Dilatation (Geometrie)

Begriff und Grundformen

Eine Dilatation ist eine Kollineation, also eine geradentreue bijektive Abbildung, einer affinen Ebene oder eines affinen Raumes, bei der jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abgebildet wird. Dilatationen sind spezielle Affinitäten und gehören zu den Ähnlichkeitsabbildungen. Achsenaffinitäten sind dagegen keine Dilatationen.

Jede von der Identität verschiedene Dilatation ist entweder eine zentrische Streckung mit genau einem Fixpunkt oder eine fixpunktfreie Parallelverschiebung. In der synthetischen Geometrie heißen zentrische Streckungen auch Homothetien und Parallelverschiebungen auch Translationen. Translationen hängen mit der affinen Form des kleinen Satzes von Desargues zusammen, Homothetien mit der affinen Form des großen Satzes.

In der linearen Algebra sei K ein Körper oder Schiefkörper, V ein mindestens zweidimensionaler Vektorraum beziehungsweise Linksvektorraum über K und 𝒜 ein affiner Raum mit V als Raum der Verbindungsvektoren. Eine Affinität α: 𝒜 → 𝒜 heißt Dilatation, wenn ein a ∈ K \ {0} existiert, sodass für alle Punkte P,Q gilt: →α(P)α(Q) = a · →PQ. Der eindeutig bestimmte Skalar a heißt Streckfaktor. Für a = 1 ist α eine Translation.

In der synthetischen Definition einer affinen Ebene ist eine Kollineation genau dann eine Dilatation, wenn jede Gerade zu ihrer Bildgeraden parallel ist. Gleichwertig dazu ist ihre Fortsetzung im projektiven Abschluss eine projektive Perspektivität, deren Ferngerade eine Fixpunktgerade ist. Diese Definition gilt auch in nichtdesarguesschen Ebenen, in denen die lineare Definition nicht allgemein verwendbar ist.

Abbildungen und grundlegende Eigenschaften

In einem euklidischen Raum hat eine Streckung am Nullpunkt die Form x⃗ ↦ c·x⃗ mit c ≠ 0; eine Translation hat die Form x⃗ ↦ x⃗ + v⃗. Translationen erhalten Streckenlängen, während eine zentrische Streckung alle Strecken mit demselben Faktor verlängert oder verkürzt.

Hat eine Dilatation mehr als einen Fixpunkt, ist sie die Identität. Eine nichtidentische Dilatation mit Fixpunkt Z besitzt genau die Geraden durch Z als Fixgeraden. Bei einer nichtidentischen Translation τ sind genau die Parallelen zur Geraden Pτ(P) Fixgeraden, wobei P beliebig gewählt werden kann. Eine Dilatation ist durch die Bilder zweier verschiedener Punkte eindeutig bestimmt. In einer affinen Geometrie mit affine(m) Fano-Axiom ist jede Punktspiegelung eine Dilatation.

Die Verkettung zweier Translationen ist wieder eine Translation. Für Homothetien gilt das nicht: Die Verkettung zweier Punktspiegelungen kann eine Translation und damit keine Homothetie sein. Im projektiven Abschluss wird eine Dilatation zu einer Zentralkollineation mit der Ferngeraden beziehungsweise Fernhyperebene als Achse. Eine Translation wird dabei zu einer Elation, eine Homothetie zu einer Homologie.

Dilatationsgruppen

Alle Dilatationen von 𝒜 bilden die Dilatationsgruppe Δ(𝒜). Die Dilatationen mit festem Fixpunkt Z bilden die Streckungsgruppe Δ_Z(𝒜); die fixpunktfreien Dilatationen zusammen mit der Identität bilden die Translationsgruppe 𝒯(𝒜). Die Translationsgruppe ist ein Normalteiler von Δ(𝒜). Gibt es eine Translation τ mit τ(X) = Y, dann sind die Streckungsgruppen zu X und Y konjugiert und damit isomorph: τΔ_X(𝒜)τ⁻¹ = Δ_Y(𝒜).

In einem n-dimensionalen desarguesschen affinen Raum über einem Schiefkörper K, n ≥ 2, ist eine Dilatation genau für a = 1 eine Translation; andernfalls besitzt sie einen Fixpunkt. Die Translationsgruppe ist kommutativ und als Gruppe isomorph zu (Kⁿ,+). Jede Streckungsgruppe ist isomorph zu (K*,·). Jede Dilatation lässt sich eindeutig als Streckung um einen fest gewählten Ursprung und anschließende Translation darstellen. Daher gilt Δ(𝒜) ≅ 𝒯(𝒜) · Δ_Z(𝒜) sowie (Δ(𝒜),∘) ≅ (Kⁿ,+) ×_θ (K*,·), wobei θ durch Linksmultiplikation mit dem Streckfaktor wirkt. Für einen endlichen Körper K mit q Elementen besitzt die Gruppe qⁿ·(q−1) Elemente.

Für eine affine Translationsebene mit Linksquasikörper K und Kern S = Kern(K) gelten entsprechende Aussagen mit Streckfaktoren a ∈ S*. Insbesondere ist (𝒯,∘) ≅ (K²,+), jede Streckungsgruppe ist isomorph zu (S*,·), und Δ(𝒜) ≅ (K²,+) ×_θ (S*,·). Ist K endlich und ein r-dimensionaler Vektorraum über seinem Kern mit q Elementen, so hat die Dilatationsgruppe q²ʳ·(q−1) Elemente.

