Regelmäßiges Polygon – einfach erklärt

Definition und Einteilung

Ein regelmäßiges Polygon, auch reguläres Vieleck oder Isogon, ist ein ebenes Polygon, das gleichseitig und gleichwinklig ist. Für die Seitenlängen a, b, c, … und Innenwinkel α, β, γ, … gilt daher

a = b = c = … und α = β = γ = … .

Alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Kreis, dem Umkreis, und benachbarte Ecken erscheinen unter demselben Mittelpunktswinkel. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird gewöhnlich n ≥ 3 vorausgesetzt.

Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit derselben Eckenzahl sind ähnlich und werden mit dem Schläfli-Symbol {n} bezeichnet. Die ersten Beispiele sind das gleichseitige Dreieck {3}, das Quadrat {4}, das regelmäßige Fünfeck {5} und das regelmäßige Sechseck {6}.

Überschlagene regelmäßige Polygone können in einem Zug gezeichnet werden und heißen reguläre Sternpolygone. Sie werden mit {n/m} bezeichnet. Dabei gilt 2 ≤ m < n/2; m ist die Umlaufzahl um den Mittelpunkt und muss zu n teilerfremd sein. Andernfalls entsteht ein aus mehreren Polygonen zusammengesetzter Stern, etwa das Hexagramm {6/2} oder das Oktagramm {8/2}. Die Anzahl verschiedener Typen regelmäßiger Polygone mit n Ecken beträgt ½ φ(n), wobei φ die eulersche Phi-Funktion ist.

Winkel, Radien und Flächeninhalt

Der Mittelpunkt eines regelmäßigen n-Ecks ist zugleich Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt. Der Umkreisradius rᵤ verbindet den Mittelpunkt mit den Ecken. Der Inkreisradius rᵢ ist der Abstand des Mittelpunkts zu den Seiten; der Inkreis berührt jede Seite in deren Mittelpunkt.

Der Mittelpunktswinkel und die Innen- und Außenwinkel eines einfachen regelmäßigen n-Ecks sind

μ = (1/n) · 360° = 2π/n,

α = ((n−2)/n) · 180° = π − 2π/n,

α′ = (1/n) · 360° = 2π/n.

Beispiele: Im regelmäßigen Dreieck betragen Mittelpunkts- und Außenwinkel 120° beziehungsweise 2π/3, der Innenwinkel 60° beziehungsweise π/3. Im Quadrat sind alle drei Winkel 90° beziehungsweise π/2. Im Fünfeck betragen sie 72° beziehungsweise 2π/5, 108° beziehungsweise 3π/5 und 72° beziehungsweise 2π/5. Im Sechseck sind es 60° beziehungsweise π/3, 120° beziehungsweise 2π/3 und 60° beziehungsweise π/3.

Das Bestimmungsdreieck wird vom Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken gebildet. Es ist gleichschenklig, hat den Spitzenwinkel μ, die Basiswinkel α/2, die Schenkel rᵤ, die Basis a und die Höhe rᵢ. Daraus folgen

a = 2rᵤ · sin(π/n) = 2rᵢ · tan(π/n),

rᵤ = (a/2) · csc(π/n) = rᵢ · sec(π/n),

rᵢ = (a/2) · cot(π/n) = rᵤ · cos(π/n).

Für ein einfaches regelmäßiges Polygon gelten für Umfang U und Flächeninhalt A:

U = n·a = 2n rᵤ · sin(π/n) = 2n rᵢ · tan(π/n),

A = n a rᵢ/2 = (n a²/4) · cot(π/n) = (n rᵤ²/2) · sin(2π/n) = n rᵢ² · tan(π/n).

Der Flächeninhalt entsteht also als n-fache Fläche des Bestimmungsdreiecks. Beispiele sind A = a²√3/4 für ein gleichseitiges Dreieck, A = a² für ein Quadrat und A = 3a²√3/2 für ein regelmäßiges Sechseck.

Diagonalen, Symmetrien und Abstände

Von jeder Ecke eines regelmäßigen n-Ecks gehen n−3 Diagonalen aus. Die k-te Diagonale, k = 1, …, n−3, hat die Länge

dₖ = 2rᵤ · sin((k+1)π/n) = a · sin((k+1)π/n) · csc(π/n).

