Division (Mathematik)

Grundidee und Definition

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten und die Umkehroperation der Multiplikation. Sie beantwortet die Frage, welche Zahl x mit einem gegebenen Faktor b multipliziert werden muss, damit ein gewünschtes Produkt a entsteht: Gesucht ist x mit b · x = a. Man schreibt x = a : b.

Dabei heißt a Dividend, in der Bruchrechnung auch Zähler. b heißt Divisor oder Teiler, in der Bruchrechnung Nenner. Der Ausdruck a : b ist der Quotient; sein Ergebnis heißt Quotientenwert, oft ebenfalls kurz Quotient. Beispiel: 20 : 4 = 5, weil 4 · 5 = 20.

In den ganzen Zahlen ℤ ist eine solche Division nicht immer vollständig möglich. In den Körpern der rationalen Zahlen ℚ, der reellen Zahlen ℝ und der komplexen Zahlen ℂ gibt es dagegen für jedes a und jedes b ≠ 0 genau eine Lösung x. Division lässt sich deshalb als Multiplikation mit dem Kehrwert auffassen: a : b = a · 1/b = a · b⁻¹.

Brüche können als Paare a : b ganzer Zahlen verstanden werden. Beim Kürzen entfernt man einen gemeinsamen Faktor aus Zähler und Nenner, ohne den Wert zu ändern. So gilt 12/18 = 6/9 = 2/3. Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler ggT(12,18) = 6, erhält man den vollständig gekürzten Bruch 2/3. In der Standarddarstellung gelten a ∈ ℤ, 0 < b ∈ ℤ und ggT(a,b) = 1. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl multipliziert; auch dabei bleibt der Bruchwert gleich.

Rechengesetze und Bruchrechnung

Für die Division gelten weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz: Im Allgemeinen darf man Dividend und Divisor nicht vertauschen und aufeinanderfolgende Divisionen nicht beliebig umklammern. Die Umformung in eine Multiplikation mit dem Kehrwert ist oft übersichtlicher, weil die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist.

Die Division ist rechtsdistributiv gegenüber Addition und Subtraktion: (a + b) : c = a : c + b : c und (a − b) : c = a : c − b : c. Die entsprechende Linksdistributivität gilt im Allgemeinen nicht.

Für Vorzeichen gilt: Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, ist der Quotient positiv. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist er negativ. In Ungleichungen kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, wenn durch eine negative Zahl dividiert wird, etwa aus −2x < 10 folgt x > −5.

Bei komplexen Termen gilt Klammer vor Punkt vor Strich. Zwei Brüche dividiert man, indem man den ersten mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert: (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c) = (a · d)/(b · c). Bei Multiplikationen werden jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert. Für Addition oder Subtraktion müssen Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner erweitert werden. Der Nenner darf niemals 0 sein, und das Endergebnis ist gegebenenfalls zu kürzen. Außerdem gelten x/x = 1 für x ≠ 0 und x = x/1.

Typische Dezimaldarstellungen sind 1/2 = 0,5; 1/3 = 0,3̅; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2; 1/6 = 0,16̅; 1/7 = 0,142857̅; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,1̅; 1/10 = 0,1 und 1/100 = 0,01.

Division durch null

Eine arithmetische Division durch 0 ist in einem Ring mit mindestens zwei Elementen nicht möglich. Division durch 0 würde bedeuten, eine Lösung x für 0 · x = a zu suchen. Für a ≠ 0 existiert keine Lösung, weil aus den Ringaxiomen für jedes x stets 0 · x = 0 folgt. Für a = 0 ist dagegen jedes Ringelement eine Lösung; das Ergebnis wäre also nicht eindeutig. Eine willkürliche Festlegung wie 0 : 0 = 1 widerspricht den üblichen Rechengesetzen. Nur im Nullring, der ausschließlich aus dem Element 0 besteht, ist x = 0 die einzige Lösung.

Auch bei von 0 verschiedenen Divisoren kann Division in Ringen mit Nullteilern scheitern oder mehrdeutig sein. Im Ring ℤ/6ℤ hat 3 · x ≡ 2 mod 6 keine Lösung, während 3 · x ≡ 3 mod 6 die drei Lösungen x ≡ 1, 3, 5 mod 6 besitzt.

Die Gleichung 1 : 0 = ∞ ist ebenfalls keine gewöhnliche arithmetische Lösung. Ein zusätzlich eingeführter Wert ∞ würde die Ringstruktur und vertraute Rechenregeln aufgeben. Grenzwerte liefern keine eindeutige Rechtfertigung: Für f(x) = 1/x gilt lim x→0+ 1/x = +∞, aber lim x→0− 1/x = −∞. Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, besitzt 1/x für x→0 in der reellen Analysis keinen Grenzwert. In besonderen Aufgaben kann die Analysis, etwa mit zusätzlichen Angaben zu Stetigkeit oder Monotonie und mit der Regel von de l’Hospital, dennoch sinnvolle Grenzwerte bestimmen; das ist aber keine Definition der Division durch 0.

