Beschleunigung

Bedeutung und Einheit

Beschleunigung ist eine physikalische Größe, die die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers angibt. Ein Körper kann dadurch schneller oder langsamer werden oder seine Bewegungsrichtung ändern. Sie ist eine zentrale Größe der Kinematik, also der Beschreibung von Bewegungen.

Die momentane Beschleunigung ist die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit: a⃗ = d v⃗/dt. Beschleunigung ist daher eine vektorielle Größe: Sie besitzt Betrag und Richtung. Die SI-Einheit lautet m/s². Eine konstante Beschleunigung von 1 m/s² bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um 1 m/s ändert.

In den Geowissenschaften wird außerdem Gal verwendet: 1 Gal = 0,01 m/s². Belastungsgrenzen können als g-Kraft, also „Kraft pro Masse“, angegeben werden; sie beziehen sich auf die Normfallbeschleunigung g = 9,80665 m/s².

Geradlinige und gleichmäßige Beschleunigung

Nach dem ersten Newtonschen Gesetz bewegt sich ein kräftefreier Körper in einem Inertialsystem geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Wirkt eine Kraft, kann sich sein Bewegungszustand ändern. Physikalisch ist auch Bremsen Beschleunigung, ebenso eine reine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag.

Bei einer eindimensionalen Bewegung ist die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall Δt = t₂ − t₁:

ā = Δv/Δt = (v₂ − v₁)/(t₂ − t₁).

Haben Geschwindigkeit und Beschleunigung dasselbe Vorzeichen, nimmt der Geschwindigkeitsbetrag zu; bei unterschiedlichen Vorzeichen nimmt er ab, gegebenenfalls bis zur Richtungsumkehr. Die momentane Beschleunigung erhält man als Grenzwert für sehr kleine Zeitintervalle: a(t) = lim(Δt→0) Δv/Δt = dv/dt = v̇(t).

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist a konstant. Dann gelten v(t) = at + v₀ und s(t) = ½at² + v₀t + s₀, wobei v₀ die Anfangsgeschwindigkeit und s₀ der Startpunkt sind.

Beschleunigung als Vektor auf gekrümmten Bahnen

Im zwei- oder dreidimensionalen Fall müssen Geschwindigkeitsänderungen vektoriell bestimmt werden. Für ein Zeitintervall gilt a⃗ = Δv⃗/Δt; bei veränderlicher Beschleunigung ist dies die mittlere oder Durchschnittsbeschleunigung. Für einen bestimmten Zeitpunkt gilt:

a⃗(t) = d v⃗(t)/dt = v⃗̇(t) = d²r⃗(t)/dt².

Zeigen Geschwindigkeit und Beschleunigung in dieselbe Richtung, steigt nur der Geschwindigkeitsbetrag; bei antiparallelen Vektoren sinkt er. Die Bewegung bleibt dabei geradlinig. Steht die Beschleunigung schräg zur Bewegungsrichtung, ändert sich auch deren Richtung und die Bahn ist gekrümmt. Bei orthogonaler Beschleunigung ändert sich nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht ihr Betrag.

Für eine Bewegung entlang einer Raumkurve lässt sich a⃗ in Tangential- und Normal- beziehungsweise Radialbeschleunigung zerlegen. Mit v⃗ = v t̂, dem Tangenteneinheitsvektor t̂, dem Normaleneinheitsvektor n̂ und dem Krümmungsradius ρ gilt:

aₜ = v̇, aₙ = v²/ρ und a⃗ = aₜt̂ + aₙn̂.

Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der Krümmung; n̂ zeigt zum Krümmungsmittelpunkt. Ist aₜ = 0, bleibt der Geschwindigkeitsbetrag erhalten. Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung heißt Ruck: j⃗(t) = a⃗̇(t) = d³r⃗(t)/dt³.

Kreisbewegung, Kraft und Trägheit

Bei gleichförmiger Kreisbewegung steht die Beschleunigung stets senkrecht zur Bewegungsrichtung. Diese Zentripetalbeschleunigung ist zum Mittelpunkt gerichtet und beträgt:

a_Z = v²/r = ω²r.

