Geschwindigkeit

Grundbegriff und Definition

Die Geschwindigkeit gehört neben Ort und Beschleunigung zu den grundlegenden Begriffen der Kinematik, eines Teilgebiets der Mechanik. Sie beschreibt, wie schnell und in welcher Richtung ein Körper oder ein Phänomen, etwa ein Wellenberg, seinen Ort im Lauf der Zeit verändert. Deshalb ist die Geschwindigkeit als Vektorgröße durch Betrag und Bewegungsrichtung bestimmt. Ihr Formelzeichen ist meist der Geschwindigkeitsvektor 𝒗; für den Betrag wird 𝒗 ohne Vektorpfeil verwendet. Dieser Betrag heißt auch Tempo oder Bahngeschwindigkeit und ist eine skalare Größe.

Befindet sich ein Objekt zum Zeitpunkt t im Punkt A und zum späteren Zeitpunkt t + Δt im Punkt B, dann ist seine mittlere Geschwindigkeit über dieses Zeitintervall näherungsweise

𝒗(t) ≈ Δ𝒓/Δt.

Dabei ist Δ𝒓 = 𝒓(t + Δt) − 𝒓(t) = 𝒓_B − 𝒓_A der Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten. Er entspricht geometrisch der Sehne des Bahnabschnitts und gibt näherungsweise die Bewegungsrichtung an. Die exakte Momentangeschwindigkeit erhält man als Grenzwert:

𝒗(t) = lim(Δt → 0) [𝒓(t + Δt) − 𝒓(t)]/Δt = d𝒓/dt = ṙ.

Beim Grenzübergang geht die Richtung der Sehne in die Richtung der Tangente an die Bahnkurve über. Die Momentangeschwindigkeit zeigt daher in Tangentenrichtung. Ihr Betrag ist

v = |𝒗| = |d𝒓/dt|.

Berücksichtigt man nur die entlang der Bahn zurückgelegte Weglänge s, gilt für das Tempo v = ds/dt. Die Bahngeschwindigkeit ist dabei nicht allgemein gleich |ṙ|, also dem Betrag der Änderung des Abstandes vom Koordinatenursprung. Bei einer Kreisbewegung ist beispielsweise r konstant, v jedoch ungleich null und ṙ = 0.

Berechnung und typische Bewegungen

Die Durchschnittsgeschwindigkeit erhält man, indem man die gesamte zurückgelegte Strecke durch die gesamte verstrichene Zeit teilt. Dabei geht die zeitliche Veränderung der Geschwindigkeit verloren. Ein Auto, das 100 km in einer Stunde zurücklegt, hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. Es könnte aber entweder konstant 100 km/h gefahren sein oder eine Viertelstunde mit 200 km/h und drei Viertelstunden mit 66,7 km/h.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit. Fährt ein Auto je eine halbe Stunde mit 50 km/h und 100 km/h, beträgt sie 75 km/h. Werden dagegen zunächst 25 km mit 50 km/h und anschließend 25 km mit 100 km/h zurückgelegt, dauert der zweite Abschnitt nur eine Viertelstunde; die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt dann 66,7 km/h. Beim Merkur beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 47,36 km/s und schwankt auf seiner elliptischen Bahn zwischen 39 und 59 km/s.

Für einen bestimmten Bewegungsabschnitt heißt die Geschwindigkeit zu Beginn Anfangsgeschwindigkeit v₀. Sie ist eine Anfangsbedingung der Bewegungsgleichungen und beeinflusst unter anderem die Flugbahn beim senkrechten oder schrägen Wurf, die Reichweite von Schusswaffen und Raketen sowie die Gestalt einer Umlauf- oder Übergangsbahn. Beim Wurf spricht man auch von Abwurfgeschwindigkeit, bei einem Projektil von Mündungsgeschwindigkeit, bei einer Rakete von Brennschlussgeschwindigkeit und bei einem Raumflugkörper von Einschussgeschwindigkeit.

Die Endgeschwindigkeit oder Grenzgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt am Ende seiner Beschleunigung erreicht. Beim freien Fall wächst der Luftwiderstand mit der Fallgeschwindigkeit, bis er zusammen mit den anderen Kräften ein Kräftegleichgewicht bildet. Dann ist die Beschleunigung null. In der Technik kann End- oder Maximalgeschwindigkeit auch die durch Motorleistung und äußere Umstände begrenzte Höchstgeschwindigkeit eines Fahrzeugs bezeichnen.

Bei einer geradlinig gleichförmigen Bewegung bleiben Betrag und Richtung der Geschwindigkeit konstant. Das ist gleichbedeutend mit 𝒂(t) = 0; für eine eindimensionale Bewegung gilt v = s/t. Bei gleichmäßiger Beschleunigung bleiben Betrag und Richtung der Beschleunigung konstant. Bei Bewegung parallel zur Beschleunigung gilt

v(t) = a · t + v₀.

