Konvexe Menge – einfach erklärt

Grundbegriff und Definition

Eine geometrische Figur beziehungsweise eine Teilmenge eines euklidischen Raums heißt konvex, wenn für je zwei beliebige Punkte der Menge auch die gesamte Verbindungsstrecke zwischen ihnen in der Menge liegt. Eine konvexe Menge besitzt daher keine konkave Einbuchtung.

Für eine Teilmenge M eines reellen oder komplexen Vektorraums V gilt genau dann Konvexität, wenn für alle a,b ∈ M und alle λ ∈ ℝ mit 0 ≤ λ ≤ 1 gilt:

λa + (1 − λ)b ∈ M.

Die Verbindungsstrecke von a und b wird parametrisch beschrieben durch

[a,b] beziehungsweise ̅ab := {λa + (1 − λ)b | λ ∈ ℝ, 0 ≤ λ ≤ 1}.

Die Definition umfasst auch Figuren mit geradlinigen Rändern, etwa Quadrate.

Beispiele und grundlegende Eigenschaften

Konvex sind unter anderem:

die leere Menge und jede einelementige Menge;
Vektorräume, die ℝ enthalten, sowie Halbebenen und Halbräume;
Strecken und Geraden;
Dreiecksflächen und einfache regelmäßige Polygonflächen;
Kreisscheiben und Kugeln, die sogar streng konvex sind;
Parallelogramme, Würfel, Platonische Körper und Spate;
die Mengen oberhalb des Graphen einer konvexen Funktion beziehungsweise unterhalb des Graphen einer konkaven Funktion.

Endliche Mengen sind genau dann konvex, wenn sie höchstens ein Element enthalten. Trapeze und Drachenvierecke können nichtkonvex sein, beispielsweise ein verschränktes Trapez oder ein Pfeilviereck. Ein Torus ist nicht konvex; auch der topologische Rand einer konvexen Menge ist im Allgemeinen nichtkonvex. Die rationalen Zahlen mit dem üblichen Abstand sind ein Beispiel für eine metrisch konvexe, aber nicht konvexe Teilmenge von ℝ.

Jede konvexe Menge ist sternförmig: Jeder ihrer Punkte kann als Sternzentrum gewählt werden. Jede nichtleere konvexe Teilmenge eines reellen oder komplexen topologischen Vektorraums ist zusammenhängend und auf einen Punkt kontrahierbar; sie kann daher keine Löcher haben.

Der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen ist wieder konvex. Die von einer Teilmenge erzeugte konvexe Menge heißt ihre konvexe Hülle; sie ist der Durchschnitt aller konvexen Mengen, die diese Teilmenge enthalten. Die Vereinigung konvexer Mengen ist dagegen im Allgemeinen nicht konvex. Die Vereinigung einer aufsteigenden Kette konvexer Mengen ist wieder konvex.

In lokalkonvexen Räumen ist eine kompakte, konvexe Menge nach dem Satz von Krein-Milman der Abschluss der Konvexkombinationen ihrer Extremalpunkte. Ein Extremalpunkt liegt nicht zwischen zwei Punkten aus der Menge. In einem endlichdimensionalen Raum der Dimension n ist nach dem Satz von Carathéodory jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge eine Konvexkombination von höchstens n+1 Extremalpunkten.

Operationen und Spezialfälle

Konvexität bleibt unter verschiedenen Operationen erhalten. Bilder und Urbilder konvexer Mengen unter einer affinen Funktion f(x) = Ax + b mit A ∈ ℝ^{m×n} und b ∈ ℝ^m sind wieder konvex. Translationen und Skalierungen sind Spezialfälle: Für eine Translation setzt man A = E, für eine Skalierung A = aE und b = 0, wobei E die Einheitsmatrix ist.

Auch die Minkowski-Summe

K₁ + K₂ := {x₁ + x₂ | x₁ ∈ K₁, x₂ ∈ K₂}

und das kartesische Produkt K₁ × K₂ zweier konvexer Mengen sind konvex. Die Projektion f(x) = xᵢ auf eine Koordinatenachse erhält ebenfalls die Konvexität. Gilt für jedes x ∈ K die Bedingung cᵀx + d > 0, dann sind Bild und Urbild einer konvexen Menge unter

f(x) = (Ax + b)/(cᵀx + d)

wieder konvex.

Eine Menge heißt streng konvex, wenn die offene Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte vollständig im Inneren der Menge liegt. Streng konvexe Mengen besitzen anschaulich keine geradlinigen Randstücke. Eine Menge heißt glatt konvex, wenn jeder Randpunkt eine eindeutige Stützhyperebene besitzt; solche Mengen haben anschaulich keine Ecken oder Kanten.

Konvexität in normierten Räumen

Ein normierter Raum (V, ||·||) ist ein Vektorraum mit einer Norm ||x||, die jedem Vektor x ∈ V seine Länge zuordnet. Eine zentrale konvexe Menge ist die abgeschlossene Einheitskugel

B̄V := {x ∈ V; ||x|| ≤ 1}.

Verschärfte Konvexitätsbedingungen an dieser Einheitskugel führen zu Raumklassen wie strikt konvexen, gleichmäßig konvexen oder glatten Räumen.

