Fall mit Luftwiderstand

Grundidee und Vergleich zum freien Fall

Der Fall mit Luftwiderstand ist die Fallbewegung eines Körpers, bei der der Luftwiderstand verhindert, dass sich der Körper wie im idealisierten freien Fall bewegt. Beim freien Fall in Erdnähe und ohne Luftwiderstand nimmt die Geschwindigkeit im Mittel um 9,81 m/s pro Sekunde zu. Die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt; die Geschwindigkeit wächst linear mit der Fallzeit. Nach einer Sekunde beträgt sie 9,81 m/s (etwa 35 km/h), nach zwei Sekunden 19,62 m/s (etwa 71 km/h) und nach drei Sekunden 106 km/h.

Beim tatsächlichen Fallschirmsprung nimmt der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit zu. Deshalb entspricht die Beschleunigung zunächst ungefähr der Erdbeschleunigung, nimmt dann aber ab und wird nach etwa sieben bis zehn Sekunden null. In den ersten etwa 300 Höhenmetern gleichen sich Körpergewicht und Luftwiderstand so weit aus, dass eine typische Fallgrenzgeschwindigkeit von etwa 180 km/h erreicht wird. In stabiler Bauchlage mit abgespreizten Armen und Beinen („Spreadeagle“) fällt ein einzelner Springer bis ungefähr 55 m/s (etwa 198 km/h). Ein Kilometer Höhe wird dabei in weniger als 20 Sekunden durchfallen. Bei Tandemsprüngen wird wegen der höheren Geschwindigkeit ein kleiner Bremsschirm eingesetzt.

Eine senkrechte, pfeilförmige Haltung mit Kopf oder Füßen voran verringert Widerstandsbeiwert und Querschnittsfläche deutlich. In der relativ dichten unteren Atmosphäre werden dadurch Maximalgeschwindigkeiten knapp über 500 km/h erreicht. Ohne Luftwiderstand hätte ein Fallschirmspringer nach einer Minute theoretisch mehr als 2100 km/h erreicht. Tatsächlich erreichte Felix Baumgartner beim Sprung aus 39 km Höhe mehr als 1350 km/h und damit Überschallgeschwindigkeit.

Kräfte und angepasste Fallbeschleunigung

Für eine genaue Beschreibung des Falls in Luft müssen neben der Gewichtskraft der Auftrieb sowie je nach Geschwindigkeit Stokes- oder Newton-Reibung berücksichtigt werden. Bei kleinen Geschwindigkeiten und kurzen Fallstrecken kann der freie Fall jedoch als Näherung dienen, weil Reibung und Auftrieb dann kaum ins Gewicht fallen.

Der Auftrieb ist die Kraft des verdrängten Mediums auf den Körper. Er entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Masse und ist entgegengesetzt zur Gewichtskraft gerichtet. Er ist vernachlässigbar, wenn das Verhältnis der Dichten \rho_{\text{Körper}}/\rho_{\text{Medium}}\gg 1 gilt. Bei Luftballons in Luft oder Menschen im Wasser ist dies nicht der Fall.

Die Auftriebskraft lautet: F_{\mathrm A}=\rho_0 Vg=\rho_{\mathrm K}V\left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm K}}g\right)=m\left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm K}}g\right). Dabei ist V das Körpervolumen, \rho_{\mathrm K} die Körperdichte und \rho_0 die Dichte des verdrängten Mediums. Die Auftriebsbeschleunigung wird definiert als g_{\mathrm A}:=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm K}}g.

Für die Gesamtkraft ergibt sich: F=F_{\mathrm G}+F_{\mathrm A}=-mg+mg_{\mathrm A}=-m(g-g_{\mathrm A})=-m\tilde g. Die angepasste Fallbeschleunigung ist \tilde g:=g-g_{\mathrm A}=\left(1-\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm K}}\right)g. Damit lautet die Höhenfunktion analog zum freien Fall: z(t)=-\frac12\tilde g t^2+v_0t+z_0. Falls \rho_{\mathrm K}<\rho_0 gilt, kann \tilde g auch negativ sein.

Fall bei kleinen Geschwindigkeiten: Stokes-Reibung

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit und entgegengesetzt gerichtet. Sie lautet F_{\mathrm R}=-\beta v,\qquad \beta>0, mit dem Reibungskoeffizienten \beta. Für die vertikale Bewegung in z-Richtung gilt: m\ddot z=-mg-\beta\dot z beziehungsweise m\dot v=-mg-\beta v.

Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Veränderlichen gelöst werden. Mit der Anfangsbedingung v(0)=v_0 ergibt sich für die Geschwindigkeit: v(t)=-\frac{mg}{\beta}\left(1-e^{-\beta t/m}\right)+v_0e^{-\beta t/m}. Durch erneutes Integrieren und mit z(0)=z_0 erhält man die Höhe: z(t)=\left(v_0+\frac{mg}{\beta}\right)\left(\frac{m}{\beta}\right)\left(1-e^{-\beta t/m}\right)-\frac{mg}{\beta}t+z_0.

