Multiplikation

Grundidee und Begriffe

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie fasst wiederholtes Addieren desselben Summanden kurz zusammen; ihre Umkehroperation ist die Division. Für natürliche Zahlen gilt

m·n = n+n+…+n (m-mal) = k.

Die Zahlen m und n heißen Faktoren: m ist der Multiplikator, n der Multiplikand. Das Ergebnis k heißt Produkt. Beispielsweise bedeutet 3·4 dasselbe wie 4+4+4 und ergibt 12. Als Malzeichen werden „·“, „ד oder „*“ verwendet.

Beide Faktoren sind Teiler des Produkts: Ein Produkt k ist durch m und durch n teilbar. Bei Variablen wird der Punkt häufig weggelassen, etwa 5x statt 5·x. Das ist nur zulässig, wenn das Einfügen von Klammern die Rechnung nicht verändert. Besonders bei Divisionen ist Vorsicht nötig: x/y·z ist nicht gleich x/yz, weil Divisionen nicht assoziativ sind.

Ein Produkt kann auch Flächeninhalte beschreiben: Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b ist a·b. Für rationale Zahlen kann Multiplikation formal über Brüche definiert werden; die Division lässt sich als Multiplikation mit dem Kehrwert auffassen.

Produkte, Potenzen und Rechenregeln

Für mehrere Faktoren kann das Produktzeichen verwendet werden:

∏ᵢ₌ₘⁿ aᵢ := aₘ·aₘ₊₁·…·aₙ.

Dabei sind m und n ganze Zahlen, i ist die Laufvariable. Falls n<m ist, heißt das Ergebnis leeres Produkt und ist als 1 definiert. So gilt 1·2·3·…·n = ∏ᵢ₌₁ⁿ i =: n!; dies ist die Fakultät. Wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor führt zu Potenzen, zum Beispiel 2·2·2·2·2·2 = 2⁶ = 64.

In einem Körper, insbesondere in ℚ, ℝ oder ℂ, gelten wichtige Rechengesetze:

• Assoziativgesetz: a·(b·c) = (a·b)·c. Klammern dürfen bei reinen Multiplikationen daher anders gesetzt werden.
• Kommutativgesetz: a·b = b·a. Die Reihenfolge der Faktoren darf vertauscht werden.
• Distributivgesetz: a·(b±c) = a·b±a·c.
• Neutrales Element: a·1 = a.
• Inverses Element: Für a≠0 gibt es a⁻¹ mit a·a⁻¹=1.
• Absorbierendes Element: a·0=0.

Für komplexere Terme gilt „Klammer vor Punkt vor Strich“. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Das Produkt zweier Zahlen gleichen Vorzeichens ist positiv, bei unterschiedlichen Vorzeichen negativ. Zwei ungerade Faktoren haben ein ungerades Produkt; enthält das Produkt einen geraden Faktor, ist es gerade. Bei Brüchen werden Zähler miteinander und Nenner miteinander multipliziert; kein Nenner darf 0 sein, und das Ergebnis wird gegebenenfalls gekürzt. Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um, etwa −0,5x<10 und Multiplikation mit −2 ergibt x>−20.

Die Gaußsche Summenfaktor-Regel besagt: Bei gleichbleibender Summe beliebiger Faktoren ist das Produkt am größten, wenn die Gesamtdifferenz der Faktoren möglichst klein ist. Bei drei Faktoren mit Summe 30 gilt zum Beispiel 10·10·10=1000 bei Gesamtdifferenz 0, während 9·10·11=990 bei Gesamtdifferenz 4 ist. Entsprechend hat bei gleichem Umfang ein Quadrat unter den Rechtecken den größten Flächeninhalt.

Schriftliches Rechnen und anschauliche Verfahren

Die schriftliche Multiplikation zerlegt beide Zahlen nach ihrem Stellenwertsystem. Jede Ziffer des einen Faktors wird mit jeder Ziffer des anderen multipliziert; Überträge und Teilergebnisse werden stellengerecht addiert. Für

x = Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ xᵢ·bⁱ und y = Σⱼ₌₀ᵐ⁻¹ yⱼ·bʲ

gilt

x·y = Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ Σⱼ₌₀ᵐ⁻¹ (xᵢ·yⱼ)·bⁱ⁺ʲ.

Dazu wird das Einmaleins für die Produkte xᵢ·yⱼ benötigt. Das Verfahren funktioniert auch für rationale Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen, zum Beispiel 13,57 = 1·10¹+3·10⁰+5·10⁻¹+7·10⁻².

Eine Multiplikation mit den Fingern ist begrenzt möglich, wenn beide Faktoren in derselben Dekadenhälfte liegen, also beide auf 1 bis 5 oder beide auf 6 bis 0 enden. Bei 7·8 werden fünf untere Finger mit 10 multipliziert: 50. Die oberen Finger ergeben 3·2=6; somit ist 7·8=50+6=56. Das Verfahren eignet sich besonders für schnelles Berechnen von Quadratzahlen.

