Wurfparabel

Grundidee und Voraussetzungen

Die Wurfparabel ist die Flugbahn eines Körpers bei einem Wurf in einem homogenen Schwerefeld, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Homogen bedeutet hier: Die Schwerebeschleunigung ist überall gleich groß und gleich gerichtet. Der schiefe Wurf ist der allgemeine Fall; senkrechter und waagerechter Wurf sind Spezialfälle. Die Wurfparabel ist immer nach unten geöffnet, ihr höchster Punkt heißt Scheitelpunkt.

Auf der Erde ist das Schwerefeld nur bei kleinen Wurfweiten näherungsweise homogen. Deshalb ist die Flugbahn dann parabelförmig. Genauer wäre sie ohne Luftwiderstand ellipsenförmig, also eine Kepler-Bahn. Wird dagegen der Luftwiderstand berücksichtigt und das nicht konstante Schwerefeld vernachlässigt, entsteht keine ideale Parabel mehr, sondern eine ballistische Kurve.

Der Grund für die Parabelform ohne Luftwiderstand ist, dass während des Fluges nur die Schwerkraft wirkt. Die Bewegung kann in zwei voneinander unabhängige Richtungen zerlegt werden: horizontal und vertikal. Horizontal wirkt keine Kraft, daher bleibt die horizontale Geschwindigkeit konstant. Vertikal wirkt die Schwerkraft mit der Schwerebeschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.

Bewegungsgleichungen ohne Luftwiderstand

Beim schiefen Wurf wird ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v_0 unter dem Winkel β nach oben geworfen. Die Anfangsgeschwindigkeit wird in zwei Komponenten zerlegt: horizontal v_{0x} = v_0 cos β und vertikal v_{0y} = v_0 sin β. Sinus und Cosinus geben dabei an, wie groß der jeweilige Anteil der Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler und horizontaler Richtung ist.

Für den Startpunkt x = 0, y = 0 gilt horizontal:

x(t) = v_{0x} · t

oder beim schiefen Wurf:

x(t) = v_0 t cos β.

Vertikal gilt wegen der Schwerebeschleunigung nach unten:

v_y(t) = v_{0y} - g · t

und für den Ort:

y(t) = v_{0y} · t - (g/2) · t².

Beim schiefen Wurf wird daraus:

y(t) = v_0 t sin β - (g/2)t².

Die vektorielle Bahngleichung lautet:

r(t) = (x(t), y(t)) = (v_0 t cos β, v_0 t sin β - (g/2)t²).

Löst man x(t) nach t auf und setzt dies in y(t) ein, erhält man die explizite Bahngleichung im Ortsraum:

y(x) = x tan β - [g / (2 v_0² cos² β)] x².

Diese Gleichung zeigt direkt die Parabelform, weil sie einen quadratischen Term in x enthält.

Reichweite und optimale Winkel

Die Reichweite R wird meist so definiert, dass die Wurfparabel die Ausgangshöhe wieder erreicht, also y(R) = 0. Für h_0 = 0 ergibt sich:

R = (v_0² / g) sin(2β).

Da die Sinusfunktion bei 90° ihren größten Wert sin 90° = 1 hat, ist die Reichweite bei Anfangshöhe h_0 = 0 für β_max = 45° maximal.

Bei einer Anfangshöhe h_0 ≠ 0 verändert sich der optimale Startwinkel. Für die maximale Reichweite gilt:

β_max = arcsin [v_0 / √(2v_0² + 2gh_0)] = arccos √[(v_0² + 2gh_0)/(2v_0² + 2gh_0)] = arccot √[1 + 2gh_0/v_0²].

Die Anfangshöhe darf höchstens so tief unter dem Ziel liegen, dass dieses bei einem senkrechten Wurf mit Wurfweite 0 gerade noch erreicht werden kann:

h_0 ≥ -v_0²/(2g).

Die maximale horizontale Wurfweite bei Anfangshöhe h_0 beträgt:

R_max(v_0,h_0) = (v_0/g) √(v_0² + 2gh_0),

bei einer Flugdauer von:

(1/g) √(2v_0² + 2gh_0).

Für h_0 > 0 ist β_max < 45°, für h_0 < 0 ist β_max > 45°. Für h_0 = 0 ergeben sich wieder die bekannten Formeln.

Soll ein Ziel auf gleicher Höhe in einer Entfernung R_T getroffen werden, gibt es je nach Anfangsgeschwindigkeit keine, eine oder zwei Lösungen. Ist die maximale Reichweite kleiner als die Zielentfernung, gibt es keine Lösung. Wird das Ziel gerade noch erreicht, ist der Winkel 45°. Bei größeren Anfangsgeschwindigkeiten gibt es zwei Winkel, die die Gleichung sin(β) cos(β) = (g/(2v_0²)) R_T erfüllen: einer ist größer als 45°, der andere kleiner als 45°. Winkel über 45° heißen obere Winkelgruppe, Winkel unter 45° untere Winkelgruppe. Bei einem Ziel in 100 m Entfernung und g = 9,81 m/s² beträgt die nötige Anfangsgeschwindigkeit mindestens 31 m/s; bei 40 m/s sind 18,9° und 71,1° möglich. Die Flugzeit ist bei der unteren Winkelgruppe kürzer, im Beispiel etwa 2,6 s statt 7,7 s.