Für eine beschränkte, konvexe Menge M ⊆ V heißt ein Punkt x diametral, wenn

sup{||x − y||; y ∈ M}

gleich dem Durchmesser von M ist. In der Einheitskugel sind genau die Randpunkte, also die Vektoren der Länge 1, diametral. Bei einer Strecke in einem normierten Raum sind genau ihre Endpunkte diametral.

Eine beschränkte, konvexe Menge besitzt normale Struktur, wenn jede darin enthaltene abgeschlossene und konvexe Teilmenge M mit mindestens zwei Punkten auch nichtdiametrale Punkte bezüglich M enthält. Jede kompakte, konvexe Menge in einem normierten Raum hat normale Struktur. Nach dem Satz von Heine-Borel sind beschränkte, abgeschlossene Mengen in endlichdimensionalen Räumen kompakt; deshalb haben dort alle beschränkten, konvexen Mengen normale Struktur. Beschränkte, konvexe Mengen ohne normale Struktur treten somit nur in unendlichdimensionalen Räumen auf.

Verallgemeinerungen und metrische Konvexität

Für eine sinnvolle Konvexitätsdefinition sind schwächere geometrische Voraussetzungen als die vollständige euklidische Geometrie ausreichend. Aus Hilberts Axiomensystem benötigt man lediglich die Axiome der Verknüpfung und der Anordnung. Entscheidend ist insbesondere, wie eine gerade Verbindungsstrecke definiert wird. So ist die Halbebene {(x,y) ∈ ℝ² | x + y ≤ 0} in der euklidischen Ebene konvex, in der Moulton-Ebene jedoch nicht: Die „Gerade“ zwischen (−1,1) und (1,−1) verläuft über den nicht zur Menge gehörenden Punkt (0, 1/3). Je nach mathematischem Kontext werden unterschiedliche, teilweise nicht kohärente Verallgemeinerungen verwendet.

Ein Konvexitätsraum besteht aus einer Menge X und einer Familie von Teilmengen 𝒦 ⊆ 𝒫(X). Die Mengen aus 𝒦 heißen konvex und erfüllen:

∅ und X liegen in 𝒦;
der Durchschnitt beliebig vieler Mengen aus 𝒦 liegt wieder in 𝒦;
die Vereinigung jeder bezüglich Inklusion total geordneten Familie aus 𝒦 liegt wieder in 𝒦.

Ein metrischer Raum (X,d) heißt metrisch konvex, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x,y ∈ X einen dritten Punkt z ∈ X \ {x,y} gibt mit

d(x,y) = d(x,z) + d(z,y).

Dann liegt z zwischen x und y. Ein Kreis ist metrisch konvex, als Teilmenge des euklidischen Raums aber nicht konvex. Der Schnitt metrisch konvexer Mengen muss nicht metrisch konvex sein: Bei einer Kreislinie mit der Bogenlängenmetrik können zwei abgeschlossene Halbkreise metrisch konvex sein, während ihr Schnitt {x,y} nicht metrisch konvex ist. Das grundlegende Resultat über metrisch konvexe Räume ist der Verbindbarkeitssatz von Menger.

Eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist bezüglich der von der Norm induzierten Metrik stets metrisch konvex. Für abgeschlossene Teilmengen gilt auch die Umkehrung. Die Menge ℝ² \ {0} ist metrisch konvex, aber als riemannsche Mannigfaltigkeit nicht geodätisch konvex.

Geodäten, Kurven und klassische Resultate

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (M,g) besitzen eine innewohnende Metrik, die ihre Geodäten festlegt. Eine Umgebung heißt einfach konvex, wenn jedes Paar von Punkten in ihr durch genau eine Geodäte verbunden werden kann, die vollständig in der Umgebung liegt. Eine Untermannigfaltigkeit C einer riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) heißt geodätisch konvex, wenn je zwei Punkte x,y ∈ C durch eine Kurve in C verbunden werden können, die in (M,g) eine global längenminimierende Geodäte ist.

Bei einer stetig differenzierbaren ebenen Kurve kann die Krümmung in einem Punkt x₀ relativ zum Betrachter beschrieben werden. Liegen benachbarte Punkte von x₀ in derselben Tangential-Halbebene wie der Betrachter, ist die Kurve dort für ihn konkav gekrümmt. Liegen in einer Umgebung von x₀ alle Punkte in der anderen Tangential-Halbebene, ist sie für ihn konvex gekrümmt. In höheren Dimensionen lässt sich die Krümmung analog bei Hyperebenen untersuchen; das Objekt muss dafür orientierbar sein. Eine Funktion ist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph, also die Menge über ihrem Funktionsgraphen, konvex ist.

Die Theorie der konvexen Mengen wurde durch Hermann Minkowskis Werk Geometrie der Zahlen, Leipzig 1910, begründet. Anwendungen gibt es beispielsweise in der konvexen Optimierung und der Computeranimation; konvexe Polytope sind dort in verschiedener Hinsicht einfacher zu handhaben als nichtkonvexe.

Zu den klassischen Resultaten über konvexe Mengen gehören die Bieberbachsche Ungleichung, der Auswahlsatz von Blaschke, die Brunn-Minkowski-Ungleichung, der Satz von Cauchy, die Eulersche Polyederformel, der Satz von Helly, der Satz von Jung, das Lemma von Kakutani, der Satz von Krein-Milman, der Satz von Minkowski, der Minkowskische Gitterpunktsatz, der Satz von Pick, der Satz von Radon und der Trennungssatz.