Gleichseitiges Dreieck

Definition und Eigenschaften

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten beziehungsweise Kanten und drei gleichen Winkeln von jeweils 60°. Es wird auch regelmäßiges Dreieck genannt und gehört zu den regelmäßigen Polygonen. Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich; ihre Form ist also gleich, auch wenn ihre Größe verschieden ist.

Ein gleichseitiges Dreieck ist rotationssymmetrisch: Eine Drehung um seinen Mittelpunkt um 360°/3 = 120° oder ein Vielfaches davon bildet es auf sich selbst ab. Außerdem ist es bezüglich aller drei Mittelsenkrechten spiegelsymmetrisch. Es ist spitzwinklig. Seine Isometriegruppe ist die Diedergruppe D₃. Da mindestens zwei Seiten gleich lang sind, ist jedes gleichseitige Dreieck zugleich ein gleichschenkliges Dreieck; dabei kann jede der drei Seiten als Basis betrachtet werden. Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist daher eine Teilmenge der Menge der gleichschenkligen Dreiecke.

Berechnung und Konstruktion

Abgesehen von seiner Lage in der Zeichenebene ist ein gleichseitiges Dreieck durch seine Seitenlänge vollständig bestimmt. Für die Seitenlänge a gelten die Formeln:

Flächeninhalt: A = (√3/4) · a²
Umfang: U = 3 · a
Seitenlängen: a = b = c
Winkel: α = β = γ = 60°
Höhe: h = (√3/2) · a
Inkreisradius: rᵢ = a/(2 · √3)
Umkreisradius: rᵤ = a/√3

Zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal wird gewöhnlich eine Seite als Grundseite vorgegeben. Um jeden ihrer beiden Endpunkte zeichnet man einen Kreis mit einem Radius, der der Länge der Grundseite entspricht. Die beiden möglichen Schnittpunkte der Kreise sind jeweils der dritte Eckpunkt eines gleichseitigen Dreiecks.

Ist stattdessen der Umkreis vorgegeben, zeichnet man zunächst eine Gerade durch dessen Mittelpunkt M. Sie schneidet den Kreis in C und D. Um D wird ein Kreisbogen mit dem Radius des Umkreises geschlagen. Seine Schnittpunkte mit dem Umkreis heißen A und B. Die Punkte A, B und C bilden das gesuchte gleichseitige Dreieck.

Gemeinsamer Mittelpunkt

Im gleichseitigen Dreieck schneiden sich die Höhen, Mittelsenkrechten beziehungsweise Seitensymmetralen, Seitenhalbierenden beziehungsweise Schwerelinien und Winkelhalbierenden in einem gemeinsamen Punkt. Deshalb fallen fünf ausgezeichnete Punkte zusammen: der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt U, der Schwerpunkt S, der Inkreismittelpunkt I und der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F.

Dieser gemeinsame Punkt teilt jede Höhe im Verhältnis 2:1. Für die eingezeichnete Höhe gilt beispielsweise CI:DI = 2:1. Daraus folgt für die Radien die Beziehung 2r = R, wobei r der Inkreisradius und R der Umkreisradius ist. Der Feuerbachkreis fällt mit dem Inkreis zusammen; beide haben denselben Radius r.

Koordinaten und dritter Eckpunkt

Für ein Dreieck mit den Eckpunkten A = (x_A|y_A), B = (x_B|y_B) und C = (x_C|y_C) besitzt der gemeinsame Mittelpunkt M die Koordinaten

x_M = (x_A + x_B + x_C)/3, y_M = (y_A + y_B + y_C)/3.

Beispiel: Für A = (1|5), B = (4|4) und C = (1,633…|1,901… beziehungsweise 1,902…) ergibt sich M = (2,211…|3,633…).

Sind bei einem gleichseitigen Dreieck zwei Eckpunkte bekannt, kann der dritte Eckpunkt durch eine Drehung um 60° berechnet werden. Es gibt zwei Lösungen, weil das dritte Eck auf zwei Seiten der gegebenen Strecke liegen kann:

x_C = (x_B + x_A ± √3 · (y_B − y_A))/2, y_C = (y_B + y_A ∓ √3 · (x_B − x_A))/2.