Es gilt dₖ = dₙ₋ₖ₋₂. Bei gerader Eckenzahl gibt es (n−2)/2 verschieden lange Diagonalen, bei ungerader Eckenzahl (n−3)/2. Die Gesamtzahl aller Diagonalen beträgt n(n−3)/2. Beispiele: Die Diagonale des Quadrats ist a√2, die längste Diagonale des regelmäßigen Sechsecks ist 2a, und die beiden Diagonalenlängen des Fünfecks umfassen unter anderem a(1+√5)/2.

Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks ist die Diedergruppe Dₙ der Ordnung 2n. Sie besteht aus n Drehungen der zyklischen Gruppe Cₙ und n Spiegelungen an Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt. Bei geradem n verläuft die Hälfte der Achsen durch gegenüberliegende Ecken und die andere Hälfte durch Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Bei ungeradem n verläuft jede Achse durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jedes regelmäßige Polygon mit gerader Eckenzahl ist außerdem punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.

Nach dem Satz von Viviani ist die Summe der senkrechten Abstände eines inneren Punkts P zu allen Seiten gleich n·rᵢ. Weitere Identitäten lauten: Die Summe der Abstände der Ecken zu einer beliebigen Umkreistangente ist n·rᵤ; die Summe der Abstandsquadrate der Ecken zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist 2n·rᵤ²; für die Seitenmittelpunkte beträgt sie 2n·rᵤ² − ¼n·a². Das Produkt der Abstände eines Eckpunkts zu allen anderen Eckpunkten ist

∏ₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2rᵤ · sin(kπ/n) = n·rᵤⁿ⁻¹.

Zerlegungen, Koordinaten und Grenzfälle

Die Diagonalen eines einfachen regelmäßigen Polygons erzeugen verschiedene Zerlegungen. Bei geradem n verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt; bei ungeradem n bilden sie im Inneren eine verkleinerte Kopie des Polygons. Die Zahl der inneren Diagonalenschnittpunkte beginnt mit 0, 1, 5, 13, 35, 49, … und ist nicht monoton steigend. Für ungerades n beträgt sie C(n,4) = n(n−1)(n−2)(n−3)/24; für gerades n ≥ 6 ist sie wegen mehrfacher Schnittpunkte kleiner als C(n,4). Die Zahl der Teilpolygone einer vollständigen Diagonalzerlegung beginnt mit 1, 4, 11, 24, 50, 80, … . Für ungerades n ist sie (n⁴−6n³+23n²−42n+24)/24 und für gerades n kleiner. Überschneidungsfreie Zerlegungen werden durch die kleinen Schröder-Zahlen sₙ₋₂ gezählt, reine Dreieckszerlegungen durch die Catalan-Zahlen Cₙ₋₂.

Verbindet man bei p gleichmäßig auf einem Kreis verteilten Punkten immer Punkte mit Indexdifferenz q, entstehen gleich lange Diagonalen und ein {p/q}-Stern. Beispiele sind das Pentagramm {5/2}, das Hexagramm beziehungsweise der Davidstern {6/2}, die Sterne {7/2}, {7/3}, {8/2} und {8/3}.

Liegen die Ecken eines n-Ecks auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius rᵤ und ist Pₙ = (rᵤ, 0), dann gilt für k = 1, …, n:

Pₖ = (rᵤ cos(2kπ/n), rᵤ sin(2kπ/n)).

In Polarkoordinaten lautet derselbe Punkt (rᵤ, 2kπ/n). Als Schnittmenge von Halbebenen wird das Polygon durch die n Geraden durch benachbarte Ecken beschrieben; gewählt werden jeweils die Halbebenen auf der Seite des Ursprungs. Es kann auch als Voronoi-Zelle definiert werden: Der Ursprung ist ein Zentrum, die n anderen Zentren liegen in den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks mit dem doppelten Inkreisradius 2rᵢ.

Bei festem Umkreisradius steigen Flächeninhalt und Umfang mit wachsendem n streng monoton und nähern sich πrᵤ² beziehungsweise 2πrᵤ. Bei festem Inkreisradius gilt für x > 2 die strenge Monotonie des Flächeninhalts A(x) = x rᵢ² tan(π/x), und der Grenzwert ist πrᵢ². Bei festem Umkreisradius gilt A(x) = (x rᵤ²/2) sin(2π/x), streng monoton steigend für x > 4, mit Grenzwert πrᵤ². Die zugehörigen Sinus- und Tangenseigenschaften beruhen auf Grenzwerten wie limₓ→∞ x sin(1/x) = 1 und limₓ→∞ x tan(1/x) = 1.

