de:Kommutativgesetz

Grundidee und Definition

Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz genannt, ist eine grundlegende Regel der Algebra. Es besagt, dass die Argumente einer Operation vertauscht werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Eine solche Operation heißt kommutativ. Das Kommutativgesetz gehört zusammen mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz zu den grundlegenden algebraischen Regeln.

Formal seien A und X Mengen. Eine binäre Verknüpfung : A × A → X, (a,b) ↦ ab heißt kommutativ, wenn für alle a,b ∈ A gilt:

ab = ba.

Anschaulich verarbeitet die Verknüpfung zwei Eingaben. Bei einer kommutativen Verknüpfung spielt deren Reihenfolge für das Ergebnis keine Rolle.

Zahlen und Vektoren

Bei natürlichen und reellen Zahlen ist die Addition kommutativ. Für alle reellen Zahlen a,b ∈ ℝ gilt:

a+b = b+a.

Auch die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ:

a·b = b·a.

Diese Regeln heißen Kommutativgesetz der Addition beziehungsweise Kommutativgesetz der Multiplikation. Dagegen sind Subtraktion, Division und Potenzierung nicht kommutativ. Ein Gegenbeispiel für die Potenzierung ist 2³ ≠ 3².

Auch die Vektoraddition ist kommutativ: Für Vektoren a⃗ und b⃗ gilt a⃗+b⃗ = b⃗+a⃗.

Skalarprodukte und Matrizen

Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ. Für Vektoren a und b gilt stets:

⟨a,b⟩ = ⟨b,a⟩.

In einem komplexen Vektorraum ist das Skalarprodukt dagegen nicht kommutativ. Stattdessen gilt:

⟨a,b⟩ = overline(⟨b,a⟩),

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

Bei Matrizen ist die Addition über einem Ring oder Körper kommutativ. Die gewöhnliche Matrizenmultiplikation ist hingegen nicht kommutativ: Zwei Faktoren können in manchen Fällen vertauscht werden, aber nicht immer. Kommutativ sind außerdem die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren und die Matrizenmultiplikation innerhalb des Unterrings der Diagonalmatrizen.

Mengen, Logik und Gruppen

In der Mengenlehre sind Vereinigung und Schnitt kommutativ. Für Mengen A und B gilt:

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.

Die Mengendifferenz ist nicht kommutativ. Für A={1,2} und B={2} erhält man A∖B={1}, aber B∖A=∅.

In der Aussagenlogik sind die Junktoren ∨ („oder“), ∧ („und“) und ↔ („logische Äquivalenz“) kommutativ. Die Implikation → („wenn …, dann …“) ist nicht kommutativ.

Eine Gruppe, deren Verknüpfung für alle Gruppenelemente kommutativ ist, heißt abelsche Gruppe.

Nichtkommutativität und Antikommutativität

Weitere nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen und die Multiplikation von Quaternionen. Auch in der Quantenmechanik ist Kommutativität eine wichtige Grundeigenschaft: Das Kommutieren zweier Observablen bedeutet physikalisch, dass sie gleichzeitig genau messbar sind. Nicht alle Observablen kommutieren.

Antikommutativität ist eine besondere Gegenform zur Kommutativität. Beim Kreuzprodukt × gilt:

a×b = −(b×a).

Beim Vertauschen der Faktoren bleibt das Ergebnis also nicht gleich, sondern wechselt sein Vorzeichen. Allgemeiner erfüllt auch das als [a,b] geschriebene Produkt auf einer Lie-Algebra die Antikommutativität.