Für A = (3|5) und B = (6|4) erhält man C₁ = (3,634…|1,902…) und C₂ = (5,366…|7,098…).

Wichtige Sätze

Der Satz von Napoleon besagt: Errichtet man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks gleichseitige Dreiecke, so bilden die drei Schwerpunkte dieser errichteten Dreiecke ein weiteres gleichseitiges Dreieck, das Napoleon-Dreieck. Das Ergebnis ist unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks.

Das Morley-Dreieck entsteht aus einem beliebigen Dreieck nach einer bestimmten Konstruktionsvorschrift. Der Satz von Morley besagt, dass das dabei entstehende Dreieck immer gleichseitig ist.

Nach dem Satz von Viviani ist bei einem Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks die Summe seiner Abstände von den drei Dreiecksseiten gleich der Höhe des Dreiecks.

Der Satz von Möbius-Pompeiu besagt für ein gleichseitiges Dreieck und einen beliebigen Punkt, der nicht auf seinem Umkreis liegt: Die drei Verbindungsstrecken des Punktes zu den Eckpunkten erfüllen stets die Dreiecksungleichung. Mit diesen drei Längen kann also ein Dreieck konstruiert werden. Liegt der Punkt auf dem Umkreis, entsteht ein entartetes Dreieck; die längste Verbindungsstrecke ist dann gleich der Summe der beiden kürzeren. Diese letzte Aussage heißt auch Satz von van Schooten.

Weitere geometrische Zusammenhänge

Platon beschrieb im Timaios (53b–56c) besondere regelmäßige Vielecke als Oberflächen der fünf platonischen Körper. Gleichseitige Dreiecke kommen direkt im Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder vor; außerdem virtuell in den Fünfeckflächen des Dodekaeders. Als Baustein für Platons Konstruktion dient ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 1 und √3 sowie Hypotenuse 2. Aus sechs solchen Dreiecken entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2√3. Die Konstruktion besteht aus neun Kreisen mit Radius 1, drei Geraden der Länge 2√3 und drei Mittelsenkrechten der Länge 3.

Mit gleichseitigen Dreiecken kann eine Ebene lückenlos parkettiert werden. Solche periodischen, dreh- und translationssymmetrischen Parkettierungen bestehen ausschließlich aus regelmäßigen Polygonen. Genannt werden das regelmäßige Dreiecksgitter sowie die Muster 3-3-3-4-4, 3-3-4-3-4, 3-6-3-6, 3-3-3-3-6 in zwei gespiegelten Varianten, 3-4-6-4 und 3-12-12. Die Zahlen geben an, wie viele Ecken die an einem Punkt zusammentreffenden regelmäßigen Polygone haben; ihre Innenwinkel ergeben zusammen 360°.

Ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1 kann in zwölf kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Daraus lassen sich zwei kongruente regelmäßige Sechsecke mit der Seitenlänge s = √3/6 bilden. Diese Länge folgt aus cos 30° = (1/4)/s.

Bei einer unendlichen Folge ineinander einbeschriebener gleichseitiger Dreiecke, bei der jeder Eckpunkt des Nachfolgers die Seiten des Vorgängers halbiert, entstehen geometrische Folgen. Für die Linienspirale gilt bei Ausgangsseitenlänge 1: a_n = (1/2)^n und Σ(n=1 bis ∞)(1/2)^n = 1. Für die Flächenspirale gilt A_n = (1/4)^n und Σ(n=1 bis ∞)(1/4)^n = 1/3. Die Gesamtlänge der Linienspirale ist somit 1, die Flächenmaßzahl der Flächenspirale beträgt ein Drittel der Fläche des Ausgangsdreiecks.

Regelmäßige Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder besitzen gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen; dies sind die einzigen platonischen Körper mit Dreiecken. Auch das abgeschrägte Hexaeder und das abgeschrägte Dodekaeder enthalten solche Dreiecke. Polyeder, deren Seitenflächen ausschließlich aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken bestehen, heißen Deltaeder. Im Alltag können beispielsweise zwei kongruente gleichseitige Dreiecke als Schachtdeckel zu einer Raute angeordnet werden; in den Dreiecken sind die Höhen sichtbar.