Dabei ist r der Abstand zur Drehachse, v die Tangentialgeschwindigkeit und ω die Winkelgeschwindigkeit. In einem niedrigen kreisförmigen Satellitenorbit wirkt die zum Erdmittelpunkt gerichtete Fallbeschleunigung als Zentripetalbeschleunigung. In einem mitrotierenden, also beschleunigten Bezugssystem spricht man von einer nach außen gerichteten Zentrifugalbeschleunigung; ihr Betrag folgt derselben Formel.

Die Newtonschen Gesetze beschreiben den Zusammenhang von Kraft und Beschleunigung. Ein kräftefreier Körper erfährt in einem Inertialsystem keine Beschleunigung. Bei einer resultierenden Kraft gilt F⃗ = m a⃗: Die Beschleunigung ist proportional zur resultierenden Kraft und hat deren Richtung. Ist die Kraft proportional zur Masse, wie die Gewichtskraft, ist die Beschleunigung massenunabhängig. Deshalb beträgt die Fallbeschleunigung auf der Erde für alle Körper rund 9,81 m/s².

In beschleunigten Bezugssystemen berücksichtigt man Trägheitskräfte. Ein Körper, der in einem Inertialsystem ruht, hat in einem Bezugssystem mit Beschleunigung a⃗ die Beschleunigung a⃗* = −a⃗. Ein mitbewegter Beobachter schreibt dies einer scheinbaren Trägheitskraft F⃗* = m a⃗* zu. Beispielsweise rollt ein Ball in einer anfahrenden U-Bahn scheinbar nach hinten, während er aus Sicht eines Beobachters am Bahnsteig wegen seiner Trägheit zunächst zurückbleibt.

Messung, Relativität und typische Werte

Beschleunigung kann kinematisch über die Änderung der Momentangeschwindigkeit entlang eines Weges bestimmt werden. Ein Beschleunigungssensor verwendet dagegen eine Testmasse und deren Trägheitskraft; mit der newtonschen Grundgleichung wird daraus auf die Beschleunigung geschlossen. Bei einer Federwaage mit m = 1 kg zeigt ein ruhender Aufzug 9,8 N. Zeigt die Waage beim Anfahren nach oben 10,5 N, beträgt die Beschleunigung des Aufzugs 0,7 m/s² nach oben.

Werden Beschleunigungen in drei Dimensionen kontinuierlich gemessen und sind Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsposition bekannt, kann die Position durch zweimalige Integration über die Zeit bestimmt werden. Ein solches System heißt Trägheitsnavigationssystem und kann etwa bei Ausfall des GPS-Geräts eines Flugzeugs über einen mittellangen Zeitraum eine relativ genaue Ortsbestimmung ermöglichen.

In der speziellen Relativitätstheorie sind Zeitbegriff, Beschleunigung und ihr Zusammenhang mit Kraft wegen Lorentz-Transformation und Zeitdilatation komplexer; F⃗ = m a⃗ gilt nicht exakt, und kein massebehafteter Körper kann auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. Nach dem Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie kann ein Beobachter lokal nicht unterscheiden, ob er auf der Erde steht oder sich in einer Rakete mit Erdbeschleunigung g bewegt. In einem frei fallenden Bezugssystem gibt es lokal keine Gravitationsfelder. Gravitation wird durch eine gekrümmte Raumzeit beschrieben; Bewegungen folgen darin Geodäten und können im dreidimensionalen Anschauungsraum als beschleunigte Bewegungen auf gekrümmten Kurven erscheinen.

Beispiele für Größenordnungen: Ein ICE beschleunigt etwa mit 0,5 m/s², ein moderner S-Bahn-Triebwagen mit 1,0 m/s²; ein Sportler in den ersten Schritten eines Sprints mit etwa 4 m/s². Beim Kugelstoßen sind es etwa 10 m/s², an der Trommelwand einer Waschmaschine im Schleudergang mehr als 300g (≈ 3.000 m/s²), bei einem Tennisball bis zu 10.000 m/s² und bei Nesselzellen bis zu 5.410.000g (≈ 53 Millionen m/s²).