Integralrechnung

Grundidee und Bedeutung

Die Integralrechnung bildet zusammen mit der Differentialrechnung die Infinitesimalrechnung, einen zentralen Teil der Analysis. Sie entstand aus dem Problem, Flächeninhalte und Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien oder Flächen begrenzt sind. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Unter dem Begriff Integral werden vor allem zwei Arten zusammengefasst: Das bestimmte Integral einer Funktion liefert eine Zahl, das unbestimmte Integral liefert eine Stammfunktion. Bei einer reellen Funktion f einer reellen Variablen x beschreibt das bestimmte Integral über ein Intervall [a,b] den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse. Die Zahlen a und b heißen Integrationsgrenzen. Flächen oberhalb der x-Achse werden positiv, Flächen unterhalb der x-Achse negativ gezählt. Diese Vorzeichenregel macht das Integral zu einer linearen Abbildung und ist wichtig für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Das unbestimmte Integral hängt mit der Ableitung zusammen: Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F'=f gilt. Integration und Differentiation sind in diesem Sinn Umkehrungen voneinander, aber die Integration ist schwieriger: Für elementare Funktionen gibt es keinen einfachen Algorithmus, der immer eine Stammfunktion findet. Häufig nutzt man Umformungen, Tabellen, Computerprogramme oder numerische Näherungsverfahren.

Bestimmtes Integral auf Intervallen

Für kompakte Intervalle betrachtet man Funktionen auf Intervallen der Form [a,b], also auf beschränkten und abgeschlossenen Intervallen. Ein zentrales Ziel ist die Berechnung krummlinig begrenzter Flächen. Wenn eine Fläche durch zwei stetige Funktionen f und g auf [a,b] begrenzt wird, kann ihr Flächeninhalt über Integrale als Differenz solcher Flächen berechnet werden. Deshalb genügt es oft, den Bereich zwischen dem Graphen einer Funktion, den Geraden x=a und x=b sowie der x-Achse zu betrachten.

Die Schreibweise lautet ∫_a^b f(x) dx, gelesen als „Integral von a bis b von f von x dx“. Dabei ist f der Integrand, x die Integrationsvariable, und dx heißt Differential. Die Integrationsvariable ist austauschbar; statt x kann man zum Beispiel t oder ξ verwenden, solange keine Verwechslung mit anderen Größen entsteht.

Wenn eine Funktion negative Werte annimmt, beschreibt das Integral nicht den gewöhnlichen Flächeninhalt, sondern einen orientierten Flächeninhalt. Hat f im Intervall Nullstellen, dann addiert das Integral die Flächenanteile oberhalb der x-Achse positiv und die darunter negativ. Soll der tatsächliche Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse berechnet werden, muss man das Integral an den Nullstellen aufteilen.

Axiomatisch lässt sich das Integral als Abbildung vom Raum integrierbarer Funktionen nach R auffassen. Wichtige Eigenschaften sind Linearität, Monotonie und die Festlegung, dass das Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalls dessen Länge ergibt. Daraus folgen Regeln wie: Aus f(x)≤g(x) folgt ∫_a^b f(x) dx≤∫_a^b g(x) dx. Für Treppenfunktionen ist das Integral die Summe der orientierten Rechtecksflächen: Ist [a,b] in Intervalle I_k der Längen L_k zerlegt und ist f dort jeweils konstant mit Wert c_k, dann gilt ∫a^b f(x) dx=∑{k=1}^n L_k·c_k.

Hauptsatz und Stammfunktionen

Eine Stammfunktion einer Funktion f ist eine Funktion F mit F'=f. Diese Umkehrung der Ableitung ist nicht eindeutig, weil sich Funktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden, beim Ableiten gleich verhalten. Ist F eine Stammfunktion von f und c∈R, dann ist auch F+c eine Stammfunktion. Auf einem Intervall unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion immer nur um eine Konstante.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet das bestimmte Integral mit Stammfunktionen. Ist f stetig auf [a,b] und F eine Stammfunktion von f, dann gilt ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a). Diese Formel ist die wichtigste Methode, um bestimmte Integrale exakt auszuwerten. Die Schwierigkeit besteht meistens darin, eine passende Stammfunktion zu finden. Theoretisch ist ihre Existenz für stetige Funktionen gesichert, denn die Integralfunktion F_a(x):=∫_a^x f(t) dt ist eine Stammfunktion von f.

Eine Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integral genannt. Häufig schreibt man unpräzise ∫ f(x) dx=F(x)+C, wobei C die Integrationskonstante ist. Damit wird ausgedrückt, dass alle Stammfunktionen die Form F(x)+C haben.

Berechnungsmethoden

Zur Bestimmung von Stammfunktionen gibt es mehrere Standardverfahren. Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel. Sie lautet ∫ f'(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) - ∫ f(x)·g'(x) dx. Sie ist hilfreich, wenn das neue Integral einfacher ist als das ursprüngliche. Im Artikel wird das Beispiel ∫ x ln(x) dx gerechnet; mit f'(x)=x und g(x)=ln(x) erhält man als Ergebnis x²/2 · (ln(x)-1/2).

Die Integration durch Substitution ist das Gegenstück zur Kettenregel. Sie erlaubt es, durch eine neue Variable die Form des Integrals zu ändern. Für φ(x)=f(g(x))·g'(x) und z=g(x) gilt bei passenden Voraussetzungen ∫a^b f(g(x))g'(x) dx = ∫{g(a)}^{g(b)} f(z) dz.

