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Ähnlichkeitsabbildung
Als Ähnlichkeitsabbildung (oder Ähnlichkeit) wird in der Geometrie eine Affinität bezeichnet, die Streckenverhältnisse und Winkelgrößen unverändert lässt, …
Begriff und Anwendung
Eine Ähnlichkeitsabbildung (auch Ähnlichkeit) ist in der Geometrie eine Affinität, die Streckenverhältnisse und Winkelgrößen unverändert lässt, die Längen einzelner Strecken aber im Allgemeinen verändert. Sie ist nur in affinen Räumen sinnvoll, in denen Winkel und Längen definiert sind; meist sind dies affine Punkträume mit einem reellen euklidischen Raum als Raum der Verbindungsvektoren. Figuren, die durch eine solche Abbildung ineinander überführt werden können, heißen ähnlich.
In Geodäsie und Astrometrie heißt sie Ähnlichkeitstransformation. Ihre vier Transformationsparameter sind Drehwinkel, Maßstabsfaktor und zwei Verschiebungswerte. Sie wird unter anderem eingesetzt, um kleinräumige Vermessungen an Landeskoordinaten anzuschließen oder Astrografen-Aufnahmen bei der Plattenreduktion auf zwei oder mehr Anschlusssterne zu beziehen.
Einordnung und Arten
Ähnlichkeiten sind eine Teilmenge der Affinitäten und bilden bei Verkettung eine Untergruppe der Gruppe der Affinitäten. In Dimensionen ab 2 gibt es auch Affinitäten, die keine Ähnlichkeiten sind. Kongruenzabbildungen sind ebenfalls Ähnlichkeiten, denn sie erhalten Winkel und Streckenverhältnisse. Ähnlichkeiten, die keine Kongruenzabbildungen sind, heißen echte Ähnlichkeiten.
Drehstreckungen sind orientierungstreu: Der Umlaufsinn von Vielecken bleibt erhalten. Sie setzen sich aus zentrischer Streckung und Drehung zusammen und werden durch Streckungsfaktor und Drehwinkel bestimmt. Bei Streckungsfaktor 1 ist die Abbildung eine reine Drehung und damit eine Kongruenzabbildung.
Klappstreckungen kehren die Orientierung um. Sie bestehen aus einer Spiegelung an einer Hyperebene und einer zentrischen Streckung. Im zweidimensionalen Raum ist dies eine Geradenspiegelung, im dreidimensionalen eine Ebenenspiegelung. Bei Streckungsfaktor 1 entsteht eine reine Spiegelung, ebenfalls eine Kongruenzabbildung.
Darstellung mit Koordinaten
Nach Wahl eines euklidischen affinen Koordinatensystems lautet die Abbildungsgleichung
\vec{X'}=m\cdot A\vec{X}+\vec{b}.
Dabei ist m>0 eine reelle Zahl, die den Maßstab beschreibt, A eine orthogonale Matrix und \vec{b} ein Verschiebungsvektor. Bei einer gleichsinnigen Ähnlichkeitsabbildung gilt \det(A)=1; bei einer gegensinnigen gilt \det(A)=-1.
