Algebra

Bedeutung und Grundidee

Algebra ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht Eigenschaften von Rechenoperationen. Im schulischen Sinn bedeutet Algebra vor allem, mit Unbekannten in Gleichungen zu rechnen; Unbekannte werden meist durch Buchstaben dargestellt, etwa in x+1=2.

Die algebraische Methode besteht darin, Ausdrücke und Gleichungen nach festen Rechenregeln umzuformen. Die elementare Algebra umfasst dafür Rechenregeln mit natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, Terme mit Variablen sowie Lösungswege für einfache algebraische Gleichungen.

Der Begriff Algebra ist heute sehr weit: Neben Gleichungen gehören auch abstrakte Strukturen und ihre Verknüpfungen dazu. Deshalb lässt sich Algebra nicht mehr durch eine einzige knappe Definition vollständig beschreiben.

Wichtige Teilgebiete

Die abstrakte Algebra untersucht algebraische Strukturen, insbesondere Gruppen, Ringe und Körper. Eine Gruppe, ein Ring oder ein Körper ist jeweils eine Menge mit festgelegten Rechenoperationen und Regeln für diese Operationen.

Die lineare Algebra behandelt lineare Gleichungssysteme, Vektorräume und Eigenwerte. Sie ist eine Grundlage der analytischen Geometrie. Die multilineare Algebra untersucht algebraische Eigenschaften von Tensoren und anderen multilinearen Abbildungen.

Die kommutative Algebra befasst sich mit kommutativen Ringen, ihren Idealen, Moduln und Algebren; sie ist eng mit algebraischer Geometrie verbunden. Algebraische Geometrie untersucht Nullstellen von Systemen algebraischer Gleichungen. Die algebraische Zahlentheorie bearbeitet zahlentheoretische Fragen mit algebraischen Methoden. Die reelle Algebra untersucht algebraische Zahlkörper, auf denen eine Anordnung definiert werden kann, sowie positive Polynome.

Die universelle oder allgemeine Algebra betrachtet algebraische Strukturen allgemein. Die homologische Algebra enthält Methoden, mit denen ursprünglich Fragen der Topologie in der algebraischen Topologie auf algebraische Sachverhalte zurückgeführt wurden.

Computer-Algebra bedeutet die symbolische Manipulation algebraischer Ausdrücke. Sie umfasst besonders exaktes Rechnen mit ganzen, rationalen und algebraischen Zahlen sowie mit Polynomen über diesen Zahlenräumen. Theoretisch geht es dabei um effiziente Algorithmen und deren Komplexität; praktisch ermöglichen Computeralgebrasysteme solche Umformungen rechnergestützt.

Von Gleichungen zur modernen Algebra

Die klassische Algebra untersuchte vor allem algebraische Gleichungen der Form aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₁x+a₀=0 und Eigenschaften ihrer Lösungen. In der Renaissance wurde die Lösung linearer und quadratischer Gleichungen auf kubische und quartische Gleichungen erweitert. François Viète und René Descartes begründeten wichtige Teile der Algebra und ihrer Anwendung auf die Geometrie durch die konsequente Verwendung von Variablen und Gleichungen.

Der Fundamentalsatz der Algebra, den Carl Friedrich Gauß 1799 bewies, besagt: Eine algebraische Gleichung n-ten Grades hat in ℂ genau n Lösungen, gegebenenfalls mit Mehrfachzählung der Multiplizität jeder Lösung.

Um 1830 entwickelte Évariste Galois die Galoistheorie; sie gilt als Beginn der modernen Algebra. Galois und unabhängig Niels Henrik Abel zeigten mit dem Satz von Abel-Ruffini, dass Gleichungen höheren als vierten Grades im Allgemeinen nicht durch die üblichen Rechenoperationen und Wurzelausdrücke, sogenannte Radikale, lösbar sind. Damit wurden Gruppen- und Körpertheorie wichtig: Bei Galois erscheinen Permutationsgruppen, endliche Körper und Körpererweiterungen.

Spätere Entwicklungen führten unter anderem zu Matrizen und Determinanten in der linearen Algebra, zu Tensoren in der multilinearen Algebra, zu Boolescher Algebra, Idealtheorie und Polynomidealen. Nach dem Zweiten Weltkrieg entstanden weitere abstrakte Methoden wie homologische Algebra und Kategorientheorie. Die Gruppentheorie erreichte im 20. Jahrhundert mit der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen einen Höhepunkt.

Frühe Entwicklung algebraischer Verfahren

Bereits etwa 2000 Jahre vor Christus konnten Babylonier Gleichungssysteme der Form x+y=p und xy=q lösen. Diese sind äquivalent zu einer quadratischen Gleichung der Form x²+q=px. Da solche Gleichungen irrationale Lösungen haben können, berechneten die Babylonier meist ungefähre Lösungen, häufig mit linearer Interpolation. Negative Zahlen verwendeten sie noch nicht. Die Tontafel Plimpton 322, entstanden zwischen 1900 und 1600 v. Chr., enthält pythagoreische Tripel.

Im Alten Ägypten standen hauptsächlich lineare Gleichungen im Mittelpunkt. Der Papyrus Rhind wurde um 1650 v. Chr. von Ahmes aus einem älteren Werk übersetzt. Er behandelt Gleichungen der Formen x+ax=b und x+ax+bx=c, bei denen a, b und c bekannt und x die Unbekannte ist; sie wurden geometrisch gelöst.

Auch die Griechen untersuchten algebraische Gleichungen, stellten sie jedoch oft geometrisch dar: Terme entsprachen Seiten oder Strecken geometrischer Objekte, und Lösungen wurden mit Zirkel und Lineal konstruiert. Diese Deutung als „geometrische Algebra“ ist in jüngerer Zeit umstritten. Euklid formulierte im zweiten Buch der Elemente algebraische Aussagen in geometrischer Sprache; im zehnten Buch überlieferte er einen Beweis für die Irrationalität von √2.

Diophantos von Alexandria gilt als bedeutendster Algebraiker der Antike. Seine Arithmetica umfasste ursprünglich dreizehn Bücher, von denen sechs überliefert sind. Darin löste er bei positiven rationalen Lösungen die Arithmetik und Algebra von der Geometrie und suchte exakte statt approximative Lösungen.