Kongruenzabbildung

Begriff und grundlegende Eigenschaften

Eine Kongruenzabbildung ist eine geometrische Abbildung, die Form und Größe jeder Figur unverändert lässt. Jede Figur wird also auf eine zu ihr kongruente, das heißt deckungsgleiche Figur abgebildet. Insbesondere bleibt der Abstand zwischen je zwei Punkten invariant, also unverändert. In der euklidischen Geometrie sind „Kongruenzabbildung“ und „Bewegung“ mathematisch gleichbedeutend; meist bezeichnet „Kongruenzabbildung“ jedoch speziell Bewegungen der Ebene.

In der euklidischen Zeichenebene ist jede Kongruenzabbildung eine bijektive Selbstabbildung: Jedem Punkt wird eindeutig ein Bildpunkt zugeordnet, jeder Bildpunkt wird erreicht, und die Abbildung ist umkehrbar. Auch die Umkehrabbildung ist wieder eine Kongruenzabbildung.

Kongruenzabbildungen sind geraden-, längen- und winkeltreu. Sie bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten Streckenlängen sowie Winkelgrößen. Jede ebene Kongruenzabbildung lässt sich als Verkettung, also als Hintereinanderausführung, von Achsenspiegelungen darstellen. Höchstens drei Achsenspiegelungen genügen. Hat die Abbildung einen Fixpunkt, also einen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird, genügen höchstens zwei.

Eine Kongruenzabbildung heißt eigentlich, wenn sie durch eine gerade Anzahl von Achsenspiegelungen dargestellt werden kann. Bei einer uneigentlichen Kongruenzabbildung ist dafür eine ungerade Anzahl erforderlich. Algebraisch bilden alle Kongruenzabbildungen der Ebene eine Gruppe. Sie sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen und gehören allgemeiner zu den Affinitäten. In der analytischen Geometrie werden sie mithilfe von Matrizen beschrieben; zusammen bilden sie die euklidische Gruppe E(2).

Arten und Zusammensetzungen

Zu den ebenen Kongruenzabbildungen gehören Punktspiegelungen und senkrechte Achsenspiegelungen, Drehungen, Parallelverschiebungen beziehungsweise Translationen sowie Gleit- oder Schubspiegelungen. Kreisspiegelungen und Schrägspiegelungen zählen nicht dazu.

Die Verkettung zweier Achsenspiegelungen hängt von der Lage ihrer Achsen ab:

• Schneiden sich die Achsen a₁ und a₂ in einem Punkt Z, so ist σ₂ ∘ σ₁ eine Drehung um Z. Ihr Drehwinkel ist doppelt so groß wie ein orientierter Winkel α = ∠(a₁,a₂) zwischen den Achsen.

• Sind die Achsen parallel, so ist σ₂ ∘ σ₁ eine Verschiebung. Der Verschiebungsvektor steht senkrecht zu den Achsen, und seine Länge ist doppelt so groß wie deren Abstand.

Jede nichtidentische Drehung kann als Komposition zweier verschiedener Achsenspiegelungen dargestellt werden. Die Achsen sind im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, schneiden sich aber stets im Drehzentrum und müssen die genannte Winkelbeziehung erfüllen. Die Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Achsenspiegelung ist unabhängig von der Reihenfolge stets eine Gleitspiegelung. Die Verkettung einer Verschiebung mit einer nichtidentischen Drehung ist in beliebiger Reihenfolge eine Drehung.

Eine Gleitspiegelung besteht aus einer Verschiebung und einer Spiegelung. Vertauscht man im Allgemeinen deren Reihenfolge, entsteht eine andere Gleitspiegelung. Zwei gegensinnig kongruente Dreiecke können stets durch eine Gleitspiegelung aufeinander abgebildet werden. Diese ist genau dann eine reine Spiegelung, wenn mindestens eine Strecke zwischen zugeordneten Eckpunkten die Länge 0 hat oder die Mittelsenkrechten aller drei Verbindungsstrecken zusammenfallen.

Konstruktion aus zwei kongruenten Dreiecken

Zu zwei kongruenten Dreiecken A₀B₀C₀ und A₂B₂C₂ mit den Zuordnungen A₀ ↦ A₂, B₀ ↦ B₂ und C₀ ↦ C₂ lässt sich eine eindeutig bestimmte Kongruenzabbildung konstruieren.

Zuerst konstruiert man die Mittelsenkrechte a₁ der Strecke A₀A₂ und spiegelt B₀ und C₀ an a₁. Die Bildpunkte heißen B₁ und C₁. Falls A₀ = A₂ gilt, entfallen diese Schritte; dann setzt man B₁ = B₀ und C₁ = C₀.