Computer behandeln den Fehler je nach Zahlenformat unterschiedlich. Bei Festkommazahlen verursacht die Division durch 0 auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler beziehungsweise eine zero-divide-exception; manche Laufzeitumgebungen legen stattdessen undefiniertes Verhalten fest. Ein solcher Fehler im Kernel kann den gesamten Rechner zum Absturz bringen. Bei Gleitkommazahlen wird nach der Norm IEEE 754 häufig +∞ oder −∞ ausgegeben und zusätzlich ein Flag gesetzt, das eine Ausnahmebehandlung ermöglicht. Dieses technische Verhalten macht die Division durch 0 nicht zu einer gültigen arithmetischen Operation.

Ganzzahlige Division und Teilbarkeit

Bei ganzen Zahlen ist eine Division genau dann vollständig durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Andernfalls bleibt bei der Division mit Rest ein Rest übrig. 0 geteilt durch eine beliebige Zahl x ≠ 0 ergibt 0; x : x = 1 für x ≠ 0; durch 0 darf nicht dividiert werden, und 0 : 0 ist nicht definiert.

Wichtige Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem sind:

• Jede Zahl ist durch 1 teilbar; gerade Zahlen sind durch 2 teilbar.
• Teilbarkeit durch 3 beziehungsweise 9 liegt vor, wenn die Quersumme durch 3 beziehungsweise 9 teilbar ist.
• Für die Teilbarkeit durch 4 müssen die letzten zwei Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
• Durch 5 teilbare Zahlen enden auf 0 oder 5.
• Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
• Für die Teilbarkeit durch 7 muss die alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar sein.
• Für die Teilbarkeit durch 8 müssen die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sein. Sind sie a, b und c, muss 4a + 2b + c durch 8 teilbar sein.
• Durch 10 teilbare Zahlen enden auf 0.
• Teilbarkeit durch 11 liegt vor, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

Ungerade Zahlen sind ohne Rest nur durch ungerade Zahlen teilbar. Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar.

Schreibweisen und Verallgemeinerung

Für die Division sind a : b, a ÷ b, a/b und die Bruchdarstellung a über b gebräuchlich. Bei komplizierten Ausdrücken wird meist der Bruchstrich bevorzugt. In Unicode stehen unter anderem Doppelpunkt U+003A, Schrägstrich U+002F, Divisionszeichen U+00F7 und Divisionsstrich U+2215 zur Verfügung. Das kaufmännische Minus U+2052 darf nicht mit dem Divisionszeichen verwechselt werden.

Mehrere Doppelpunkte werden normalerweise von links geklammert: a : b : c = (a : b) : c = a : (b · c). Entsprechend ist a : b : c : d = a : (b · c · d). Diese Auswertung verwenden auch die meisten Programmiersprachen. Bei verschachtelten Brüchen ist sorgfältig auf die Länge der Bruchstriche und auf Klammern zu achten: (a/b)/c = a/(b · c), während a/(b/c) = a · c/b.

In geometrischen Verhältnisangaben bedeutet beispielsweise a : b : c = sin α : sin β : sin γ keine Kettendivision, sondern a/sin α = b/sin β = c/sin γ.

In der abstrakten Algebra heißen Strukturen, in denen jede Division außer durch 0 möglich ist, Körper. Dividiert wird dort durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. Bei nichtkommutativer Multiplikation muss zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterschieden werden; außerdem beeinflusst die Gültigkeit des Assoziativgesetzes die Eigenschaften von Quotienten.

Geometrische Konstruktion und Sprachgebrauch

Ein Quotient a/b kann wie Multiplikation, Potenz und Quadratwurzel auch als Strecke mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Eine Konstruktion verwendet Kreisbögen und den Sehnensatz und liefert sowohl a : b als auch den Kehrwert b : a. Eine weitere Möglichkeit beruht auf dem Strahlensatz: Auf einem ersten Strahl werden ab A eine Einheitsstrecke AE = 1 und die Länge b als Strecke AB abgetragen. Ab B wird die Länge a unter einem beliebigen Winkel α eingezeichnet, wodurch ein zweiter Strahl durch A entsteht. Eine Parallele zu a durch E schneidet diesen Strahl so, dass die entstehende Strecke EC den Quotienten a/b darstellt.

Im österreichischen Sprachgebrauch wird gelegentlich zwischen Messen im Sinn von Wie oft geht es in …? und Teilen im Sinn von Wie viel ergibt es geteilt durch …? unterschieden. Bis in die 1970er Jahre gab es auch an deutschen Grundschulen gelegentlich die Unterscheidung zwischen Aufteilen in Gruppen und Verteilen.