Synthetische Geometrie – einfach erklärt

Grundidee und Gegenstand

Synthetische Geometrie ist der Zweig der Geometrie, der von geometrischen Axiomen und Theoremen ausgeht und häufig synthetische Betrachtungen oder Konstruktionsmethoden verwendet. Geometrische Objekte werden dabei aus ihren Beziehungen zueinander untersucht. Im Unterschied dazu definiert die analytische Geometrie geometrische Strukturen mithilfe algebraischer Strukturen wie Körpern, Vektorräumen, Zahlen und Gleichungen.

Die moderne synthetische Geometrie formuliert ihre Grundsätze axiomatisch. Axiome sind grundlegende Annahmen, aus denen weitere Sätze logisch abgeleitet werden. Punkte, Geraden und Ebenen werden nicht unbedingt unmittelbar anschaulich definiert, sondern implizit durch die Beziehungen, die zwischen ihnen gelten. Ein wichtiger Gegenstand ist deshalb die Untersuchung der logischen Abhängigkeiten zwischen unterschiedlich formulierten Axiomensystemen.

Geometrische Axiome werden meist durch algebraische Strukturen modelliert, etwa durch Koordinatenmengen im weitesten Sinn oder durch strukturerhaltende Abbildungen wie Kollineationen. Eine Kollineation ist dabei eine Abbildung, die die geometrische Struktur der Geradenbeziehungen erhält. Auf diese Weise wird synthetische Geometrie in die moderne, auf der Mengenlehre beruhende Mathematik eingeordnet. Beweise sollen nicht auf Evidenzargumenten aus dem Anschauungsraum beruhen, wie sie für Euklid noch selbstverständlich waren.

Historische Entwicklung

Die Geometrie Euklids war im Wesentlichen synthetisch. Sein Hauptwerk „Elemente“ baute die gesamte Mathematik auf geometrischen Grundlagen auf. Auch Zahlen wurden zunächst als Verhältnisse von Längen eingeführt und ihre Beziehungen geometrisch begründet.

Im 17. Jahrhundert wurde durch die Rezeption der Werke von René Descartes der umgekehrte, analytische Ansatz vorherrschend. In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte zunächst durch Zahlen, Gleichungen und Koordinaten definiert; später kamen allgemeinere algebraische Strukturen hinzu. Dieser Ansatz führte zu Verallgemeinerungen der euklidischen Geometrie und hat sie möglicherweise erst ermöglicht.

Die moderne synthetische Geometrie nach Descartes untersuchte besonders intensiv die logischen Voraussetzungen und Folgerungen des Parallelenaxioms. Das Parallelenaxiom ist eine Aussage darüber, unter welchen Bedingungen parallele Geraden existieren. Die Untersuchungen führten zu nichteuklidischen Geometrien, insbesondere zur elliptischen und hyperbolischen Geometrie, sowie zu gemeinsamen Verallgemeinerungen in der absoluten Geometrie, in der das Parallelenaxiom entfällt.

Im 19. Jahrhundert erreichte die moderne synthetische Geometrie einen Höhepunkt. Dazu trugen unter anderem die Arbeiten von Jakob Steiner zur projektiven Geometrie bei.

Axiomensysteme und geometrische Strukturen

Da die synthetische Geometrie die axiomatischen Voraussetzungen von Geometrie in einem sehr allgemeinen Sinn untersucht, gibt es zahlreiche Axiome und verschiedene Möglichkeiten, sie zu klassifizieren.

Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie umfasst fünf Gruppen. Mit ihnen lassen sich die Voraussetzungen für Sätze der klassischen Geometrie in der reellen Ebene und im dreidimensionalen reellen Raum untersuchen.

Inzidenzaxiome (Gruppe I) bilden meist den Ausgangspunkt. Inzidenz beschreibt grundlegende Beziehungen wie das Liegen von Punkten auf Geraden. Auf der Grundlage der Inzidenzgeometrie können absolute, projektive und affine Geometrien aufgebaut werden. Besonders untersucht werden affine Ebenen und projektive Ebenen. Beide stehen unter anderem durch die projektive Erweiterung einer affinen Ebene beziehungsweise durch das Schlitzen einer projektiven Ebene miteinander in Beziehung.
Die Axiome der Anordnung (Gruppe II) führen in bestimmten affinen Ebenen zu Zwischenbeziehungen für Punkte auf einer Geraden sowie zu Seiteneinteilungen und Halbebenen. Diese werden durch Seiteneinteilungsfunktionen definiert. Eine schwache Seiteneinteilung ist in einer pappusschen Ebene genau dann möglich, wenn ihr Koordinatenkörper einen nichttrivialen quadratischen Charakter erlaubt. Eine starke Anordnung ist genau dann möglich, wenn der Koordinatenkörper eine Körperanordnung zulässt.
Die Axiome der Kongruenz (Gruppe III) werden in der neueren Literatur als Eigenschaften von Untergruppen der Kollineationsgruppe einer affinen Ebene behandelt. Deshalb werden sie dort nicht mehr unbedingt in ihrer klassischen Form verwendet. Als Alternative kann eine Orthogonalitätsrelation eingeführt und untersucht werden.
Das Parallelenaxiom bildet bei Hilbert die eigene Gruppe IV. In der neueren Literatur wird es den Inzidenzaxiomen zugerechnet. In der absoluten Geometrie entfällt es vollständig. In der projektiven Geometrie wird es durch Inzidenzaxiome ersetzt, die seine Gültigkeit ausschließen.
Die Axiome der Stetigkeit (Gruppe V bei Hilbert) werden in der neueren synthetischen Geometrie durch schwächere Axiome einer euklidischen Ebene ersetzt. In einer solchen Ebene können die Möglichkeiten klassischer Konstruktionen mit Zirkel und Lineal untersucht werden.

Auch Schließungssätze der euklidischen Geometrie können als Axiome der synthetischen Geometrie auftreten. Der Satz von Desargues und seine Spezialfälle sowie der Satz von Pappos entsprechen umkehrbar eindeutig unterschiedlichen Verallgemeinerungen des üblichen Koordinatenbegriffs für affine und projektive Ebenen. Ternärkörper, ein Begriff aus der geometrischen Algebra, können bestimmte Klassen affiner und projektiver Geometrien hinreichend algebraisch beschreiben.

Der Satz von Desargues lässt sich in mindestens dreidimensionalen Räumen sowohl für affine als auch für projektive Räume aus sehr schwachen Inzidenzaxiomen beweisen. Dies ist ein Grund dafür, dass sich die synthetische Geometrie besonders mit ebenen Strukturen beschäftigt.

Rechnergestützte Untersuchungen

Der Schwerpunkt der computer-gestützten algorithmischen Geometrie liegt zwar bei Problemen der analytischen Geometrie, doch wird dort auch synthetische Geometrie betrieben. Ein Beispiel ist die Untersuchung endlicher Inzidenzebenen. Dabei wird gefragt, für welche Ordnungen – also für welche Anzahl von Elementen auf einer Geraden – solche Ebenen existieren können. Diese Fragestellungen stehen unter anderem im Zusammenhang mit Blockplänen.