Potenz (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Potenz ist das Ergebnis des Potenzierens: Die Basis wird wiederholt mit sich selbst multipliziert. In a^n heißt a Basis oder Grundzahl, n Exponent oder Hochzahl; das Ergebnis heißt Potenzwert. Man liest „a hoch n“ oder „n-te Potenz von a“. Bei n=2 sagt man auch „a zum Quadrat“.

Für natürliche n=1,2,3,… gilt a^n=a·a·…·a mit n Faktoren. Zusätzlich wird a^0:=1 festgelegt, damit a·a^n=a^(n+1) auch für n=0 gilt. Anschaulich wird dabei die 1 keinmal mit der Basis multipliziert. Für negative Basen gilt: (-|a|)^(2n)=|a|^(2n), also ein positiver Wert bei geradem Exponenten, und (-|a|)^(2n+1)=-|a|^(2n+1), also ein negativer Wert bei ungeradem Exponenten.

Negative, rationale und reelle Exponenten

Für a≠0 und eine natürliche Zahl n wird ein negativer Exponent durch den Kehrwert definiert: a^(-n)=1/a^n. Negative Exponenten entsprechen damit wiederholtem Dividieren.

Für q=m/n mit m∈ℤ und n∈ℕ sowie a>0 gilt a^(m/n)=ⁿ√(a^m)=(ⁿ√a)^m. Der Wert hängt nicht von der gewählten Bruchdarstellung ab. Beispiel: 2^3,1=2^(31/10)=¹⁰√(2^31)=(¹⁰√2)^31. Auch für a=0 gilt diese Definition: 0^q=0 für q>0; für q<0 existiert 0^q nicht. Bei negativer Basis sind rationale Exponenten nur möglich, wenn der gekürzte Bruch einen ungeraden Nenner hat. Daher ist (-8)^(1/3)=-2, aber ⁶√((-8)^2)=2 und darf nicht als dieselbe Potenz berechnet werden.

Für a>0 und jeden reellen Exponenten r wird a^r als Grenzwert a^r=lim(n→∞)a^(q_n) definiert, wenn rationale q_n gegen r konvergieren. So ist 2^π der Grenzwert von 2^3, 2^3,1, 2^3,14,… . Gleichwertig gilt a^r=exp(r ln a), wobei exp(x)=Σ(n=0 bis ∞) x^n/n!. Bei a<0 funktioniert diese Grenzwertdefinition im Allgemeinen nicht eindeutig. Nichtnegative Basen sind für alle reellen Exponenten definiert; negative Basen nur in den genannten rationalen Fällen.

Potenzgesetze und Grenzen

Für passende, definierte Potenzen gelten insbesondere a^0=1, a^(-r)=1/a^r, a^(r+s)=a^r·a^s, a^(r-s)=a^r/a^s, (a·b)^r=a^r·b^r, (a/b)^r=a^r/b^r und (a^r)^s=a^(r·s). Bei positiven Basen dürfen r und s beliebige reelle Zahlen sein. Bei negativen Basen gelten viele Regeln nur für ganze Exponenten oder rationale Exponenten mit ungeraden Nennern; insbesondere kann (a^r)^s von a^(r·s) abweichen oder einer der Ausdrücke undefiniert sein. Beispielsweise ist ((-1)^2)^(1/2)=1, aber (-1)^(2·1/2)=-1; daraus folgt √(a^2)=|a|.

Potenzieren ist weder kommutativ noch assoziativ: 2^3=8≠9=3^2 und (3^1)^3=27≠3=3^(1^3). Ohne Klammern bedeutet a^(b^c) immer a^(b^c), also rechtsassoziative Auswertung. Für reelle a,b gilt außerdem e≤a<b ⇒ a^b>b^a sowie a<b≤e ⇒ a^b<b^a.

Der Ausdruck 0^0 wird oft als 1 definiert, obwohl dies keine stetige Fortsetzung von x^y ist; manche Autoren lassen ihn undefiniert. Die Umkehrrechenarten sind Wurzelziehen bei x^a=b zur Bestimmung der Basis und Logarithmieren bei a^x=b zur Bestimmung des Exponenten.

