Strecke (Geometrie)

Grundidee und Bezeichnungen

Eine Strecke, auch Geradenabschnitt oder Geradenstück, ist eine gerade Linie zwischen zwei Punkten und die kürzeste Verbindung ihrer Endpunkte. Anders als eine Gerade ist sie an beiden Seiten begrenzt; eine Halbgerade (ein Strahl) ist nur an einer Seite begrenzt.

Für zwei Punkte A und B heißt sie Verbindungsstrecke von A und B. Im Schulbereich wird häufig die Strecke mit 05AB und ihre Länge mit |̅AB| bezeichnet. Ebenfalls gebräuchlich sind [AB] für die Strecke und ̅AB für ihre Länge. Die Bezeichnungen sind in der Literatur nicht einheitlich.

Endpunkte, Orientierung und besondere Strecken

Mithilfe der Zwischenrelation kann [AB] als die Menge aller Punkte auf der Verbindungsgeraden AB beschrieben werden, die zwischen A und B liegen.

• Bei der abgeschlossenen Strecke [AB] gehören beide Endpunkte dazu.
• Bei der offenen Strecke (AB) sind beide Endpunkte ausgeschlossen.
• Bei den halboffenen Strecken [AB) beziehungsweise (AB] gehört genau ein Endpunkt dazu.

Die Reihenfolge der Endpunkte spielt bei abgeschlossenen und offenen Strecken keine Rolle: [AB] = [BA] und (AB) = (BA). Legt die Reihenfolge dagegen eine Richtung fest, heißt ̅AB eine gerichtete Strecke.

Eine Strecke heißt Seite, wenn ihre Endpunkte benachbarte Eckpunkte eines Vielecks sind; Kante bei benachbarten Eckpunkten eines Polyeders; Diagonale bei nicht benachbarten Eckpunkten eines Vielecks; und Sehne, wenn beide Endpunkte auf einer Kurve, etwa einem Kreis, liegen.

Darstellung mit Parametern und Länge

In der analytischen Geometrie haben die Punkte A und B Ortsvektoren a und b. Die abgeschlossene Strecke [AB] besteht aus genau den Punkten mit Ortsvektor x = a + t(b − a), wobei 0 ≤ t ≤ 1 gilt. Der reelle Parameter t bestimmt die Lage auf der Strecke: t = 0 liefert A, t = 1 liefert B. Für die offene Strecke gilt 0 < t < 1; für [AB) gilt 0 ≤ t < 1 und für (AB] gilt 0 < t ≤ 1.

In baryzentrischen Koordinaten lautet die Darstellung x = s a + t b mit s, t ≥ 0 und s + t = 1. Da s + t = 1 gelten muss, sind die beiden reellen Parameter nicht unabhängig. Die offene Strecke hat s, t > 0; die halboffenen Strecken werden durch s > 0, t ≥ 0 beziehungsweise s ≥ 0, t > 0 beschrieben.

Die Streckenlänge ist der Abstand der Endpunkte. Die Verbindungsstrecke von A und B lässt sich als Menge der Punkte X auffassen, für die die Summe ̅XA + ̅XB minimal ist. Da bei einer Ellipse die Summe der Abstände zu ihren beiden Brennpunkten konstant ist, kann eine Strecke als spezielle, degenerierte Ellipse gelten. Unter allen Kurven zwischen zwei gegebenen Punkten besitzt die Verbindungsstrecke die kürzeste Bogenlänge.

Strecken im Vektorraum

In einem Vektorraum V über den reellen oder komplexen Zahlen ist eine abgeschlossene Strecke eine Teilmenge S ⊆ V der Form S = {u + t(v − u) | t ∈ [0,1]}. Dabei sind u und v verschiedene Vektoren und die Endpunkte von S. Gleichwertig ist die Darstellung als Konvexkombination, also als konvexe Hülle der Endpunkte: S = {s u + t v | s,t ≥ 0, s + t = 1}. Durch Einschränkung der Parameterbereiche entstehen offene und halboffene Strecken.

Jede Strecke ist nicht leer. Ist V ein topologischer Vektorraum, dann ist jede abgeschlossene Strecke zusammenhängend, kompakt und damit insbesondere topologisch abgeschlossen. Eine offene Strecke ist dagegen im Allgemeinen keine offene Teilmenge von V. Sie ist genau dann offen in V, wenn V eindimensional und somit homöomorph zu ℝ ist.

Axiome in der Inzidenzgeometrie

Eine abstrakte Inzidenzgeometrie besteht aus einer Punktmenge E und einer Geradenmenge G ⊆ 2^E. Für eine „Ebene“ nach Ernst Kunz gelten: Je zwei Punkte liegen auf mindestens einer Geraden (A1), auf höchstens einer gemeinsamen Geraden (A2), auf jeder Geraden liegen mindestens zwei verschiedene Punkte (A3), und es gibt mindestens drei nicht kollineare Punkte (A4). A1 und A2 bilden das Verbindungsaxiom.

Strecken werden zusätzlich durch B0 bis B6 festgelegt: Jedem Punktepaar A, B wird [AB] zugeordnet (B0); A liegt auf [AB] (B1); liegen A und B auf g, dann liegt [AB] vollständig auf g (B2); [AB] = [BA] (B3). Außerdem gibt es zu A, B ein C ≠ B mit B ∈ [AC] (B4); aus C ∈ [AB] und C ≠ B folgt B ∉ [AC] (B5). B6 ist das Axiom von Pasch: Schneidet eine Gerade, die keinen Eckpunkt eines Dreiecks enthält, eine Dreiecksseite, so schneidet sie mindestens eine der beiden anderen Seiten. Anschaulich muss eine Gerade, die in ein Dreieck eindringt, es wieder verlassen.

Eine solche Struktur heißt Ebene mit Strecken. Die Streckenaxiome sind, wenn die Inzidenzaxiome vorausgesetzt werden, zu den hilbertschen Anordnungsaxiomen gleichwertig. Für paarweise verschiedene P, X und Y gilt: P liegt zwischen X und Y genau dann, wenn P ∈ [XY]; dann ist P ein innerer Punkt der Strecke [XY].