Bei einer Kreisbewegung heißt die Geschwindigkeit Umfangs- oder Bahngeschwindigkeit. Es gilt 𝒗 = 𝝎 × 𝒓. Bei gleichförmiger Kreisbewegung ist ihr Betrag konstant und beträgt v = 2πr/T, wobei r der Radius und T die Umlaufzeit ist.

Aus der Geschwindigkeit ergibt sich die Verschiebung durch Integration:

𝒓₂ − 𝒓₁ = ∫ₜ₁ᵗ² 𝒗(t) dt.

Die zurückgelegte Wegstrecke ist dagegen s = ∫ₜ₁ᵗ² |𝒗(t)| dt; bei konstanter Geschwindigkeit wird daraus s = v · (t₂ − t₁). Die Beschleunigung ist die erste Zeitableitung der Geschwindigkeit: 𝒂(t) = ṽ(t) = r̈(t). Umgekehrt gilt 𝒗(t) = 𝒗₀ + ∫₀ᵗ 𝒂(τ) dτ. Die zweite Zeitableitung der Geschwindigkeit ist der Ruck 𝒋(t) = v̈(t) = ȧ(t); aus dem Ruck erhält man die Geschwindigkeit durch zweifache Integration.

Für einen Körper der Masse m gilt im nichtrelativistischen Fall 𝒑 = m · 𝒗 für den Impuls und E_kin = ½mv² = p²/(2m) für die kinetische Energie. Diese Formeln gelten streng genommen nur für Geschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.

Einheiten und Messung

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s), im cgs-System Zentimeter pro Sekunde (cm/s); beide haben die Dimension L · T⁻¹. Als weitere gebräuchliche Einheiten werden Kilometer pro Stunde (km/h), Meilen pro Stunde (mph) und Knoten (kn) verwendet. Ein Knoten ist eine Seemeile pro Stunde. In der motorisierten Luftfahrt werden Vertikalgeschwindigkeiten oft in Fuß pro Minute angegeben. Die Bezeichnung „Stundenkilometer“ ist alltagssprachlich, wird in den Naturwissenschaften wegen der möglichen missverständlichen Einheitenzusammensetzung normalerweise nicht verwendet.

Die wichtigsten Umrechnungen lauten:

• 1 m/s = 3,6 km/h = 1,944 kn = 2,237 mph.
• 1 km/h = 0,2778 m/s = 0,5400 kn = 0,6215 mph.
• 1 kn = 0,5144 m/s = 1,852 km/h = 1,151 mph.
• 1 mph = 0,4469 m/s = 1,609 km/h = 0,8688 kn.

Die fett gedruckten Faktoren der ursprünglichen Umrechnungstabelle sind exakt; die übrigen Werte sind auf vier geltende Ziffern gerundet.

Die Mach-Zahl ist keine absolute Geschwindigkeit, sondern das Verhältnis der Geschwindigkeit zur lokalen Schallgeschwindigkeit. Diese hängt stark von der Temperatur, nicht aber vom Luftdruck ab. Die Mach-Zahl wird vor allem in der Luftfahrt verwendet, weil aerodynamische Effekte von ihr abhängen.

Geschwindigkeit lässt sich bestimmen, indem man entweder die Zeit für eine bekannte Wegstrecke oder die in einem bekannten Zeitintervall zurückgelegte Strecke misst. Beide Verfahren liefern zunächst eine Durchschnittsgeschwindigkeit; bei kurzen Intervallen oder nahezu gleichförmiger Bewegung kann daraus die Momentangeschwindigkeit ausreichend genau bestimmt werden. Beispiele sind die Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Hippolyte Fizeau und die Berechnung von Geschwindigkeiten aus GPS-Daten. Ein Tachometer bestimmt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs über die Drehzahl des Rades. Weitere Messverfahren nutzen geschwindigkeitsabhängige Effekte wie den Doppler-Effekt, den Impuls im ballistischen Pendel oder den Staudruck in einer Prandtlsonde.

Bezugssysteme und Relativität

Jede Geschwindigkeitsangabe ist relativ zu einem Bezugssystem zu verstehen. Ruht ein Körper in einem Bezugssystem, so bewegt er sich in einem anderen, das sich mit 𝒗 gegenüber dem ersten bewegt, mit der entgegengesetzten Geschwindigkeit −𝒗.

Je nach Koordinatensystem werden Geschwindigkeitskomponenten unterschiedlich bezeichnet. Im homogenen Schwerefeld heißen Komponenten parallel zur Fallbeschleunigung 𝒈 Vertikalgeschwindigkeiten, senkrechte Komponenten Horizontalgeschwindigkeiten. In Polarkoordinaten wird die Geschwindigkeit in Radialgeschwindigkeit 𝒗ᵣ längs des Ortsvektors und Umfangsgeschwindigkeit 𝒗⊥ senkrecht dazu zerlegt:

𝒗 = 𝒗⊥ + 𝒗ᵣ,

wobei 𝒗⊥ = 𝝎 × 𝒓 und 𝒗ᵣ = ṙ · 𝒓/|𝒓| gilt. Bei einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung ist die Radialgeschwindigkeit null; die Umfangsgeschwindigkeit entspricht dann der Tangential- beziehungsweise Bahngeschwindigkeit.

