Außenwinkelsatz

Was besagt der Außenwinkelsatz?

Der Außenwinkelsatz ist ein Satz der ebenen Geometrie. Er besagt: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Beispiel: In einem Dreieck ABC ist der Außenwinkel an der Ecke C gleich der Summe der Innenwinkel an den Ecken A und B. Ein Außenwinkel ist dabei der Nebenwinkel eines Innenwinkels an derselben Ecke. Der Satz wurde erstmals im 3. Jahrhundert v. Chr. als Satz 32 in Buch 1 der Elemente Euklids bewiesen.

Beweis mit der Winkelsumme

Der Außenwinkelsatz folgt einfach aus dem Satz von der Winkelsumme. Für die Innenwinkel α, β und γ des Dreiecks ABC gilt α + β + γ = 180°. Der Außenwinkel α′ an der Ecke A ist als Ergänzungswinkel zum Innenwinkel α genau 180° − α, also β + γ. Damit gilt α′ = β + γ; analog zeigt man β′ = α + γ und γ′ = α + β.

Der schwache Außenwinkelsatz

Der schwache Außenwinkelsatz (auch Satz vom Außenwinkel) sagt: Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist strikt größer als jeder der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. In Formeln: α′ > β, α′ > γ, β′ > α, β′ > γ, γ′ > α, γ′ > β. Daraus folgt auch, dass jeder Innenwinkel strikt kleiner als jeder der beiden nicht anliegenden Außenwinkel ist. Er entspricht Satz 16 in Buch 1 der Elemente Euklids. Da sein Beweis das Parallelenaxiom nicht benötigt, gilt er im Gegensatz zum normalen Außenwinkelsatz auch in der absoluten Geometrie und damit in nichteuklidischen Geometrien. Der schwache Außenwinkelsatz folgt zwar offensichtlich aus dem Außenwinkelsatz, er lässt sich aber auch unabhängig (z. B. mit Kosinussatz und Cauchy-Schwarz-Ungleichung) beweisen – und umgekehrt lässt sich mit dem Parallelenaxiom aus ihm die Innenwinkelsumme von 180° und daraus der starke Außenwinkelsatz herleiten. Die beiden Sätze sind bei Hinzunahme des Parallelenaxioms logisch äquivalent.

Folgerungen aus dem Satz

Aus dem Außenwinkelsatz (auch in seiner schwachen Form) folgen unter anderem:

• In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber, und umgekehrt.
• Die Summe zweier Seitenlängen ist strikt größer als die dritte (Dreiecksungleichung).
• Mindestens zwei der drei Innenwinkel eines Dreiecks sind spitze Winkel.
• Die Summe zweier Innenwinkel ist stets kleiner als ein gestreckter Winkel. Aus dem (mit Parallelenaxiom gültigen) Außenwinkelsatz folgt außerdem: Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360° (bei der üblichen Gradmessung und je Ecke genau einem der beiden Nebenwinkel). Dies gilt in der euklidischen Ebene sogar für alle konvexen Vielecke beliebiger Eckenzahl; diese Verallgemeinerung wird vereinzelt ebenfalls als Außenwinkelsatz bezeichnet.

Absolute und nichteuklidische Geometrie

Absolute Geometrie bezeichnet die Teile der euklidischen Geometrie, die ohne das Parallelenaxiom auskommen. Der schwache Außenwinkelsatz gehört dazu; bei Hilbert (Grundlagen der Geometrie) tritt er als „fundamentaler Satz“ auf, der schon bei Euklid eine wichtige Rolle spielt. Zum Winkelvergleich nach Hilbert: Je zwei Winkel (außer gestreckten und überstumpfen) sind entweder kongruent oder ungleich; der Vergleich erfolgt durch Antragen des einen Winkels am anderen – liegt der freie Schenkel im Inneren des anderen, ist der angetragene Winkel der kleinere, sonst der größere; decken sich die Inneren, sind beide gleich. In der Literatur zur absoluten Geometrie wird der schwache Satz teils selbst als „Außenwinkelsatz“ (oder „Erster Satz zum Außenwinkel“) und der starke als „Starker Außenwinkelsatz“ (oder „Zweiter Satz vom Außenwinkel“) bezeichnet.

Hyperbolische Geometrie: Der schwache Außenwinkelsatz gilt weiterhin, der starke dagegen nicht. Stattdessen gilt der verschärfte Außenwinkelsatz: In der hyperbolischen Ebene ist jeder Außenwinkel eines Dreiecks strikt größer als die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Er heißt auch Außenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie, da er auf dem Lobatschewskischen Parallelenaxiom beruht.

Elliptische Geometrie: Hier gibt es keinen dem Außenwinkelsatz entsprechenden Satz. Für eulersche Kugeldreiecke der Kugelgeometrie lassen sich aber manche Folgerungen wie die Dreiecksungleichung ziehen.