Winkelhalbierende

Grundidee und Bedeutung

Eine Winkelhalbierende ist in der ebenen Geometrie die Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt. Sie ist also die Linie, auf der ein Winkel genau halbiert wird.

Bei zwei sich schneidenden Geraden entstehen vier Winkel. Die Winkelhalbierenden von Scheitelwinkeln fallen jeweils zusammen, daher bleiben insgesamt zwei Winkelhalbierende. Diese beiden Geraden stehen senkrecht aufeinander. Jede von ihnen ist eine Symmetrieachse der Figur, die aus den beiden sich schneidenden Geraden entsteht.

Eine wichtige Beschreibung ist der Winkelhalbierendensatz: Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, die von den beiden Geraden denselben Abstand haben. Ein Punkt liegt also genau dann auf der Winkelhalbierenden, wenn seine Abstände zu beiden Schenkeln beziehungsweise Geraden gleich groß sind.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Ist ein Winkel durch zwei Schenkel mit gemeinsamem Scheitel gegeben, kann seine Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal konstruiert werden:

• Um den Scheitelpunkt wird ein Kreis mit beliebigem Radius gezeichnet.
• Dieser Kreis schneidet die beiden Schenkel in zwei Punkten.
• An diesen beiden Schnittpunkten wird der Zirkel erneut angesetzt.
• Mit gleichem Radius werden zwei Kreise oder Kreisbögen gezeichnet.
• Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden.

Die Konstruktion nutzt, dass die Winkelhalbierende zugleich die Mittelsenkrechte in einem gleichschenkligen Dreieck ist. Dieses Dreieck entsteht aus dem Scheitel und den zwei Hilfspunkten auf den Schenkeln.

Verlängert man die Schenkel eines Winkels zu Geraden, entstehen zwei Winkelhalbierende. Eine ist die Winkelhalbierende des ursprünglichen Winkels, die andere halbiert den Nebenwinkel. Sie heißt Außenwinkelhalbierende des ursprünglichen Winkels.

Winkelhalbierende im Dreieck

In der Dreieckslehre meint „Winkelhalbierende“ meistens die Halbierende eines Innenwinkels. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels α wird oft mit w_α bezeichnet. Dieses Zeichen kann auch die Strecke innerhalb des Dreiecks oder ihre Länge meinen.

Für Dreiecke gelten mehrere wichtige Sätze:

• Die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises.
• Jede Winkelhalbierende eines Innenwinkels teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Auch diese Aussage wird Winkelhalbierendensatz genannt.
• Die Halbierenden eines Innenwinkels und der zu den beiden anderen Innenwinkeln gehörenden Außenwinkel schneiden sich jeweils in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Ankreises.
• Die Schnittpunkte der Halbierenden der Außenwinkel mit den verlängerten Gegenseiten liegen, sofern sie existieren, auf einer Geraden.
• Jede Winkelhalbierende schneidet die Mittelsenkrechte der dem Winkel gegenüberliegenden Seite auf dem Umkreis eines nicht-gleichschenkligen Dreiecks. Das heißt Südpolsatz.

Für die Länge w_c der Halbierenden eines Innenwinkels γ und für die anliegenden Seitenlängen a und b gilt:

w_c = (2ab / (a + b)) · cos(γ / 2)

Sind alle drei Seiten a, b und c gegeben, gilt:

w_c = √(a · b · (1 − c² / (a + b)²))

Die Fußpunkte der Winkelhalbierenden, also ihre Schnittpunkte mit den Seiten des Dreiecks, werden baryzentrisch angegeben durch:

W_a = (0:b:c), W_b = (a:0:c), W_c = (a:b:0).

Analytische Gleichungen und Koordinatensystem

In der analytischen Geometrie können Winkelhalbierende mithilfe von Geradengleichungen beschrieben werden. Sind zwei Geraden durch

a₁x + b₁y + c₁ = 0 und a₂x + b₂y + c₂ = 0

gegeben, dann ergeben sich ihre Winkelhalbierenden aus den Hesseschen Normalformen:

(a₁x + b₁y + c₁) / √(a₁² + b₁²) = ± (a₂x + b₂y + c₂) / √(a₂² + b₂²).

