Zentrische Streckung

Grundidee und mathematische Festlegung

Eine zentrische Streckung ist eine geometrische Abbildung, die eine Figur von einem festen Punkt Z aus vergrößert oder verkleinert. Z heißt Zentrum. Alle Längen werden mit demselben Betrag multipliziert; Winkel und Seitenverhältnisse bleiben erhalten. Deshalb entsteht eine zur Ausgangsfigur ähnliche Figur. Bildstrecken verlaufen parallel zu den entsprechenden ursprünglichen Strecken. Die Abbildung wird auch Homothetie genannt und ist eine spezielle Ähnlichkeitsabbildung sowie eine spezielle Dilatation.

Jedem Punkt X wird ein Bildpunkt X′ so zugeordnet, dass

→ZX′ = k · →ZX

gilt. Dabei ist k eine feste reelle Zahl mit k ≠ 0 und heißt Streckungsfaktor. Der Abstand zum Zentrum wird mit |k| multipliziert. Für die Ortsvektoren x und z von X und Z lautet die Abbildung

x ↦ z + k(x − z).

Bei positivem k liegen X und X′ vom Zentrum aus auf derselben Halbgeraden. Bei negativem k liegt X′ auf der gegenüberliegenden Seite des Zentrums; zusätzlich zur Größenänderung erscheint die Figur daher um 180° um Z gedreht. Zentrische Streckungen werden beispielsweise verwendet, um Bildschirminhalte eines Smartphones ohne Verzerrung zu vergrößern oder zu verkleinern.

Spezialfälle und grundlegende Wirkungen

Für k = 1 erhält man die identische Abbildung: Jeder Punkt bleibt unverändert. Für k = −1 entsteht eine Punktspiegelung am Zentrum, also eine Drehung um 180°. Der Fall k = 0 wird gewöhnlich ausgeschlossen, weil dann alle Punkte auf das Zentrum abgebildet würden und keine Ähnlichkeitsabbildung mehr vorläge.

Liegt das Zentrum im Nullpunkt, vereinfacht sich die Abbildung zu

x ↦ kx,

in der Ebene also zu

(x, y) ↦ (kx, ky).

Die Umkehrabbildung einer Streckung mit dem Faktor k ist eine zentrische Streckung mit demselben Zentrum und dem Faktor 1/k.

Eine Gerade wird auf eine zu ihr parallele Gerade abgebildet. Daher ist die Abbildung geradentreu und winkeltreu. Alle Abstände werden mit |k| multipliziert, sodass das Verhältnis zweier Strecken unverändert bleibt. Figuren gehen somit in ähnliche Figuren über: Ein Dreieck wird zu einem ähnlichen Dreieck, ein Kreis wieder zu einem Kreis und eine Ellipse zu einer ähnlichen Ellipse mit gleichem Verhältnis ihrer Halbachsen.

Der Flächeninhalt wird mit k² multipliziert, das Volumen mit |k|³. Beim Streckungsfaktor k = 2 werden beispielsweise alle Strecken verdoppelt und Flächen vervierfacht. Bei k = −0,7 werden alle Längen mit 0,7 multipliziert und die Figur wird zugleich um 180° um das Zentrum gedreht.

Bildpunkte zeichnen und konstruieren

Um eine Strecke zeichnerisch zu strecken, zeichnet man zunächst Hilfsgeraden durch das Zentrum Z und die beiden Randpunkte. Anschließend misst man deren Entfernungen zu Z, multipliziert sie mit k und trägt die neuen Entfernungen auf den Hilfsgeraden ab. Bei k > 0 liegen die Bildpunkte auf denselben Halbgeraden wie die Ausgangspunkte; bei k < 0 liegen sie im Abstand |k| auf den gegenüberliegenden Halbgeraden. Zum Schluss verbindet man die Bildpunkte.

Dasselbe Verfahren lässt sich auf Vielecke und grundsätzlich auf beliebige Figuren übertragen. Bei einem Kreis genügt es, den Mittelpunkt abzubilden und den Radius mit |k| zu multiplizieren.

Ist zu einer Streckung mit Zentrum Z bereits das Punktpaar P₁ und Q₁ bekannt, kann man den Bildpunkt Q₂ eines Punktes P₂ mithilfe des Strahlensatzes bestimmen. Wenn P₂ nicht auf der Geraden ZP₁ liegt, ist Q₂ der Schnittpunkt der Geraden ZP₂ mit der Parallelen zu P₁P₂ durch Q₁. Mit dem neuen Paar P₂, Q₂ lassen sich anschließend auch Bildpunkte auf der Geraden ZP₁ konstruieren.