Bei gebrochenrationalen Funktionen helfen oft Polynomdivision oder Partialbruchzerlegung. Daneben gibt es spezielle Verfahren, bei denen man die besondere Form des Integranden ausnutzt. Für mehrfache Integration gibt die Cauchy-Formel für das n-te iterierte Integral I^n(x)=1/(n-1)! ∫_a^x (x-t)^{n-1} f(t) dt.

Wenn exakte Stammfunktionen schwer oder unmöglich zu finden sind, verwendet man numerische Integration, auch numerische Quadratur genannt. Beispiele sind die Trapezregel und die simpsonsche Formel, deren Spezialfall als keplersche Fassregel bekannt ist. Exakte Verfahren für bestimmte und uneigentliche Integrale nutzen unter anderem den Hauptsatz, den Residuensatz, Parameterintegrale, Reihenentwicklungen, partielle Integration oder Substitution. Ein wichtiges Beispiel für eine Funktion ohne elementare Stammfunktion ist e^{-x²}; Joseph Liouville bewies, dass sie keine elementare Stammfunktion besitzt.

Integralkonstruktionen und Erweiterungen

Im Laufe der Mathematik wurden verschiedene präzise Integralbegriffe entwickelt. Beim Cauchy-Integral werden Regelfunktionen betrachtet, also Funktionen, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lassen. Dazu gehören alle stetigen Funktionen, alle monotonen Funktionen, stückweise stetige Funktionen und Funktionen von beschränkter Variation.

Das Riemann-Integral nähert den Flächeninhalt durch Rechtecksummen an. Zu einer Zerlegung des Intervalls wählt man in jedem Teilintervall einen Funktionswert als Rechteckhöhe. Wählt man jeweils das Supremum, erhält man Obersummen; wählt man das Infimum, erhält man Untersummen. Wenn Ober- und Untersummen gegen denselben Grenzwert konvergieren, ist dieser Grenzwert das Riemann-Integral. Nicht Riemann-integrierbar ist zum Beispiel die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen auf [0,1], die Dirichlet-Funktion.

Das Stieltjes-Integral verallgemeinert die Idee, indem neben f eine monotone Funktion g oder eine Funktion endlicher Variation verwendet wird. Es entsteht aus Summen der Form ∑ f(x_i)(g(x_{i+1})-g(x_i)). Das Lebesgue-Integral ist ein moderner Integralbegriff über Maßräume. Es umfasst alle auf kompakten Intervallen Riemann-integrierbaren Funktionen mit demselben Wert, kann aber mehr Funktionen integrieren. Ein bekanntes Beispiel ist wieder die Dirichlet-Funktion: Sie ist Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar. In der modernen Mathematik meint Integrationstheorie häufig die Lebesgue-Theorie.

Uneigentliche Integrale erweitern das Riemann-Integral auf unbeschränkte Bereiche oder Funktionen mit Singularitäten. Weitere Verallgemeinerungen sind unter anderem Daniell-, Itō-, Stratonowitsch-, Gauge-, Henstock-Kurzweil-, McShane-, Bochner-, Birkhoff-, Pettis- und Haar-Integrale.

Anwendungen und höhere Dimensionen

Ein wichtiger Anwendungsfall ist der Mittelwert einer Funktion auf [a,b]. Er wird definiert durch m = 1/(b-a) ∫_a^b f(x) dx. Diese Formel verallgemeinert das arithmetische Mittel, indem man sehr viele gleichmäßig verteilte Funktionswerte betrachtet und den Grenzwert bildet.

Ein physikalisches Beispiel ist der freie Fall. Die Geschwindigkeit eines Körpers zur Zeit t ist v=g·t, wobei g die Erdbeschleunigung ist und in Mitteleuropa etwa 9,81 m/s² beträgt. Die zurückgelegte Strecke bis zur Zeit T ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit: l=∫_0^T g·t dt = g/2 · T². Allgemein gilt für den fallenden Körper im konstanten Schwerefeld l=g/2·t². Weitere Beispiele: Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit, elektrische Ladung das Integral des Stroms über die Zeit, und der Volumenstrom durch ein Rohr entsteht durch Integration der Strömungsgeschwindigkeit über den Querschnitt.

Der Integralbegriff lässt sich auf mehrdimensionale Bereiche erweitern. Wegintegrale integrieren entlang einer Kurve; für f≡1 erhält man die Länge einer Kurve. In der Physik verwendet man auch Wegintegrale vektorieller Funktionen mit Skalarprodukt. In der komplexen Funktionentheorie ist das bestimmte Integral grundsätzlich ein Wegintegral, weil zwei Punkte der komplexen Ebene durch verschiedene Wege verbunden werden können.

Oberflächen- und Volumenintegrale berechnen Flächeninhalte beziehungsweise Volumen, wenn f≡1 ist. Für mehrdimensionale Integrale erlaubt der Satz von Fubini, Integrale nach einzelnen Koordinaten aufzuteilen. Der Transformationssatz ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung der Substitutionsregel. Für Integrale über Mannigfaltigkeiten, also gekrümmte geometrische Räume, benutzt man Karten und Parametrisierungen. Wichtige Sätze sind der gaußsche Integralsatz, der ein Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes mit einem Oberflächenintegral verbindet, und der Satz von Stokes, der die Rotation eines Vektorfeldes mit einem Wegintegral über den Rand verknüpft.