Freier Fall

Begriff und Bedeutung

Freier Fall ist in der klassischen Mechanik die Bewegung eines Körpers, auf den außer der Schwerkraft keine weiteren Kräfte wirken. Die Bahn hängt von Betrag und Richtung der Anfangsgeschwindigkeit ab. Beginnt ein Körper aus der Ruhe, fällt er senkrecht nach unten. Hat er eine Anfangsgeschwindigkeit v, die nicht in Richtung der Schwerkraft zeigt, entsteht eine Keplerbahn; bei nicht zu großer Geschwindigkeit nennt man sie Wurfparabel.

Nahe der Erdoberfläche kann der freie Fall oft als gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit g = 9,81 m/s² behandelt werden. Galileis Messungen zeigten, dass diese Bewegung im Schwerefeld der Erde unabhängig von Material, Masse und Form ist. Das ist der Inhalt des schwachen Äquivalenzprinzips.

In der allgemeinen Relativitätstheorie wählte Albert Einstein dagegen das Bezugssystem des frei fallenden Körpers als natürliches Bezugssystem. Dort wirkt keine Kraft auf den Körper; er ist schwerelos. Die im Bezugssystem der ruhenden Erde beobachtete Gravitationskraft gilt dann als Scheinkraft. Nach dem einsteinschen starken Äquivalenzprinzip fällt auch Licht: Im beschleunigt fallenden Bezugssystem breitet es sich geradlinig aus; dies wurde experimentell bestätigt.

Frühe Vorstellungen und Experimente

Aristoteles betrachtete im 4. Jahrhundert v. Chr. Körper in einem Medium wie Wasser. Schwere Körper sollten wegen ihrer „Schwere“ nach unten, leichte wegen ihrer „Leichtigkeit“ nach oben streben; „schwer“ und „leicht“ bedeuteten dabei größeres beziehungsweise kleineres spezifisches Gewicht als Wasser. Nach seiner Auffassung sinken schwerere Körper im gleichen Medium schneller, und die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional zum Widerstand des Mediums. Im leeren Raum müsste sie deshalb unendlich groß sein; ein Vakuum könne es folglich nicht geben.

Lukrez schrieb um 55 v. Chr. in De rerum natura, dass fallende Objekte nur durch den Widerstand des Mediums gebremst würden. Im Vakuum müssten daher alle Körper gleich schnell fallen. Straton von Lampsakos (340–268 v. Chr.) soll aus der Tropfenbildung von Wasser beim Fall von einem Dach bereits auf eine beschleunigte Bewegung geschlossen haben.

Giovanni Battista Benedetti folgerte 1554 mit einem Gedankenexperiment über einzelne und verbundene Kugeln, dass die Fallgeschwindigkeit nicht vom Quotienten aus Gewicht und Widerstand abhängen könne, sondern von der Differenz der spezifischen Gewichte von Körper und Medium. Im Vakuum müssten danach Körper gleicher Dichte gleich schnell fallen. Simon Stevin bestätigte 1586 für Luft durch ein Experiment: Zwei verschieden schwere Bleikugeln schlugen beim gleichzeitigen Fall aus etwa 10 m Höhe gleichzeitig auf. Das oft Galilei zugeschriebene Experiment am schiefen Turm von Pisa hat er wahrscheinlich nie ausgeführt.

Galileis Fallgesetze

Galileo Galilei widersprach in De motu antiquiora von etwa 1590 Aristoteles’ Annahme, die Fallgeschwindigkeit hänge vom Gewicht ab. Er vermutete schon, dass Körper im Vakuum ohne Luftwiderstand gleich schnell fallen. Nach Versuchen an der schiefen Ebene beschrieb er 1609 den freien Fall mathematisch richtig als gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Eine Kugel rollte dazu eine Fallrinne hinab, damit die Bewegung langsamer messbar war. Als Zeitmesser nutzte er unter anderem die Wassermenge, die während einer Wegstrecke aus einem Eimer floss, außerdem Puls und Gehör.

