Assoziativgesetz

Grundidee und Definition

Das Assoziativgesetz, auch Assoziativität, Verbindungsgesetz oder Verknüpfbarkeit genannt, beschreibt eine Eigenschaft mancher Verknüpfungen in der Mathematik. Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Art der Klammerung keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Bei assoziativen Verknüpfungen darf man die Klammern also beliebig setzen oder ganz weglassen, ohne das Endergebnis zu verändern.

Für eine binäre Verknüpfung *\colon A\times A\to A auf einer Menge A lautet die genaue Bedingung: Für alle a,b,c\in A gilt a*(b*c)=(a*b)*c.

Wenn diese Gleichheit gilt, können Klammern auch bei mehr als drei Operanden weggelassen werden. Das Assoziativgesetz gehört neben Kommutativgesetz und Distributivgesetz zu den elementar wichtigen Gesetzen der Algebra.

Typische Beispiele

Addition und Multiplikation reeller Zahlen sind assoziativ. Bei der Addition gilt zum Beispiel: (2+3)+7=5+7=12 und 2+(3+7)=2+10=12. Beide Klammerungen liefern also dasselbe Ergebnis.

Auch bei der Multiplikation reeller Zahlen gilt: (2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42 und 2\cdot(3\cdot 7)=2\cdot 21=42. Deshalb darf man bei endlichen Summen und Produkten reeller Zahlen die Klammern weglassen, solange nur Addition beziehungsweise nur Multiplikation vorkommt.

Nicht assoziative Verknüpfungen

Nicht jede Verknüpfung ist assoziativ. Die reelle Subtraktion ist nicht assoziativ, denn 2-(3-1)=0, aber (2-3)-1=-2. Die Klammerung verändert hier also das Ergebnis.

Auch die Division ist nicht assoziativ: (4:2):2=1, aber 4:(2:2)=4.

Ebenso ist die Potenz nicht assoziativ, denn 2^{(2^3)}=2^8=256, aber (2^2)^3=4^3=64. Gerade bei solchen Operationen ist es wichtig, die Klammerung oder eine feste Auswertungsregel zu beachten.

Grenzfälle und Computerrechnung

Bei divergenten unendlichen Summen kann die Klammerung ebenfalls entscheidend sein. Das Beispiel (1+(-1))+(1+(-1))+(1+(-1))+\ldots =0+0+\ldots \to 0 liefert ein anderes Ergebnis als 1+((-1)+1)+((-1)+1)+\ldots =1+0+0+\ldots \to 1.

Auch in Computern gelten die Assoziativgesetze nicht immer so wie in der exakten Mathematik. Zahlen haben dort nur begrenzte Darstellungen. Bei Festkommazahlen können Addition und Multiplikation innerhalb eines festgelegten Gültigkeitsbereiches assoziativ sein; außerhalb können die Ergebnisse zwar formal entstehen, aber falsch sein. Bei Gleitkommazahlen werden nicht alle Rundungsfehler angezeigt. Deshalb gelten die Assoziativgesetze dort nicht wirklich immer. Das Artikelbeispiel mit 4-Bit-Mantissen zeigt, dass unterschiedliche Klammerungen bei der Addition zu verschiedenen gerundeten Ergebnissen führen können. Solche Fehler können manchmal durch Ausschalten der Normalisierung verringert werden. Außerdem kann auch das Laufzeitverhalten stark davon abhängen, in welcher Reihenfolge Operationen ausgeführt werden.

Einordnung und Seitigkeit

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen. Es wird aber schon für die schwächere algebraische Struktur einer Halbgruppe verlangt. Eine Halbgruppe ist also bereits eine Struktur, in der die betrachtete Verknüpfung assoziativ ist.

Bei nicht-assoziativen Verknüpfungen braucht man oft Konventionen, in welcher Richtung ein Ausdruck ohne Klammern gelesen wird. Eine Verknüpfung heißt links-assoziativ, wenn zum Beispiel a*b*c als (a*b)*c und a*b*c*d als ((a*b)*c)*d verstanden wird. Subtraktion und Division werden gewöhnlich links-assoziativ gelesen: a-b-c=(a-b)-c und a:b:c=(a:b):c. Auch die Anwendung von Funktionen beim Currying wird links-assoziativ geschrieben: (f\,x\,y)=((f\,x)\,y).

Eine Verknüpfung heißt rechts-assoziativ, wenn zum Beispiel x*y*z als x*(y*z) und w*x*y*z als w*(x*(y*z)) verstanden wird. Ein Beispiel ist das Exponenzieren reeller Zahlen in Exponentenschreibweise: x^{y^z}=x^{(y^z)}.

Auch assoziative Operationen können bei unendlicher Iteration eine Seitigkeit bekommen. Die dezimale Notation rechts vom Dezimalkomma, etwa 0{,}999\ldots \to 1, wird als links-assoziative Verkettung der Dezimalziffern beschrieben, weil die Auswertung links beginnen muss. Die p-adische Schreibweise \ldots 444_5\to -1 enthält dagegen eine rechts-assoziative Verkettungsoperation, weil die Auswertung rechts beginnen muss.

Schwächere Formen

Der Artikel nennt mehrere Abschwächungen des Assoziativgesetzes. Sie fordern nicht die volle Gleichheit a*(b*c)=(a*b)*c für alle Elemente, sondern nur besondere Gleichungen.

Dazu gehören Potenz-Assoziativität mit a^{r+s}=(a^r)\circ(a^s), i-Potenz-Assoziativität mit a^i\circ a=a\circ a^i und Idemassoziativität mit a\circ(a\circ a)=(a\circ a)\circ a.

Weitere Formen sind Alternativität, darunter Linksalternativität a\circ(a\circ b)=(a\circ a)\circ b und Rechtsalternativität a\circ(b\circ b)=(a\circ b)\circ b, sowie das Flexibilitätsgesetz a\circ(b\circ a)=(a\circ b)\circ a.

Außerdem werden Moufang-Identitäten, Bol-Identitäten und die Jordan-Identität genannt. Beispiele sind die linke Bol-Identität (b\circ(c\circ b))\circ a=b\circ(c\circ(b\circ a)), die rechte Bol-Identität ((a\circ b)\circ c)\circ b=a\circ((b\circ c)\circ b) und die Jordan-Identität a\circ((a\circ a)\circ b)=(a\circ a)\circ(a\circ b). Diese Identitäten sind spezielle Regeln für Verknüpfungen, die weniger stark sind als vollständige Assoziativität.