Vor der Nutzung von Computern diente im Ingenieur- und Vermessungswesen der Pantograf zur Skalierung ebener Kurven. Er besteht aus einem beweglichen Gestänge in Form eines Parallelogramms und wird im Zentrum Z drehbar befestigt. Seine Längen werden so eingestellt, dass für einen geführten Punkt P und den Zeichenpunkt Q stets Z, P und Q auf einer Geraden liegen und |ZQ| = k|ZP| gilt. Der Strahlensatz begründet damit, dass die Bewegung des Pantografen eine zentrische Streckung ausführt.

Verkettung mehrerer Abbildungen

Werden zwei zentrische Streckungen mit demselben Zentrum Z und den Faktoren k₁ und k₂ nacheinander ausgeführt, ist das Ergebnis wieder eine Streckung mit Zentrum Z und dem Faktor k₁k₂. Für k₁k₂ = 1 heben sich beide Streckungen auf. Die Streckungen mit festem Zentrum bilden daher eine Gruppe.

Bei verschiedenen Zentren Z₁ und Z₂ lautet die Verkettung von

σ₁: x ↦ z₁ + k₁(x − z₁)

und

σ₂: x ↦ z₂ + k₂(x − z₂)

insgesamt

(σ₂σ₁)(x) = (1 − k₁)k₂z₁ + (1 − k₂)z₂ + k₁k₂x.

Falls k₁k₂ = 1, entsteht eine Translation, also eine Parallelverschiebung, in Richtung →Z₁Z₂ mit dem Verschiebungsvektor (1 − k₂)(z₂ − z₁). Falls k₁k₂ ≠ 1, ist das Ergebnis eine zentrische Streckung mit dem Faktor k₁k₂. Ihr Zentrum Z₃ liegt auf der Geraden durch Z₁ und Z₂ und besitzt den Ortsvektor

z₃ = [(1 − k₁)k₂z₁ + (1 − k₂)z₂] / (1 − k₁k₂).

Beispielsweise ergeben k₁ = 2 und k₂ = 0,3 den Gesamtfaktor 0,6.

Auch die Hintereinanderausführung einer Streckung mit k ≠ 1 und einer Translation x ↦ x + v ist wieder eine zentrische Streckung. Ihr Faktor bleibt k, während sich das Zentrum zu

z′ = z + v/(1 − k)

verschiebt. Solche Kombinationen treten bei Smartphone-Bediengesten auf: Ein Finger bewirkt eine Translation, zwei Finger ermöglichen eine Streckung.

Zeichnerisch kann man zunächst das Bild R₁ eines Punktes P₁ durch beide Abbildungen bestimmen. Bei einer resultierenden Streckung erhält man das neue Zentrum als Schnittpunkt der Geraden durch Z₁ und Z₂ mit der Geraden durch P₁ und R₁. Bei einer resultierenden Translation werden weitere Punkte um den Vektor →P₁R₁ verschoben.

Einordnung und allgemeinere Räume

Die zentrische Streckung ist ein Beispiel für eine Dilatation; in der axiomatischen affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelität festgelegt. Sie ist außerdem der Spezialfall einer Drehstreckung mit dem Drehwinkel 0. Umgekehrt lässt sich jede Ähnlichkeitsabbildung als Verkettung einer Kongruenzabbildung mit einer zentrischen Streckung darstellen.

Das Konzept ist nicht auf die zwei- oder dreidimensionale euklidische Geometrie beschränkt. Zentrische Streckungen können in jedem endlichdimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und sogar über einem Schiefkörper definiert werden. Die vektorielle Darstellung bleibt dabei grundsätzlich dieselbe. Im zweidimensionalen Fall gibt es außerdem eine Verallgemeinerung auf affine Translationsebenen über einem Quasikörper, wobei der verwendete Skalar aus dessen Kern stammt.

In diesen allgemeineren Strukturen müssen weder ein Winkelmaß noch ein Längenmaß existieren. Deshalb kann dort im Allgemeinen nicht von Winkel- oder Längenverhältnistreue gesprochen werden. Zentrische Streckungen bleiben jedoch Dilatationen und Affinitäten; für ihre Fixpunkte und Fixgeraden gelten dieselben Aussagen wie im reellen Fall.