Im klassischen Beispiel fährt eine Straßenbahn mit 50 km/h. Bewegt sich ein Fahrgast gegenüber der Straßenbahn mit 5 km/h, beträgt seine Geschwindigkeit gegenüber einem ruhenden Beobachter 55 km/h in Fahrtrichtung oder 45 km/h entgegen der Fahrtrichtung. Nach dem Relativitätsprinzip gibt es jedoch kein physikalisch bevorzugtes Bezugssystem; der Begriff Absolutgeschwindigkeit wird daher spätestens seit der speziellen Relativitätstheorie vermieden.

In der klassischen Physik gelten Galilei-Transformationen, Geschwindigkeiten können vektoriell addiert werden und es gibt keine theoretische Obergrenze. Die spezielle Relativitätstheorie ersetzt dies durch Lorentz-Transformationen: Längen und Zeiten hängen vom Bewegungszustand des Beobachters ab, auch Gleichzeitigkeit ist relativ, und Geschwindigkeiten dürfen nicht einfach addiert werden. Körper und Informationen können sich nur mit Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die Lichtgeschwindigkeit c ist die höchstmögliche Geschwindigkeit, mit der sich die Wirkung einer Ursache oder Information ausbreiten kann; Körper mit Masse erreichen sie nicht.

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt c = 299792458 m/s. Relativistische Effekte werden erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten deutlich. Der Lorentz-Faktor weicht erst für v > 4,2 · 10⁷ m/s um mehr als ein Prozent ab; deshalb ist die klassische Mechanik auch für die schnellsten bisher gebauten Raumfahrzeuge eine äußerst präzise Näherung.

Viele Teilchen und Fluide

Bei einem System aus vielen Teilchen ist es meist nicht sinnvoll oder möglich, jedem Teilchen eine einzelne Geschwindigkeit zuzuordnen. Man verwendet deshalb eine Geschwindigkeitsverteilung. Sie gibt an, wie häufig bestimmte Geschwindigkeitsbereiche auftreten.

Für ein ideales Gas gilt beispielsweise die Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Die meisten Teilchen bewegen sich mit Geschwindigkeiten in der Nähe der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit, die durch das Maximum der Verteilung angezeigt wird. Sehr kleine und sehr große Geschwindigkeiten kommen ebenfalls vor, werden aber nur von wenigen Teilchen erreicht. Mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum zu höheren Geschwindigkeiten; mehr Teilchen erreichen dann hohe Geschwindigkeiten. Die Temperatur ist damit ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen. Geschwindigkeitsverteilungen helfen unter anderem, Transportphänomene wie die Diffusion in Gasen zu erklären.

Für ein Gas oder eine Flüssigkeit ergibt sich die mittlere Strömungsgeschwindigkeit aus der Volumenstromstärke Q = dV/dt und dem Strömungsquerschnitt A:

v_A = Q/A.

Die lokalen Geschwindigkeiten können jedoch stark verschieden sein. In einem idealen Rohr ist die Geschwindigkeit in der Mitte am größten und sinkt durch Reibung zur Wand hin bis auf null. Die Strömung wird daher als Vektorfeld beschrieben. Zeitlich konstante Geschwindigkeitsvektoren kennzeichnen eine stationäre Strömung; chaotisches Verhalten wird als turbulente Strömung bezeichnet. Die Reynoldszahl setzt die Strömungsgeschwindigkeit in Beziehung zu den Abmessungen des angeströmten Körpers und zur Viskosität des Fluids. Die Navier-Stokes-Gleichungen modellieren die Geschwindigkeitsvektoren eines Fluids und ihre Beziehung zu inneren und äußeren Kräften.

Geschwindigkeit von Wellen

Bei Wellen müssen mehrere Geschwindigkeitsbegriffe unterschieden werden. Die Auslenkungsgeschwindigkeit mechanischer Wellen heißt Schnelle; ein Beispiel ist die Schwingungsgeschwindigkeit der Luftteilchen in einer Schallwelle.

Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Punkt gleicher Phase fortbewegt. Sie lautet

vₚ = λ/T = ω/k,

wobei λ die Wellenlänge, T die Periodendauer, ω die Kreisfrequenz und k die Kreiswellenzahl sind. Die Bewegung von Wellenkämmen im Meer ist ein Beispiel für eine Phasengeschwindigkeit.

Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich ein ganzes Wellenpaket bewegt:

v_g = ∂ω/∂k.

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit stimmen nur selten überein, beispielsweise bei der Ausbreitung von Licht im Vakuum. Bei der Fortbewegung einer Schlange kann die Vorwärtsbewegung als Gruppengeschwindigkeit verstanden werden, während die Phasengeschwindigkeit der seitlichen Krümmungsstellen null ist.

Ist die Phasengeschwindigkeit einer Welle von ihrer Frequenz oder Kreiswellenzahl abhängig, spricht man von Dispersion. Dieser Effekt trägt unter anderem dazu bei, dass Licht verschiedener Wellenlängen in einem Prisma unterschiedlich stark gebrochen wird.