Subtraktion

Grundidee und Begriffe

Die Subtraktion, umgangssprachlich Minusrechnen, ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie bedeutet, eine Zahl von einer anderen abzuziehen, und ist die Umkehroperation der Addition. Das Rechenzeichen ist „−“.

Bei a − b heißt a Minuend, also die Zahl, von der abgezogen wird, und b Subtrahend, also die abzuziehende Zahl. Der Term a − b heißt Differenz; sein Ergebnis heißt Wert der Differenz oder Differenzwert. Beispiel: Bei 4 − 1 = 3 ist 4 der Minuend, 1 der Subtrahend, 4 − 1 die Differenz und 3 ihr Wert.

Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen: Ein Ergebnis kann außerhalb dieser Menge liegen, etwa 1 − 4 = −3. Bei mehreren Minuszeichen wird von links nach rechts gerechnet: a − b − c = (a − b) − c. Das Zeichen Δ kann als Symbol oder Operator für Differenzen verwendet werden. Im Alltagsgebrauch meint „Differenz“ oft nur das Ergebnis oder dessen Betrag.

Mathematische Definition

In einer Gruppe gibt es zu gegebenen a und b genau ein x mit b + x = a. Das Bestimmen dieses x heißt Subtraktion und wird als x = a − b notiert.

Subtrahieren kann auch als Addieren der Gegenzahl des Subtrahenden verstanden werden: a − b = a + (−1) · b = a + (−b).

Grundlegende Rechenverfahren

Bei der graphischen Methode werden Zahlenwerte etwa durch Balken, Linien oder Punkte dargestellt. Bei Vektoren wird die Richtung des Subtrahend-Vektors umgekehrt und anschließend werden die Vektoren addiert. So kann 13 − 9 als Unterschied zwischen einer Darstellung mit 13 und einer mit 9 Objekten erkannt werden; das Ergebnis ist 4.

Die Subtraktion-Subtraktion-Methode zieht denselben Teilbetrag sowohl vom Minuenden als auch vom Subtrahenden ab, bis der Subtrahend 0 ist. Häufig dient eine Zehnerstelle als Zwischenschritt: 13 − 9 = (13 − 3) − (9 − 3) = 10 − 6 = 4.

Bei der Subtraktion-Addition-Methode werden die Zahlen zerlegt, Teile subtrahiert und die Teilergebnisse addiert: 13 − 9 = (10 + 3) − 9 = (10 − 9) + 3 = 1 + 3 = 4.

Die Komplement-Methode berechnet zum Subtrahenden dessen Komplement und addiert es zum Minuenden. Sie wird insbesondere in der technischen Informatik sowie in mechanischen und elektronischen Addierwerken verwendet. Für 13₁₀ − 9₁₀ wird im Dezimalsystem das Zehnerkomplement und im Dualsystem das Zweierkomplement verwendet; die Addition liefert 4₁₀ beziehungsweise 100₂.

Schriftlich mit Überträgen

Die schriftliche Subtraktion wird in der Grundschule gelernt und ist eine Voraussetzung für die schriftliche Division. Meist stehen entsprechende Stellen von Minuend und Subtrahend untereinander; sie werden gewöhnlich von rechts nach links bearbeitet. Für das direkte Verfahren muss der obere Minuend mindestens so groß sein wie der untere Subtrahend. Bei einer negativen Aufgabe können die Zahlen zum Rechnen vertauscht werden; das Endergebnis erhält dann ein Minuszeichen.

Ist eine Ziffer des Minuenden kleiner als die entsprechende Ziffer des Subtrahenden, wird für diese Stelle mit 10 gerechnet. Beim Ergänzungsverfahren wird dafür in der nächsten Stelle 1 zum Subtrahenden addiert. Beim Entbündelungsverfahren wird die linke Nachbarziffer des Minuenden um 1 erniedrigt. Im deutschsprachigen Raum wird das Ergänzungsverfahren als Standardmethode gelehrt; seit einem Lehrplan von 2000 ist in einigen Bundesländern das Entbündeln als Standard vorgeschrieben.

Das Ergänzungsverfahren, auch Auffülltechnik, erhöht den Subtrahenden gedanklich bis zum Minuenden. Bei 753 − 491: 1 + 2 = 3, dann wird aus der zu kleinen 5 durch Erhöhen um 10 die 15; die dafür nötige 1 wird beim nächsten Subtrahenden berücksichtigt. Es folgen 9 + 6 = 15 und (4 + 1) + 2 = 7. Ergebnis: 262. Das Verfahren bereitet auch Aufgaben mit mehreren abzuziehenden Zahlen vor.

Beim Entbündeln wird eine 10 von der linken Stelle „geliehen“: Aus 753 wird für die mittlere Rechnung 6 Hunderter, 15 Zehner und 3 Einer. Damit ergibt sich 3 − 1 = 2, 15 − 9 = 6, 6 − 4 = 2, also 262. Muss von einer Null geliehen werden, muss diese ihrerseits links eine Anleihe machen. Die Vorab-Entbündelung führt alle nötigen Entbündelungen zunächst aus; danach werden die Stellen nur noch subtrahiert.

Eine Variante des Ergänzungsverfahrens arbeitet von links nach rechts und behandelt Überträge vor der endgültigen Differenz. Sie eignet sich auch fürs Kopfrechnen und ist vergleichsweise resistent gegen Flüchtigkeitsfehler. Bei gleichen Ziffern in einer oder mehreren Spalten und einer späteren zu kleinen Minuend-Ziffer muss jedoch über mehrere Stellen vorausgeschaut werden; diese Vorausschau ist eine Schwachstelle.

Schriftlich ohne Überträge

Die Methode der Teildifferenzen verwendet keine Überträge. Stattdessen wird für jede Stellenwertspalte die kleinere Zahl von der größeren abgezogen. Ist der Minuend in dieser Spalte größer, bekommt die Teildifferenz ein Pluszeichen; ist der Subtrahend größer, ein Minuszeichen. Anschließend werden alle Teildifferenzen addiert.

Für 753 − 491 entstehen +300 aus 700 − 400, −40 aus 90 − 50 und +2 aus 3 − 1. Somit gilt +300 − 40 + 2 = 262.

Nicht-vertikale Wege

Eine Differenz kann auch ohne stellenweises Rechnen bestimmt werden. Beim Ausschreiten der Differenz wird der Weg vom Subtrahenden zum Minuenden in passende Additionsschritte zerlegt. Für 1234 − 567 gilt: 567 + 3 = 570, +30 = 600, +400 = 1000 und +234 = 1234. Die Schritte ergeben zusammen 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Bei der Zergliederung des Subtrahenden wird dieser schrittweise abgezogen: 1234 − 500 = 734, 734 − 60 = 674, 674 − 7 = 667. Das Verfahren eignet sich für schriftliches Rechnen und Kopfrechnen.

Bei der gleichen Veränderung werden Minuend und Subtrahend um denselben Betrag erhöht oder erniedrigt; die Differenz bleibt dadurch gleich. Der Subtrahend wird so auf eine Zahl mit einer oder mehreren Nullen am Ende verändert. Beispiel: 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667. Bei Bedarf kann dieser Schritt wiederholt werden.