Komplexe und verallgemeinerte Potenzen

Für komplexe Zahlen wird e^z durch e^z=Σ(n=0 bis ∞) z^n/n!=exp(z) definiert. Es gilt e^(z₁+z₂)=e^z₁·e^z₂ und e^(iy)=cos y+i sin y. Die komplexe Exponentialfunktion nimmt genau die Werte ℂ{0} an und hat die Perioden 2kπi mit k∈ℤ. Deshalb ist ihre Umkehrfunktion mehrdeutig: Ln(z)=ln|z|+i Arg(z) für z≠0. Mit dem Hauptargument arg(z) erhält man den Hauptwert ln(z).

Für a≠0 wird a^z=e^(z Ln a) definiert. Diese Potenz ist im Allgemeinen mehrdeutig; ihr Hauptwert verwendet ln statt Ln. Bei ganzzahligen Exponenten verschwindet die Mehrdeutigkeit. Für a=|a|e^(iφ) gilt a^n=|a|^n e^(inφ). Bei q=m/n in gekürzter Form hat a^q genau n verschiedene Werte. Für ungerades n und reelles a ist genau einer davon reell; bei geradem n und a<0 gibt es keinen reellen Wert, bei geradem n und a>0 zwei reelle Werte mit verschiedenen Vorzeichen. Beispiel: i^i=e^(-π/2-2πk) mit k∈ℤ; der Hauptwert ist e^(-π/2).

Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten lassen sich in jeder Halbgruppe definieren. In einem Monoid ist a^0 das neutrale Element; a^(m+n)=a^m·a^n und (a^m)^n=a^(m·n). (a·b)^m=a^m·b^m gilt dort, wenn a und b vertauschen. Für invertierbare Elemente sind auch negative ganze Exponenten über a^(-n)=(a^(-1))^n möglich. Weitere Verallgemeinerungen betreffen etwa Matrizen als Exponenten zur Basis e sowie Kardinalzahlen: |Y|^|X|:=|Y^X|, wobei Y^X die Menge aller Funktionen von X nach Y ist.

Anwendungen, Schreibweisen und Funktionsnotation

Zehnerpotenzen beschreiben im Dezimalsystem sehr große oder kleine positive Zahlen, etwa 10^(-9)=0,000000001 und 10^11=100 Milliarden. Besonders wichtig sind auch Potenzen zur Basis e≈2,71828. Zweierpotenzen entstehen durch wiederholte Verdoppelung: 2^10=1024, daher entspricht 1 Kibibyte (KiB) 1024 Bytes. Sie erklären etwa das schnelle Anwachsen der Lagen beim Papierfalten und die Größen digitaler Speichersysteme.

Bei Funktionen kann eine hochgestellte Zahl Verschiedenes bedeuten. Als Verkettung ist f^0=id und f^n=f∘f^(n-1); somit ist f^2(x)=f(f(x)). f^(-1) bezeichnet häufig die Umkehrfunktion, etwa sin^(-1) für arcsin, kann aber auch eine Urbildfunktion meinen. Dagegen bedeutet sin²x=(sin x)²=sin x·sin x eine Multiplikation von Funktionswerten. Ein hochgestellter Index kann außerdem nur eine Indizierung sein; f^(n) bezeichnet meist die n-te Ableitung.

Wenn kein Hochstellen möglich ist, schreibt man oft a^b oder ab. Zehnerpotenzen erscheinen auf Rechnern häufig mit e oder E, etwa -2.99792458E+08. Programmiersprachen verwenden unterschiedliche Operatoren oder Funktionen, beispielsweise x^y, xy, pow(x,y) in C, Math.pow(x,y) in Java oder JavaScript und Math.Pow(x,y) in C#.

Für positive ganze Exponenten und reelle Basis kann ein Potenzwert auch mit Zirkel und Lineal mithilfe des Strahlensatzes konstruiert werden. Dabei unterscheiden sich die Konstruktionen für a>1 und a<1; durch aufeinanderfolgende Senkrechten beziehungsweise Parallelen werden die Strecken für a², a³, a⁴ und allgemein a^n erzeugt.