Addition

Bedeutung und Begriffe

Die Addition ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie beruht auf dem Zählen und wird auch Addieren oder Zusammenzählen genannt. Ihr Rechenzeichen ist das Pluszeichen „+“. Gemeinsam mit der Subtraktion gehört sie zur Rechenart 1. Stufe, der Strichrechnung.

Bei einer Addition heißen die Zahlen, die zusammengezählt werden, Summanden; das Ergebnis heißt Summe: erster Summand + zweiter Summand = Summe. Die früheren Bezeichnungen Augend für den ersten und Addend für den zweiten Summanden sind heute sehr selten. Beispielsweise gilt 2 + 3 = 5; dies wird als „zwei plus drei gleich fünf“ gelesen.

Wichtige Rechengesetze

Die Addition kann in allen Zahlenbereichen ausgeführt werden. Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Summanden den Wert nicht verändert: a + b = b + a. Deshalb ist zum Beispiel 6 + 7 = 7 + 6 = 13.

Nach dem Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz dürfen bei mehreren Summanden Klammern umgesetzt oder weggelassen werden: (a + b) + c = a + (b + c). Deshalb kann man kurz a + b + c schreiben.

Die 0 ist das neutrale Element der Addition. Für jede Zahl a gilt a + 0 = 0 + a = a. Sie ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft. Zu einer Zahl a gehört außerdem ihre Gegenzahl beziehungsweise ihr additives Inverses −a. Sie ergibt mit a die 0: a + (−a) = (−a) + a = 0. So ist −2 die Gegenzahl von 2.

Addition in Termen und Gleichungen

Addition und Multiplikation sind durch die Distributivgesetze verbunden. Für alle Zahlen a, b und c gilt a · (b + c) = (a · b) + (a · c) sowie (a + b) · c = (a · c) + (b · c). Ausmultiplizieren wandelt also ein Produkt in eine Summe um; Ausklammern wandelt eine Summe in ein Produkt um.

Addiert man zu beiden Seiten einer Gleichung oder Ungleichung dieselbe Zahl c, bleibt ihr Wahrheitsgehalt erhalten: a = b genau dann, wenn a + c = b + c; ebenso gilt a < b genau dann, wenn a + c < b + c, und a > b genau dann, wenn a + c > b + c. Dies ist ein Spezialfall einer Äquivalenzumformung.

Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion. Bei a + x = b ist x gesucht; sofern eine Lösung existiert, ist sie eindeutig. Man definiert x als b − a, sodass a + (b − a) = b gilt. In den natürlichen Zahlen ist a + x = b genau dann lösbar, wenn a ≤ b. In den ganzen Zahlen ist sie immer lösbar und x = b − a = b + (−a).

Definition bei natürlichen Zahlen

Aus den Peano-Axiomen wird die Addition auf den natürlichen Zahlen durch zwei Regeln definiert: n + 0 = n und n + m′ = (n + m)′. Dabei bezeichnet n′ den eindeutig bestimmten Nachfolger von n.

Da 1 der Nachfolger von 0 ist, folgt n + 1 = n + 0′ = (n + 0)′ = n′. Der Nachfolger einer Zahl n stimmt somit mit n + 1 überein.

Schriftliches Addieren und Summenzeichen

Bei der schriftlichen Addition im Dezimalsystem werden Zahlen so untereinander geschrieben, dass gleiche Stellen untereinanderstehen, also Einer über Einern und Zehner über Zehnern. Von rechts nach links werden die Ziffern jeder Stelle addiert. Unten wird jeweils nur die Einerstelle des Zwischenergebnisses notiert. Ist dieses mehrstellig, wird die übrige Ziffer als Übertrag in der links benachbarten Spalte berücksichtigt. Dafür muss man Zahlen von 0 bis 9 addieren können. Bei Dezimalzahlen müssen die Dezimalkommas genau untereinanderstehen; fehlende Nachkommastellen werden bei Bedarf mit Nullen ergänzt.

Mehrere Summanden können mit dem Summenzeichen Σ notiert werden: ∑ᵢ₌ₘⁿ xᵢ = xₘ + xₘ₊₁ + … + xₙ. i ist die Zählvariable, m der Startwert und n der Endwert; zwischen ihnen wird i jeweils um eins erhöht. m und n müssen ganze Zahlen sein. Bei n = m besteht die Summe aus einem Summanden, bei n < m ist sie als 0 definiert. Eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken heißt unendliche Reihe. Die Leibniz-Reihe lautet ∑ₖ₌₀^∞ ((−1)ᵏ/(2k+1)) = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − … = π/4.