Die vedische Multiplikation ist ein Verfahren der vedischen Mathematik. Es eignet sich besonders für Faktoren nahe derselben Zehnerpotenz 10ⁿ. Für ā=a−10ⁿ und b̄=b−10ⁿ gilt

a·b=(a+b̄)·10ⁿ+āb̄.

Falls āb̄<10ⁿ ist, werden die Ziffernfolgen von a+b̄ und āb̄ nebeneinandergeschrieben; führende Nullen im zweiten Teil müssen erhalten bleiben. Beispiele sind 95·97=9215, 992·988=980096 und 12·13=156. Liegt ein Faktor über und einer unter der Basis, kann ein Übertrag nötig sein, wie bei 98·102=9996.

Die russische Bauernmultiplikation halbiert einen ganzzahligen Faktor A wiederholt mit Abrunden und verdoppelt gleichzeitig B. Zeilen, in denen der Wert in der Halbierungsspalte gerade ist, werden gestrichen; die übrigen Werte der Verdopplungsspalte werden addiert. Bei 11·3 bleiben 3, 6 und 24 übrig, also 33. Die Methode beruht auf der Binärdarstellung: 11=1011₂=1+2+8.

Bei der Duplation werden Vielfache eines Faktors durch Verdoppeln gebildet: das 1-, 2-, 4-, 8-fache und so weiter. Der andere Faktor wird als Summe dieser Vielfachheiten zerlegt; die zugehörigen Vielfachen werden addiert. Die binäre Zerlegung in Zweierpotenzen ist eindeutig. Andere geschickte Zerlegungen sind ebenfalls möglich, etwa 1105=1000+100+4+1.

Weitere Faktoren, Konstruktionen und effiziente Algorithmen

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren entsteht durch fortgesetztes Multiplizieren je zweier Faktoren. Wegen des Assoziativgesetzes darf man dabei an verschiedenen Stellen beginnen; wegen des Kommutativgesetzes darf man auch die Reihenfolge ändern. Das Produkt eines einzigen Faktors ist dieser Faktor selbst, das Produkt von keinen Faktoren ist 1. Bei unendlichen Produkten darf man Faktoren dagegen nicht beliebig vertauschen oder zu Teilprodukten zusammenfassen.

Produkte lassen sich auch geometrisch mit Zirkel und Lineal konstruieren. Mit Sehnensatz oder Sekantensatz werden die Längen a und b sowie eine Einheitsstrecke 1 so angeordnet, dass die gesuchte Strecke a·b entsteht. Beim Sehnensatz gilt OA·OB=OE·OC mit OE=1, also a·b=OC. Eine weitere Konstruktion verwendet den Strahlensatz; dabei entspricht die Strecke BD dem Produkt a·b.

Für zwei natürliche Zahlen mit höchstens n Stellen hat die schriftliche Multiplikation die asymptotische Laufzeit O(n²). Schnellere Algorithmen sind der Karazuba-Algorithmus von 1960 mit O(n^(log₂3)), der Toom-Cook-Algorithmus von 1966 mit O(n^(1+ε)) für jede Konstante ε>0, der Schönhage-Strassen-Algorithmus von 1971 mit O(n log n log log n) und Fürers Algorithmus von 2007 mit O(n log n·2^(O(log* n))). Harvey und van der Hoeven veröffentlichten 2019 einen Algorithmus mit O(n log n). Er wird als asymptotisch optimal vermutet; dies ist jedoch noch unbewiesen.

Jeder Algorithmus für natürliche Zahlen kann auch für ganze und rationale Zahlen verwendet werden. Für ganze Zahlen gilt x·y=(sgn(x)·sgn(y))|x|·|y|. Für rationale Zahlen gilt

(x/y)·(p/q)=(x·p)/(y·q),

mit x,y∈ℤ und p,q∈ℕ.

Erweiterungen der Multiplikation

Für komplexe Zahlen wird die Multiplikation mithilfe des Distributivgesetzes erweitert:

(a+b i)·(c+d i)=ac−bd+(ad+bc)i.

Algebraische Strukturen unterscheiden sich danach, welche Rechengesetze ihre Addition und Multiplikation erfüllen. In einem Ring bildet die Addition eine Abelsche Gruppe; die Multiplikation ist assoziativ und distributiv. Hat sie ein neutrales Element, heißt der Ring unitär. Ist Division immer möglich, entsteht ein Schiefkörper; ist die Multiplikation zusätzlich kommutativ, ein Körper.

Davon zu unterscheiden sind andere als „Produkte“ bezeichnete Verknüpfungen, etwa Skalarprodukt, Skalarmultiplikation, Matrizenmultiplikation und Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum ℝ³. Auch bei Größenwerten physikalischer Größen spricht man von Multiplikation.