Für lange Zeiten stellt sich eine Grenzgeschwindigkeit ein. Sie beträgt beim freien Fall mit Stokes-Reibung: v_\infty=\lim_{t\to\infty}v(t)=-\frac{mg}{\beta}. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die zurückgelegte Strecke hängen in diesem Modell von der Masse des fallenden Körpers ab.

Fall bei turbulenter Strömung: Newton-Reibung

Ab einer bestimmten kritischen Geschwindigkeit geht die laminare Strömung in eine turbulente Strömung über. Die kritische Geschwindigkeit wird im Zusammenhang mit der Reynolds-Zahl betrachtet. Dann hängt der Luftwiderstand quadratisch von der Geschwindigkeit ab: F_W=kv^2,\qquad k>0. Für eine Bewegung nach unten mit v<0 lautet die Bewegungsgleichung: m\ddot z=-mg+kv^2 und damit m\dot v=-mg+kv^2.

Die Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typ und bei Kenntnis einer partikulären Lösung analytisch lösbar. Der stationäre Zustand ist die Grenzgeschwindigkeit: v(t\to\infty)=v_\infty=-\sqrt{mg/k}. Für |v_0|<|v_\infty| lautet die Geschwindigkeitslösung: v(t)=-v_\infty\tanh\left(\frac{gt}{v_\infty}-\operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right)\right). Dabei sind \tanh der Tangens hyperbolicus und \operatorname{artanh} der Areatangens hyperbolicus. Die Höhe ergibt sich durch Integration: z(t)=-\frac{v_\infty^2}{g}\ln\left(\sqrt{1-\frac{v_0^2}{v_\infty^2}}\cosh\left(\frac{gt}{v_\infty}-\operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right)\right)\right)+z_0. Hier bezeichnet \ln den natürlichen Logarithmus und \cosh den Cosinus hyperbolicus.

Da v^2 das Vorzeichen der Geschwindigkeit nicht enthält, muss eine Bewegungsumkehr im Reibungsterm ausdrücklich berücksichtigt werden. Die allgemeine Gleichung lautet: m\ddot z=-mg-\operatorname{sgn}(v)kv^2. Für Zeiten mit v(t)>0, also bei momentaner Bewegung nach oben, erhält man die Lösungen durch die Substitution k\rightarrow-k. Der Parameter k hängt von Körperform und Dichte des strömenden Mediums ab: k=\frac12c_{\mathrm w}A\rho. Dabei sind c_{\mathrm w} der Widerstandsbeiwert, A die Querschnittsfläche und \rho die Dichte des umgebenden Mediums.

Beispiel: Abbremsung eines Meteoroiden

Für einen kugelförmigen Meteoroiden werden Geschwindigkeit und Bremsbeschleunigung beim Eintritt in die Erdatmosphäre als Funktionen der Höhe über dem Erdboden betrachtet. Angenommen werden der Querschnitt A und die Masse m. Es wird reine Newton-Reibung verwendet; Effekte durch Überschall, Erhitzung der Luft und die Druckminderung bis nahe an das Vakuum werden vernachlässigt.

Mit zunehmender Höhe h(t) nimmt die Gravitationsbeschleunigung ab: a_{\mathrm{grav}}=-g\left(\frac r{r+h(t)}\right)^2, wobei r der Erdradius ist. Die Luftdichte folgt der barometrischen Höhenformel: \rho(h)=\rho_0e^{-\frac{Mg}{RT}h(t)}. Dabei ist \rho_0 die Luftdichte am Erdboden, M=0{,}02896\,\mathrm{kg\,mol^{-1}} die mittlere molare Masse der Atmosphärengase, R=8{,}314\,\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} die universelle Gaskonstante und T die absolute Temperatur.

Der Strömungswiderstand lautet: F_L=\frac12\rho(h)C_wAv^2(t). Die effektive Beschleunigung ist die Gravitationsbeschleunigung zuzüglich des Terms für die Bremswirkung: a_{\mathrm{eff}}=\ddot h(t)=a_{\mathrm{grav}}+\frac{F_L}{m}. Daraus folgt die Bewegungsgleichung: \ddot h(t)+g\left(\frac r{r+h(t)}\right)^2-\frac1{2m}\rho_0e^{-\frac{Mg}{RT}h(t)}C_wA\dot h^2(t)=0.

Für einen Eisenmeteorit mit dem Volumen V=1\,\mathrm{cm^3} und der Masse m=7{,}874\,\mathrm g wurde diese Gleichung numerisch gelöst. Betrachtet wurden Anfangsgeschwindigkeiten von 15 km/s, 25 km/s und 35 km/s. Der Körper wird jeweils im selben Höhenbereich abgebremst; eine größere Masse bei gleichbleibender Dichte verschiebt die Kurven lediglich nach links. Bei schnellen Meteoroiden können Beschleunigungen von 1 km/s² auftreten, was ungefähr der 102-fachen Erdbeschleunigung entspricht. Die dabei wirkenden Kräfte können den Körper in Fragmente zerreißen; wegen der hohen Reibungswärme kann er außerdem verglühen. Das entstehende Licht trägt zur Leuchterscheinung einer Sternschnuppe bei.