Scheitelpunkt, Hüllkurve und Hangwurf

Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Wurfparabel. Er wird erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeit null ist: Die Aufwärtsbewegung endet, und die Abwärtsbewegung beginnt. Bei einem Wurf, der wieder auf Ausgangshöhe endet, liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen 0 und R. Seine Koordinaten sind:

x_S = [sin(2β)/2] · v_0²/g = sin β cos β · v_0²/g

y_S = v_0² sin² β/(2g).

Bei Abwurfhöhe h_0 = 0 liegen die Scheitelpunkte aller Wurfparabeln mit konstantem v_0 und variablem β ∈ [0°; 180°] auf einer querformatigen Ellipse. Ihr Mittelpunkt ist (0; v_0²/(4g)), ihre Halbachsen sind v_0²/(2g) und v_0²/(4g).

Verändert man bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit v_0 den Startwinkel β, erreichen die verschiedenen Wurfparabeln unterschiedliche Punkte. Die äußerste Grenze dieser erreichbaren Punkte ist die einhüllende Wurfparabel. Für die Wurfparabeln

y(x) = x tan β - [g x²/(2v_0² cos² β)] + h_0

lautet die Hüllkurve:

y_H(x) = v_0²/(2g) - g x²/(2v_0²) + h_0.

Sie entspricht einem waagerechten Wurf aus der maximal erreichbaren Wurfhöhe des senkrechten Wurfs mit derselben Anfangsgeschwindigkeit v_0.

Auch an geneigten Ebenen kann man den Winkel für maximale Reichweite bestimmen. Für eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α gilt für die Wurfdauer:

t_w = [2v_0 sin(α + β)]/[g cos(α)].

Die horizontal gemessene Reichweite ist:

x(t_w) = v_0²[sin(2β + α) + sin(α)]/[g cos(α)].

Die maximale Reichweite liegt vor, wenn 2β + α = 90° ist. Daraus folgt:

β = 45° - α/2.

Die maximale horizontale Reichweite beträgt:

x_max = v_0²[1 + sin(α)]/[g cos(α)].

Spezialfälle und Energiebetrachtung

Beim senkrechten Wurf bewegt sich der Körper nur in vertikaler Richtung. Beim Wurf nach oben überlagern sich eine gleichförmige Bewegung nach oben und der freie Fall nach unten. Die Formeln lauten:

v = v_0 - gt

s = v_0t - (g/2)t².

Die maximale Wurfhöhe h_max erhält man, indem man v = 0 setzt. Zunächst ergibt sich die Steigzeit t_s = v_0/g. Daraus folgt:

h_max = v_0²/(2g).

Die gesamte Wurfdauer kann man durch Verdopplung der Steigzeit bestimmen, weil Fallzeit t_f und Steigzeit t_s gleich sind, wenn der Körper wieder auf gleicher Höhe ankommt. Beim senkrechten Wurf nach unten gilt:

v = v_0 + gt

h = h_0 - v_0t - (g/2)t².

Beim waagerechten Wurf ist die Anfangsgeschwindigkeit nur horizontal. Die Gleichungen vereinfachen sich zu:

r(t) = (v_0t, -(g/2)t²)

v(t) = (v_0, -gt).

Eine weitere Beschreibung nutzt Bewegungsgrößen, die während des Flugs konstant bleiben. Solche Größen heißen Integrale der Bewegung. Beim schrägen Wurf ohne Luftwiderstand bleibt die auf die Masse bezogene Gesamtenergie konstant:

e = (ẋ² + ẏ²)/2 + g · y = v_0²/2.

Der erste Summand ist die kinetische Energie, der zweite die potentielle Energie. Auch ẋẏ + gx = (v_0²/2) sin(2β) ist ein Integral. Der Überpunkt steht dabei für die Zeitableitung.

Luftwiderstand und Parabelflug

Mit Luftwiderstand ist die Flugbahn keine ideale Wurfparabel mehr. Der Luftwiderstand bremst proportional zu v². Bei kleinen Geschwindigkeiten und kompakten Flugkörpern bleibt die Parabelform noch recht gut erhalten. Ein idealisierter Golfball ohne Auftriebseffekte durch Drall und Grübchen fliegt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 65 m/s etwa 200 Meter auf einer fast symmetrischen Bahn.

Bei einem Federball ist der Luftwiderstand viel stärker. Bei ebenfalls 65 m/s fällt er am Ende der Flugbahn fast senkrecht zu Boden und kommt schon nach 10 bis 15 Metern herunter. Die maximale Flugweite wird dann nicht bei 45° erreicht, sondern bei einem Startwinkel um 20°. Bei kleineren Anfangsgeschwindigkeiten wird dieser Winkel größer und nähert sich der 45°-Parabel an.

Bei Raketen mit kurzer Brennzeit, etwa Kurzstrecken- oder Luftabwehrraketen, ähnelt die Flugbahn dem schrägen Wurf eines schnittigen Körpers. Die Reichweite wird dann von der Anfangsgeschwindigkeit und der Scheitelhöhe bestimmt, die wiederum vom Abschusswinkel abhängt.

Ein Parabelflug ist ein Flugmanöver, meist in großer Höhe, bei dem ein Flugzeug etwa eine halbe Minute lang eine Wurfparabel beschreibt. Dabei entsteht Schwerelosigkeit beziehungsweise Mikrogravitation. Solche Flüge dienen dem Training von Astronauten und Experimenten bei verminderter Schwerkraft.