Längen, Winkel und Volumen

Dilatationen erhalten Orthogonalität: Aus g ⟂ h folgt α(g) ⟂ α(h) und umgekehrt. Das gilt auch bei isotropen Geraden mit g ⟂ g. In präeuklidischen Ebenen wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem wieder auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem abgebildet; kartesische Koordinatensysteme bleiben kartesisch. Außerdem sind Dilatationen kreistreu: Kreise werden auf Kreise abgebildet.

Gleich lange Pfeile werden auf gleich lange Pfeile abgebildet. In einer euklidischen Ebene gilt für verschiedene P,Q: |α(P)α(Q)| : |PQ| = |a|. Daher bleiben die Verhältnisse beliebiger Streckenlängen erhalten. Genau Translationen und Punktspiegelungen, also Dilatationen mit Streckfaktor 1 oder −1, sind längentreu. Das orientierte Winkelmaß ist in der Ebene invariant, und jede Dilatation einer orientierten Ebene erhält die Orientierung. Über nicht archimedisch geordneten Körpern können Streckfaktoren auch „unendliche“ Zahlen sein.

In einem affinen Raum mit Skalarprodukt verändert eine Dilatation alle Skalarprodukte nach der Regel ⟨→α(P)α(Q), →α(R)α(S)⟩ = a²·⟨→PQ, →RS⟩. Entsprechend gilt ‖→α(P)α(Q)‖₂ = |a|·‖→PQ‖₂; das nicht orientierte Winkelmaß bleibt unverändert. Ein kompatibles, translationsinvariantes, σ-additives Volumenmaß erfüllt in Dimension n für messbare M: |vol(α(M))| = |a|ⁿ·|vol(M)|.

In einem orientierten n-dimensionalen Raum ist eine Dilatation genau dann orientierungstreu, wenn a positiv oder n gerade ist. Für gerichtete Winkel gilt w(∠α(A)α(B)α(C)) = sgn(a)ⁿ·w(∠ABC). Bei einem orientierten Volumenmaß gilt vol(α(M)) = aⁿ·vol(M).

Konstruktion, Eindeutigkeit und Existenz

Sind ein Fixpunkt Z und ein Punkt-Bildpunktpaar A₁,A₂ vorgegeben, kann eine Dilatation nur existieren, wenn Z,A₁,A₂ kollinear und verschieden sind, wenn A₁ = A₂ ≠ Z gilt oder wenn A₁ = A₂ = Z gilt. Im zweiten Fall ist nur die Identität möglich; im dritten Fall existiert mindestens die Identität, möglicherweise auch weitere zentrale Dilatationen. Im ersten Fall gibt es höchstens eine. In desarguesschen Geometrien existiert sie stets; in affinen Translationsebenen genau dann, wenn Z,A₁,A₂ kommensurabel sind.

Für vier verschiedene Vorgabepunkte A₁,A₂,B₁,B₂ kann eine Dilatation mit α(A₁)=A₂ und α(B₁)=B₂ nur existieren, wenn die Punkte ein Parallelogramm, ein möglicherweise überschlagenes nichtentartetes Trapez mit A₁B₁ ∥ A₂B₂ und A₁A₂ ∦ B₁B₂ oder eine kollineare Anordnung bilden. Nicht komplanare Vorgaben lassen keine Dilatation zu.

Beim Parallelogramm muss die Abbildung eine nichtidentische Translation sein. Für C₁ ∉ B₁B₂ erhält man C₂ als Schnittpunkt der Parallelen zu B₁B₂ durch C₁ und zu B₁C₁ durch B₂. Eine solche Dilatation existiert stets in affinen Translationsebenen, desarguesschen Ebenen und mindestens dreidimensionalen affinen Geometrien. Es gibt jedoch affine Ebenen ohne beliebige Parallelverschiebungen in jeder Richtung, etwa affine Ausschnitte projektiver Ebenen der Lenz-Klasse I.

Beim Trapez, das kein Parallelogramm ist, ist die Dilatation zentral. Ihr Zentrum ist Z = A₁A₂ ∩ B₁B₂. Für C₁ ∉ B₁B₂ ist C₂ der Schnittpunkt der Parallelen zu B₁C₁ durch B₂ mit der Fixgeraden ZC₁. Die Vorgaben bestimmen höchstens eine Dilatation. Sie existiert stets in desarguesschen Ebenen und mindestens dreidimensionalen affinen Geometrien; in einer affinen Translationsebene nur dann, wenn das Trapez mit Z die Voraussetzungen des ersten Strahlensatzes für Translationsebenen erfüllt.

Kollineare Vorgaben werden mithilfe eines Punktes H₁ außerhalb der Vorgabegeraden zurückgeführt: Die Parallele zu A₁H₁ durch A₂ und die Parallele zu B₁H₁ durch B₂ schneiden sich in H₂. Dadurch entsteht ein Trapez A₁H₁H₂A₂, das als Parallelogramm- oder Hauptfall behandelt werden kann.