen ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke. Ihre Grenzwerte sind identisch und füllen spiralförmig die Fläche des großen Rechtecks aus; die Flächenmaßzahlen der mittleren Rechtecke konvergieren gegen Null. Hat das Ausgangsrechteck die Seitenlängen a und b, besitzt jede der vier Spiralen die Flächenmaßzahl 1/4 ab.