Newtonsche Gesetze

Bedeutung und Gültigkeitsbereich

Isaac Newton formulierte 1687 in den Philosophiae Naturalis Principia Mathematica drei Gesetze der Bewegung. Sie heißen auch Newtonsche Axiome, Grundgesetze der Bewegung oder Newtonsche Prinzipien und bilden das Fundament der klassischen Mechanik. In ihrem großen Gültigkeitsbereich ermöglichen sie zuverlässige Vorhersagen; in Quantenmechanik und Relativitätstheorie gelten sie jedoch nicht uneingeschränkt.

Vereinfacht lauten sie: Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Für konstante Masse gilt \vec F=m\vec a. Übt Körper A auf B eine Kraft aus, so übt B auf A eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft aus: \vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}.

Trägheit und Inertialsysteme

Das erste Newtonsche Gesetz heißt auch Trägheitsprinzip, Trägheitsgesetz oder Inertialgesetz: „Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, sofern jener nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“ Seine Geschwindigkeit \vec v bleibt also in Betrag und Richtung konstant.

Eine äußere Kraft, etwa Gravitation oder Reibung, kann den Bewegungszustand ändern. Innere Kräfte zwischen Teilen eines zusammengesetzten Körpers ändern dagegen nicht dessen Bewegung als Ganzes. Konstante Geschwindigkeit bedeutet nicht zwingend, dass gar keine Kräfte wirken: Mehrere Kräfte können sich aufheben. Dann herrscht Kräftegleichgewicht und die resultierende Kraft ist null.

Das Gesetz gilt bei einer Beschreibung in einem Inertialsystem. Das sind Koordinatensysteme, in denen jeder kräftefreie Massepunkt ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt. Daher dient das erste Axiom auch als Definition eines Inertialsystems. Eine gleichwertige Formulierung lautet: Wirkt auf einen Massenpunkt keine Kraft, bleibt sein Impuls konstant; der Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit.

Kraft, Impuls und Beschleunigung

Das zweite Newtonsche Gesetz heißt auch Aktionsprinzip oder Impulssatz. Newton verstand unter „Bewegung“ den Impuls. Formal beschreibt es den Zusammenhang zwischen resultierender äußerer Kraft und Impulsänderung: \vec F=\dot{\vec p}. \dot{\vec p} ist die zeitliche Änderungsrate des Impulses. Diese allgemeine Form gilt auch für Körper mit veränderlicher Masse, beispielsweise Raketen.

Bei zeitlich konstanter Masse folgt \vec F=m\dot{\vec v}=m\vec a, wobei \vec a=\dot{\vec v} die Beschleunigung ist. Diese Form wird Grundgleichung der Mechanik genannt. Leonhard Euler formulierte sie 1750 erstmals in dieser Form; für eindimensionale Bewegung gab Jakob Hermann sie bereits 1716 an.

In integraler Form gilt \int_{t_0}^{t_1}\vec F(t)\,\mathrm dt=\vec p_1-\vec p_0=\Delta\vec p. Das Kraft-Zeit-Integral, bei konstanter Kraft das Produkt aus Kraft und Einwirkungsdauer, heißt Kraftstoß. Eine parallele oder antiparallele Kraft ändert den Betrag des Impulses, eine rechtwinklige seine Richtung, eine schiefwinklige beides. Ist die resultierende Kraft null, folgt Impulserhaltung.

Wechselwirkung und Überlagerung von Kräften

Das dritte Newtonsche Gesetz, das Wechselwirkungs-, Gegenwirkungs- oder Reaktionsprinzip, lautet: Kräfte treten paarweise auf. Wirkt \vec F_{A\to B} von A auf B, so wirkt \vec F_{B\to A}=-\vec F_{A\to B} von B auf A. Diese beiden Kräfte sind kein Kräftegleichgewicht, denn sie greifen an verschiedenen Körpern an und heben sich deshalb nicht gegenseitig auf. In einem System aus mehreren Körpern ist die Vektorsumme der Kräfte zwischen den Körpern null.

Das Gesetz setzt eine unmittelbare, gleichzeitige gegenseitige Kraftwirkung voraus. Bei weit entfernten Körpern würde dies unverzügliche Fernwirkung erfordern. Nach spezieller und allgemeiner Relativitätstheorie ist das nicht immer anwendbar; erhalten bleibt die Impulserhaltung des Gesamtsystems aus Teilchen und Feld. Verzögerte Kraftübertragung durch Felder wirkt sich besonders bei relativ zueinander bewegten Körpern aus.

Nach dem Superpositionsprinzip addieren sich mehrere Kräfte vektoriell: \vec F_{\mathrm{res}}=\vec F_1+\vec F_2+\dots+\vec F_n. Newton beschrieb dies als Zusatz; später wurde es auch als viertes Newtonsches Gesetz bezeichnet. Das ältere Axiom vom Kräfteparallelogramm fasst zwei Kräfte zu einer resultierenden Kraft zusammen.

Die Grundgleichung anwenden

In \vec F=m\vec a ist bei mehreren wirkenden Kräften stets die resultierende Kraft, also ihre Vektorsumme, einzusetzen. Die Gleichung kann auf drei Arten genutzt werden:

• Sind Masse und gewünschte Beschleunigung bekannt, berechnet man die nötige Kraft.
• Sind die Kräfte und damit \vec F bekannt, folgt \vec a=\frac{\vec F}{m}. Bei konstanter Kraft ist auch die Beschleunigung konstant. Allgemein kann \vec F=\vec F(t,\vec x,\vec v) von Zeit, Ort und Geschwindigkeit abhängen. Dann entsteht eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; ihre tatsächliche Lösung ergibt sich aus einem Anfangswertproblem.
• Sind Kraft und verursachte Beschleunigung bekannt, folgt m=\frac{F}{a}. Waagen messen meist die Gewichtskraft, zeigen aber unter Annahme einer konstanten Fallbeschleunigung eine Masse an.

Beim freien Fall gilt wegen der gleichbleibenden Stärke des Gravitationsfelds \vec a=\frac{\vec F_G}{m}=\vec g.

Typische Anwendungen und Einordnung

Bei einer Last von 10,2 kg an einer festen Rolle wirken beispielhaft 100 N Gewichtskraft nach unten und 100 N Seilkraft nach oben. Die Kräfte heben sich auf: Die Last ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Lässt man das Seil los, fehlt die Seilkraft; die Last fällt mit a=\frac{F}{m}=g. Die Fallbeschleunigung hängt dann nicht von der Masse ab, wenn andere Kräfte vernachlässigt werden. Zieht ein Mensch am Seil nach unten, erfährt er nach dem dritten Gesetz eine gleich große Kraft nach oben. Auch die Erde erfährt zur Gewichtskraft des fallenden Körpers eine entgegengesetzte Kraft, ihre Beschleunigung ist wegen ihrer großen Masse nicht bemerkbar.

Beim horizontalen Federpendel wirkt für eine Auslenkung x nach dem Hookeschen Gesetz die rücktreibende Federkraft F=-Dx. Damit gilt m\ddot x(t)+Dx(t)=0. Die Bewegung ist periodisch: x(t)=\hat x\sin(\omega t+\varphi_0), mit \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}; Amplitude \hat x und Anfangsphase \varphi_0 folgen aus den Anfangsbedingungen.

Galileo Galilei erkannte zu Beginn des 17. Jahrhunderts das Trägheitsprinzip, René Descartes formulierte es 1644 eindeutig als allgemeines Prinzip. Newton verallgemeinerte es auf irdische und Himmelskörper und stellte die Gesetze als grundlegende Prinzipien einer „Rationalen Mechanik“ voran.