Konstruktion, Maximalität und mathematische Anwendungen

Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn seine Seitenzahl die Form

n = 2ʳ p₁ ··· pₖ

hat. Dabei sind r, k ∈ ℕ₀ und p₁, …, pₖ paarweise verschiedene fermatsche Primzahlen. Das kleinste nicht konstruierbare regelmäßige Polygon ist das Siebeneck. Mit einem zusätzlichen Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels sind Seitenzahlen der Form n = 2ʳ3ˢp₁···pₖ möglich, wobei p₁, …, pₖ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Damit werden beispielsweise das Siebeneck, Neuneck und Dreizehneck konstruierbar, nicht aber das Elfeck. Konkrete Konstruktionen gibt es unter anderem für das 17-Eck, 257-Eck und 65537-Eck.

Nach dem Satz von Zenodoros hat unter allen n-Ecken mit gleichem Umfang das regelmäßige n-Eck den größten Flächeninhalt. Dasselbe gilt unter allen in einen gegebenen Kreis einbeschriebenen n-Ecken. In einer endlichen Menge regelmäßiger Polygone mit gleichem Umfang besitzt dasjenige mit den meisten Ecken die größte Fläche. Ein Kreis hat nach der isoperimetrischen Ungleichung jedoch einen größeren Flächeninhalt als jedes regelmäßige Polygon mit gleichem Umfang.

Regelmäßige Polygone dienen zur Näherung von π. Archimedes verwendete im 3. Jahrhundert v. Chr. ein- und umbeschriebene Polygone um einen Einheitskreis und ging vom Sechseck über das Zwölfeck, Vierundzwanzigeck, 48-Eck bis zum 96-Eck. Er erhielt 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. Allgemein gilt

(n/2) sin(2π/n) < π < n tan(π/n).

In der Ebene entstehen mit nur einer regelmäßigen Kachelsorte und Kante-an-Kante-Anordnung die drei platonischen Parkettierungen aus Dreiecken, Vierecken und Sechsecken. Mit mehreren Sorten und gleicher Eckanordnung gibt es acht archimedische Parkettierungen. Das regelmäßige Sechseck besitzt die geringste Umfangslänge pro Flächeneinheit.

Im Raum bilden regelmäßige Polygone die Seitenflächen regulärer Polyeder. Dazu gehören die 5 platonischen Körper, 13 archimedischen Körper, reguläre Prismen, uniforme Antiprismen, 92 Johnson-Körper sowie bestimmte regelmäßige Pyramiden und Doppelpyramiden. Die fünf platonischen Körper sind Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Auch Sternkörper wie das Sterntetraeder besitzen regelmäßige Polygonflächen.

Vorkommen und Verwendung

Regelmäßige Polygone werden als Grundrisse von Zentralbauten verwendet. Beispiele sind quadratische ägyptische Pyramiden und Vierungstürme, das fünfeckige Pentagon in Washington, sechseckige Festungen wie Saarlouis und Fort Jefferson, das siebeneckige Kultur- und Kongresszentrum Liederhalle in Stuttgart, der achteckige Felsendom in Jerusalem und das Castel del Monte, die neuneckige Festungsstadt Palmanova, der zwölfeckige Torre del Oro in Sevilla, die vierzehneckige Kirche Notre-Dame de l’Assomption in Rieux-Minervois sowie der sechzehneckige Zentralbau des Aachener Doms.

In der Numismatik heißen polygonale Münzen Klippen. Sie wurden früher als Notmünzen geprägt und kommen auch als Kurs- oder Gedenkmünzen vor. Beispiele sind die quadratische 50-Cent-Münze der Niederländischen Antillen, die sechseckige indische 20-Paise-Münze, die siebeneckigen britischen 20- und 50-Pence-Münzen, die achteckigen chilenischen Ein- und Fünf-Peso-Münzen, die elfeckige indische Zwei-Rupien-Münze und die zwölfeckige australische 50-Cent-Münze. Moderne Klippen haben häufig nach außen gekrümmte Seiten und sind dann Reuleaux-Polygone, die Münzautomaten leichter erkennen können.

In der Natur treten regelmäßige polygonale Strukturen unter anderem im Benzolring C₆H₆ als regelmäßigem Sechseck, in kubischen und hexagonalen Kristallsystemen, bei Okrafrüchten mit fünfeckiger Struktur und in Bienenwaben mit sechseckiger Struktur auf. Einige regelmäßige Polygone besitzen außerdem symbolische Bedeutungen, etwa das Dreiecksymbol und das Pentagramm. Verkehrszeichen, besonders Vorfahrtsschilder, haben häufig die Form eines regelmäßigen Polygons mit abgerundeten Ecken.