Der Grund ist wieder der Abstandssatz: Die Winkelhalbierenden bestehen aus allen Punkten, die von beiden Geraden den gleichen Abstand besitzen.

In einem kartesischen Koordinatensystem haben die Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen besondere Namen. Die 1. Winkelhalbierende verläuft durch den I. und III. Quadranten und hat die Gleichung y = x. Ihr Graph ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1. In Österreich heißt sie 1. Mediane.

Die 2. Winkelhalbierende verläuft durch den II. und IV. Quadranten und hat die Gleichung y = −x. Ihr Graph ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung −1.

Vierecke und allgemeinere Teilungen

Auch in Vierecken können Winkelhalbierende betrachtet werden. Im Allgemeinen begrenzen die Winkelhalbierenden eines Vierecks ein Sehnenviereck. Bei einem Tangentenviereck ist dieses eingeschlossene Viereck zu einem Punkt entartet. Bei einem Sehnenviereck ist das eingeschlossene Viereck orthodiagonal, das heißt seine Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Weitere spezielle Fälle sind:

• Die Winkelhalbierenden eines Parallelogramms schließen im Allgemeinen ein Rechteck ein.
• Die Winkelhalbierenden eines Rechtecks schließen ein Quadrat ein.
• Die Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Trapezes ergibt ein Drachenviereck.
• Die Winkelhalbierende eines Vierecks mit gleichen gegenüberliegenden Winkeln ergibt ein gleichschenkliges Trapez.

Durch wiederholtes Halbieren kann ein Winkel in 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16 oder allgemein in 2^k deckungsgleiche Teile geteilt werden. Dazu werden die bereits halbierten Winkel erneut halbiert.

Ist ein Winkel α gegeben, kann auch ein Winkel (n / 2^k) · α konstruiert werden, wenn n und k natürliche Zahlen sind. Dabei hilft die Darstellung im Binärsystem. Im Beispiel 5/8 = [0,101]₂ gilt:

(5/8) · α = α · (1/2 + (1/4 − 1/8)) = α/2 + α/4 − α/8.

Der Winkel (5/8) · α kann konstruiert werden, indem am Scheitelpunkt nacheinander α/2 im Uhrzeigersinn, α/4 im Uhrzeigersinn und α/8 gegen den Uhrzeigersinn konstruiert wird.

Allgemein gilt: Ist ein Winkel α gegeben und sind p und q natürliche Zahlen, dann kann der Winkel (p/q) · α genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn q eine Zweierpotenz ist, also q = 2^k. Für alle anderen natürlichen Zahlen q ist dies nicht möglich. Deshalb kann die seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. bekannte Dreiteilung des Winkels nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden.

Synthetische Geometrie

In der synthetischen Geometrie wird die Winkelhalbierende von sich schneidenden Geraden über ihre Eigenschaft als Symmetrieachse verstanden. Die Existenz solcher Winkelhalbierenden gehört zu den Axiomen, die eine frei bewegliche präeuklidische Ebene kennzeichnen.

Eine präeuklidische Ebene ist hier eine affine Ebene K² über einem Körper K mit Charakteristik nicht 2, zusammen mit einer Orthogonalitätsrelation ⟂ zwischen den Geraden der Ebene. Es gibt dabei keine isotropen Geraden. In einer solchen Ebene können senkrechte Achsenspiegelungen definiert werden.

Das Winkelhalbierenden-Axiom lautet: Zu zwei Geraden a und b existiert eine Gerade w, sodass bei der Achsenspiegelung an w die Gerade a auf die Gerade b abgebildet wird.

Sind a und b verschieden und parallel, dann erfüllt ihre Mittelparallele diese Symmetrieeigenschaft. Da Mittelparallelen in einer präeuklidischen Ebene immer existieren, ist die wesentliche Forderung die Existenz einer Symmetrieachse für sich schneidende Geraden. Aus der Existenz einer Winkelhalbierenden folgt immer die Existenz genau einer zweiten Winkelhalbierenden, die senkrecht zur ersten ist. Eine präeuklidische Ebene, die dieses Axiom erfüllt, heißt frei bewegliche Ebene.