Kongruenz (Geometrie)

Grundidee der Kongruenz

In der Geometrie heißen zwei Figuren kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können. Kongruenzabbildungen, auch Bewegungen genannt, sind Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung und Verknüpfungen dieser Abbildungen.

Anschaulich bedeutet Kongruenz bei ebenen Figuren: Man könnte eine Figur ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide exakt übereinander liegen. Solche Figuren nennt man auch deckungsgleich. Figuren, die nicht kongruent sind, heißen inkongruent.

Kongruente Figuren unterscheiden sich nur durch ihre Lage. Sie haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Bei kongruenten ebenen Vielecken und räumlichen Polyedern müssen alle entsprechenden Streckenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen. In der absoluten Geometrie wird dies so formuliert: Zwei Figuren sind kongruent, wenn es eine Bewegung des Punktraumes gibt, durch die die eine Figur bijektiv auf die andere abgebildet wird.

Zeichen und Beispiel

Ein verbreitetes Zeichen für Kongruenz ist ≅, also ein Gleichheitszeichen mit einer Tilde darüber. Es entspricht Unicode U+2245, HTML ≅ und wird im LaTeX-math-Modus mit \cong geschrieben.

Das Beispiel im Artikel unterscheidet kongruente, ähnliche und nicht ähnliche Figuren: Die ersten beiden gezeigten Figuren sind kongruent. Eine dritte Figur hat zwar die gleiche Form, ist aber kleiner. Sie ist deshalb ähnlich, aber nicht kongruent. Eine weitere Figur hat nicht dieselbe Form und ist daher weder ähnlich noch kongruent zu den T-förmigen Figuren.

Dreiecke prüfen

Für Dreiecke gibt es fünf Kongruenzsätze. Sie liefern einfache Kriterien, mit denen man überprüfen kann, ob zwei ebene Dreiecke kongruent sind. Stimmen zwei Dreiecke in einem dieser Kriterien überein, dann stimmen auch die übrigen Seitenlängen und Winkelmaße überein.

Die fünf Kongruenzsätze sind: sss, wenn drei Seitenlängen übereinstimmen; sws, wenn zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen; ssw, wenn zwei Seitenlängen und der Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt; wsw, wenn eine Seitenlänge und die beiden anliegenden Winkel übereinstimmen; wws, wenn eine Seitenlänge, ein anliegender Winkel und der gegenüberliegende Winkel übereinstimmen.

Beim ebenen Dreieck beträgt die Maximalzahl unabhängiger Bestimmungsstücke drei. Bestimmungsstücke sind Größen, die die Kongruenz bestimmen. Das können nicht nur Seitenlängen oder Winkelmaße sein, sondern auch Inkreisradius, Umkreisradius, Höhe, Länge einer Seitenhalbierenden, Fläche und ähnliche Größen.

Vielecke und Raumgeometrie

Bei einem ebenen n-Eck, also einem Polygon mit n Ecken, braucht man zur kongruenten Festlegung für jede zusätzliche Ecke zwei zusätzliche Bestimmungsstücke. Deshalb ist die Maximalzahl unabhängiger Bestimmungsstücke für ein n-Eck 2n - 3.

In der Stereometrie, also der Raumgeometrie, wird Kongruenz auch bei Polyedern betrachtet. Bei Polyedern kann man gegebenenfalls von der Kongruenz von Ecken sprechen. Zwei Ecken sind dabei kongruent, wenn sie dieselbe Anzahl von Kanten und Flächen mit gleichen Winkeln in derselben Reihenfolge vereinigen. Dabei müssen nicht nur die Winkel in den Seitenflächen des Polyeders gleich sein, sondern auch alle Winkel zwischen entsprechenden Kantenpaaren. Die eine Ecke muss sich gegebenenfalls durch eine Kongruenzabbildung in die andere überführen lassen.