Distributivgesetz

Grundidee und Bedeutung

Die Distributivgesetze oder Verteilungsgesetze beschreiben, wie zwei zweistellige Verknüpfungen beim Auflösen oder Bilden von Klammern zusammenwirken. In der Algebra gehören sie neben dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz zu den grundlegenden Rechenregeln.

In der Schulmathematik bedeutet Ausmultiplizieren, eine Klammer mithilfe des Distributivgesetzes aufzulösen. Die umgekehrte Umformung einer Summe in ein Produkt heißt Ausklammern, Herausheben oder Faktorisieren. Distributivgesetze gelten nicht nur für Zahlen, sondern unter anderem auch für Matrizen, Mengen und logische Aussagen. Sie gehören außerdem zu den Axiomen für Ringe und Körper.

Formale Definition

Auf einer Menge A seien zwei zweistellige Verknüpfungen ◇: A × A → A und *: A × A → A definiert. Zweistellig bedeutet, dass jeweils zwei Elemente aus A miteinander verknüpft werden und das Ergebnis wieder in A liegt.

Die Verknüpfung * heißt linksdistributiv über ◇, wenn für alle a, b, c ∈ A gilt:

a * (b ◇ c) = (a * b) ◇ (a * c).

Sie heißt rechtsdistributiv über ◇, wenn für alle a, b, c ∈ A gilt:

(a ◇ b) * c = (a * c) ◇ (b * c).

Sie heißt distributiv über ◇, wenn sie sowohl links- als auch rechtsdistributiv ist. Ist * kommutativ, darf also die Reihenfolge ihrer Operanden vertauscht werden, dann sind Linksdistributivität, Rechtsdistributivität und beidseitige Distributivität äquivalent.

Rechenregeln für Zahlen

Für Addition beziehungsweise Subtraktion und Multiplikation lauten die beiden Formen:

a · (b ± c) = a · b ± a · c (linksdistributiv)

(a ± b) · c = a · c ± b · c (rechtsdistributiv)

Eine Summe wird also mit einem Faktor multipliziert, indem jeder Summand mit diesem Faktor multipliziert und anschließend addiert wird. Bei einer Differenz werden Minuend und Subtrahend mit dem Faktor multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert. Weil die Multiplikation von Zahlen kommutativ ist, folgt hier die eine Form aus der anderen.

Beim Multiplizieren zweier Summen wird jeder Summand der einen Summe unter Beachtung der Vorzeichen mit jedem Summanden der anderen Summe multipliziert. Anschließend werden die entstehenden Produkte addiert.

Die Division ist dagegen nicht kommutativ und im Allgemeinen nur rechtsdistributiv:

(a ± b) : c = a : c ± b : c für c ≠ 0.

Im Allgemeinen gilt nicht:

a : (b ± c) = a : b ± a : c.

Sind a = m · c und b = n · c mit c ≠ 0, lässt sich die gültige Regel auch durch Ausklammern erklären:

(a ± b) : c = (m · c ± n · c) : c = (m ± n) · c : c = m ± n.

Nicht jedes Paar von Verknüpfungen ist distributiv: Beispielsweise ist die Addition nicht distributiv gegenüber der Multiplikation.

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Für reelle Zahlen ℝ gilt das Distributivgesetz, weil sie algebraisch einen Körper bilden. Beim Kopfrechnen kann man beispielsweise zerlegen:

6 · 16 = 6 · (10 + 6) = 6 · 10 + 6 · 6 = 60 + 36 = 96.

Auch das schriftliche Multiplizieren beruht auf diesem Gesetz. Bei Termen funktioniert das Ausmultiplizieren genauso:

3 · a² · b · (4 · a − 5 · b) = 3 · a² · b · 4 · a − 3 · a² · b · 5 · b = 12 · a³ · b − 15 · a² · b².

Bei zwei Klammern wird das Gesetz zweimal angewandt:

(a + b) · (a − b) = a · (a − b) + b · (a − b) = a² − a · b + b · a − b² = a² − b².

Dabei ist es gleichgültig, welche Klammer zuerst ausmultipliziert wird. Man kann auch unmittelbar jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten multiplizieren. Das Ergebnis ist die dritte binomische Formel:

(a + b) · (a − b) = a² − b².

Beim Ausklammern wird das Distributivgesetz rückwärts verwendet. Im Term

12 · a³ · b² − 30 · a⁴ · b · c + 18 · a² · b³ · c²

kommt in jedem Summanden der Faktor 6a²b vor. Daher gilt:

12 · a³ · b² − 30 · a⁴ · b · c + 18 · a² · b³ · c² = 6 · a² · b · (2 · a · b − 5 · a² · c + 3 · b² · c²).

Matrizen

Auch die Matrizenmultiplikation ist gegenüber der Matrizenaddition distributiv. Für alle l × m-Matrizen A und B sowie jede m × n-Matrix C gilt:

(A + B) · C = A · C + B · C.

Für jede l × m-Matrix A und alle m × n-Matrizen B und C gilt außerdem:

A · (B + C) = A · B + A · C.

Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, folgt das zweite Gesetz nicht aus dem ersten. Links- und Rechtsdistributivität müssen hier daher als zwei verschiedene Gesetze betrachtet werden.

Mengen und Aussagenlogik

In der Mengenlehre verteilen sich Vereinigung ∪ und Schnitt ∩ gegenseitig übereinander:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Für die Differenzmenge gelten außerdem:

(A ∩ B) ∖ C = (A ∖ C) ∩ (B ∖ C)

(A ∪ B) ∖ C = (A ∖ C) ∪ (B ∖ C).

Entsprechende Regeln gibt es in der Aussagenlogik. Die Konjunktion A ∧ B bedeutet „A und B“, die Disjunktion A ∨ B bedeutet „A oder B“, und ⇔ bezeichnet die logische Gleichwertigkeit:

A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).

Mengenalgebra und Aussagenlogik sind damit Beispiele für Boolesche Algebren, in denen sich jeweils zwei Verknüpfungen gegenseitig distributiv zueinander verhalten.