In Discorsi e dimostrazioni matematiche von 1638 fasste Galilei seine Ergebnisse zusammen: Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell, und ihre Bewegung ist gleichförmig beschleunigt. Die Fallgeschwindigkeit ist proportional zur Fallzeit, der Fallweg proportional zum Quadrat der Fallzeit. Am selben Ort ist die Beschleunigung für alle Körper gleich groß. Die Beobachtung, dass ein Ball in gleichen Zeitspannen jeweils um zwei Längen weiter fällt als zuvor, veranschaulicht dies: Die Gesamtstrecke wächst wie 1 + 3 + 5 + … .

Gravitation und Berechnung im homogenen Feld

Isaac Newton veröffentlichte 1687 in den Philosophiae Naturalis Principia Mathematica das Newtonsche Gravitationsgesetz. Damit lassen sich sowohl Umlaufbahnen von Monden und Planeten als auch der freie Fall auf der Erde erklären. Newton erklärte jedoch nicht weiter, warum die Gravitationskraft allen Körpern am selben Ort unabhängig von ihrer Beschaffenheit dieselbe Beschleunigung erteilt; eine tiefergehende Beschreibung entstand erst mit der allgemeinen Relativitätstheorie.

Im homogenen Feld fällt ein zunächst ruhender Körper senkrecht nach unten mit konstanter Fallbeschleunigung g. Zeigt die Koordinatenachse s nach unten und gelten am Start s = 0 sowie t = 0, sind g und die Geschwindigkeit v positiv. Es gilt:

v(t) = gt

s(t) = 1/2 gt²

Für eine Fallhöhe h folgen Fallzeit und Endgeschwindigkeit:

t(h) = √(2h/g)

v(h) = √(2gh)

Auf der Erde sind diese Formeln eine sehr gute Näherung, wenn Auftrieb, Luftreibung, die Zunahme der Gravitationskraft bei Annäherung an die Erde und die Corioliskraft durch die Erdrotation vernachlässigt werden. In Deutschland beträgt g etwa 9,81 m/s². Ein Sprung vom 5-m-Brett dauert rund eine Sekunde und führt zu etwa 10 m/s beziehungsweise 36 km/h beim Auftreffen. Aus 1 m Höhe werden 16 km/h, aus 3 m 28 km/h. In einem Fallturm mit gut 100 m nutzbarer Höhe sind freie Fallzeiten von über 4,5 s und Aufprallgeschwindigkeiten von knapp 160 km/h möglich. Ein Katapult, das den Probekörper zunächst mit dieser Geschwindigkeit nach oben schießt, verlängert die Schwerelosigkeit auf über 9 s.

Fall mit Widerstand

In Luft oder zäheren Medien wie Wasser oder Honig ist freier Fall nur näherungsweise erreichbar. Luftwiderstand verringert mit steigender Geschwindigkeit die weitere Beschleunigung, bis sich asymptotisch eine konstante Grenzgeschwindigkeit einstellt. Sie hängt von Masse und Form ab, insbesondere vom Verhältnis von Gewicht zu Querschnittsfläche. Deshalb fallen bei gleichem Material größere Kugeln, etwa Regentropfen, schneller als kleinere wie Nebeltröpfchen. Besonders klein ist die Grenzgeschwindigkeit bei leichten Körpern wie Staubkörnern oder bei großer Querschnittsfläche, etwa bei Laubblättern und Fallschirmen.

Eine Daunenfeder fällt bereits nach fünf Zentimetern sichtbar langsamer als ein Steinchen. Ein Löffel sinkt in Honig langsamer als im Wasser eines Schwimmbeckens. Ein Fallschirmspringer erreicht ohne geöffneten Schirm je nach Luftdichte grob 200 km/h oder in hohen, dünnen Atmosphärenschichten etwa Schallgeschwindigkeit. Kleinere Staubteilchen in Luft und feinere Sandkörner in Wasser sinken langsamer als jeweils größere; ihre Sedimentationsgeschwindigkeit hängt von verschiedenen Eigenschaften der Teilchen und des Fluids ab. Abweichungen vom freien Fall behandelt die Außenballistik.