Anschließend konstruiert man die Mittelsenkrechte a₂ von B₁B₂. Da A₂B₁ und A₂B₂ gleich lang sind, ist das Dreieck A₂B₁B₂ gleichschenklig, sodass a₂ auch durch A₂ verläuft. Man spiegelt C₁ an a₂ und erhält C₁′. Falls B₁ = B₂ ist, setzt man ohne diese Schritte C₁′ = C₁.

Gilt bereits C₁′ = C₂, ist die gesuchte Abbildung die Komposition der bisherigen Spiegelungen. Andernfalls wird zusätzlich an der Geraden A₂B₂ gespiegelt. Dass diese letzte Spiegelung C₁′ auf C₂ abbildet, folgt aus dem Kongruenzsatz SSS: Sind zwei verschiedene Punkte A und B sowie feste Längen a und b vorgegeben, gibt es höchstens zwei Punkte C mit AC = b und BC = a. Existieren zwei solche Punkte C und C′, gehen die Dreiecke ABC und ABC′ durch Spiegelung an AB ineinander über.

Damit ist eine Kongruenzabbildung zwischen zwei ebenen kongruenten Figuren durch drei Punkt-Bildpunkt-Paare eindeutig bestimmt, sofern die drei Urbildpunkte nicht auf einer Geraden liegen. Deshalb haben die Kongruenzsätze für Dreiecke in der Elementargeometrie eine zentrale Bedeutung.

Kongruenz in der Schulmathematik

In der Schule wird Kongruenz zunächst anschaulich als Deckungsgleichheit eingeführt. Zwei Figuren sind kongruent, wenn man eine ausgeschnittene Figur so auf die andere legen kann, dass beide zur Deckung kommen. Ebenso können deckungsgleiche Figuren mit derselben Schablone gezeichnet werden.

Aus diesen Erfahrungen entstehen zeichnerische Modelle:

• Das Falten eines durchscheinenden Blatts, durch das zwei Figuren zur Deckung kommen, führt zur Achsenspiegelung.

• Eine Verschiebung wird durch parallele, gleich lange Pfeile an den Eckpunkten dargestellt.

• Eine physische Drehung einer an einem Punkt befestigten Figur wird durch die Bewegungskreise ihrer Eckpunkte zeichnerisch beschrieben.

Intuitiv soll erkennbar werden, dass Achsenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen und ihre Kombinationen alle experimentellen Kongruenznachweise durch Ausschneiden und Übereinanderlegen ersetzen können. Bewiesen wird, dass sich jede Verschiebung und jede Drehung durch zwei geeignete Achsenspiegelungen darstellen lässt.

Eine wichtige Schwierigkeit ist die Unterscheidung zwischen Gleichheit und Kongruenz. Umgangssprachlich werden etwa zwei gleich lange Strecken als „gleich“ bezeichnet, obwohl sie als geometrische Objekte verschieden liegen können und nur kongruent sind. Ebenso sind gleichsinnig deckungsgleiche Figuren nicht notwendig identisch. Beweise, bei denen die Figuren nicht identisch sein können oder bei denen die Reihenfolge der zugeordneten Punkte entscheidend ist, helfen bei dieser Abgrenzung.

Bewegungen und axiomatische Geometrie

In der analytischen Geometrie gibt es keinen mathematischen Unterschied zwischen Kongruenzabbildung und Bewegung. In der Elementargeometrie wird „Kongruenzabbildung“ jedoch gewöhnlich nur für Bewegungen der zweidimensionalen euklidischen Ebene verwendet.

In der synthetischen und absoluten Geometrie gibt es zwei unterschiedliche axiomatische Zugänge. Beim ersten ist Kongruenz ein Grundbegriff. In Hilberts Axiomensystem wird sie durch zwei Äquivalenzrelationen auf den Strecken und Winkeln der Ebene festgelegt; sie gehören zur Gruppe III, den Axiomen der Kongruenz. Eine Kongruenzabbildung ist dann eine bijektive Selbstabbildung der Ebene, die jede Kongruenzklasse auf sich abbildet.

Beim zweiten Zugang sind Spiegelungen oder die Bewegungsgruppe grundlegend. Eine axiomatisch festgelegte Orthogonalitätsrelation ermöglicht die Definition senkrechter Achsenspiegelungen. Eine Bewegung ist jede Abbildung, die sich als Komposition endlich vieler solcher Spiegelungen darstellen lässt. Alternativ können die Eigenschaften der Bewegungsgruppe selbst axiomatisch festgelegt werden. Kongruenz wird dann abgeleitet: Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie zur gleichen Bahn der Gruppenoperation gehören, bei der die Bewegungsgruppe auf der Menge aller Teilmengen der Ebene operiert.

Die Schulgeometrie in Deutschland folgt gewöhnlich dem Ansatz nach Hilbert und behandelt Kongruenz als Grundbegriff. In der Ebene spricht man daher meist von Kongruenzabbildungen; der Ausdruck „Bewegung“ erscheint, wenn überhaupt, erst in der dreidimensionalen Geometrie.