Parabel (Mathematik)

Begriff und geometrische Definition

Eine Parabel ist eine Kurve zweiter Ordnung, also durch eine algebraische Gleichung zweiten Grades beschreibbar. Sie gehört neben Ellipse, Kreis und Hyperbel zu den Kegelschnitten. Beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene entsteht sie genau dann, wenn die Ebene parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft. Eine Parabel besitzt nur einen Brennpunkt; außerdem sind alle Parabeln zueinander ähnlich.

Die wichtigste geometrische Definition lautet: Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte P, deren Abstand d(P,F) von einem festen Brennpunkt F gleich ihrem Abstand d(P,l) von einer festen Leitlinie l ist. Als Punktmenge: {P | d(P,F) = d(P,l)}. Der Mittelpunkt zwischen Brennpunkt und Leitlinie heißt Scheitelpunkt S. Die Gerade durch Brennpunkt und Scheitel ist die Parabelachse und zugleich die einzige Symmetrieachse.

Für F = (0,f) mit f > 0 und die Leitlinie y = −f folgt aus der Abstandsbedingung y = x²/(4f). Der Halbparameter p ist p = 2f; er entspricht dem Abstand zwischen Brennpunkt und Leitlinie sowie dem Radius des Krümmungskreises im Scheitel. Damit lautet die Gleichung x² = 2py. Durch Vertauschen von x und y entsteht die nach rechts geöffnete Form y² = 2px.

Im Zusammenhang aller Kegelschnitte gilt y² = 2px + (ε² − 1)x² mit ε ≥ 0: ε = 0 ergibt einen Kreis, 0 < ε < 1 eine Ellipse, ε = 1 eine Parabel und ε > 1 eine Hyperbel. Die allgemeine Kegelschnittgleichung ist ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, wobei a, b und c nicht alle 0 sind. Welcher Kegelschnitt vorliegt, lässt sich durch eine Hauptachsentransformation aus Drehung und Verschiebung bestimmen.

Funktionsgleichungen und Darstellungen

Eine Parabel mit Scheitel (0,0) und y-Achse als Achse hat die Gleichung y = ax² mit a ≠ 0. Für a > 0 ist sie nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Ihr Brennpunkt ist (0,1/(4a)), ihr Halbparameter p = 1/(2a), ihre Leitlinie y = −1/(4a). Die Tangente im Punkt (x₀,ax₀²) lautet y = 2ax₀x − ax₀². Für a = 1 erhält man die Normalparabel y = x² mit Brennpunkt (0,1/4), Halbparameter 1/2 und Leitlinie y = −1/4.

Durch Verschiebung entsteht die Scheitelform y = a(x − x₀)² + y₀ mit Scheitel S = (x₀,y₀). Ausmultipliziert ergibt sie y = ax² + bx + c. Durch quadratische Ergänzung findet man den Scheitel S = (−b/(2a), c − b²/(4a)).

Jede Parabel ist zur Normalparabel ähnlich: Verschiebung und Drehung bringen ihren Scheitel in den Ursprung und ihre Achse auf die y-Achse; eine geeignete zentrische Streckung führt anschließend zu y = x². Das gilt in dieser Form nicht für beliebige Ellipsen oder Hyperbeln.

Allgemeiner ist jede Parabel ein affines Bild der Normalparabel. Für eine affine Abbildung x⃗ ↦ f⃗₀ + Ax⃗ mit regulärer Matrix A erhält man die Parameterdarstellung p⃗(t) = f⃗₀ + f⃗₁t + f⃗₂t². Dabei ist f⃗₀ ein Parabelpunkt, f⃗₁ dessen Tangentenvektor und die Achse parallel zu f⃗₂. Der Scheitelparameter ist t₀ = −(f⃗₁·f⃗₂)/(2f⃗₂²). Dieselbe Darstellung funktioniert mit Vektoren aus ℝ³ auch für Parabeln im Raum.

In Polarkoordinaten gilt für y² = 4fx: r(φ) = 4f cos(φ)/sin²(φ), wobei φ ∈ [−π/2,π/2] ohne 0. Liegt der Ursprung im Brennpunkt, lautet die Gleichung r(φ) = 2f/(1 − cos(φ)) mit φ ≠ 2πk.

Zentrale geometrische Eigenschaften

Die Brennpunkteigenschaft erklärt viele Anwendungen: Ein achsenparallel einfallender Strahl wird an der Tangente der Parabel so gespiegelt, dass er durch den Brennpunkt läuft. Umgekehrt werden vom Brennpunkt ausgehende Strahlen achsenparallel reflektiert. Diese Eigenschaft gilt auch für ein Rotationsparaboloid, das durch Drehung einer Parabel um ihre Achse entsteht.

Die Mittelpunkte aller zueinander parallelen Sehnen liegen auf einer Geraden, die parallel zur Parabelachse ist. Daraus ergibt sich eine Schrägspiegelung, welche die Endpunkte jeder solchen Sehne vertauscht und die Parabel auf sich abbildet. Bei Sehnen senkrecht zur Achse ist dies die gewöhnliche Spiegelung an der Parabelachse.

Zueinander orthogonale, also senkrechte Tangenten schneiden sich stets auf der Leitlinie. Der geometrische Ort solcher Schnittpunkte heißt orthoptische Kurve; bei der Parabel ist dies somit die Leitlinie.

Eine Pol-Polare-Beziehung ordnet für y = ax² einem Punkt P₀ = (x₀,y₀) die Gerade y = 2ax₀x − y₀ zu. Umgekehrt gehört zur Geraden y = mx + d der Pol (m/(2a),−d). Liegt der Pol auf der Parabel, ist seine Polare die Tangente. Liegt er außerhalb, sind die Schnittpunkte der Polaren mit der Parabel die Berührpunkte der beiden Tangenten durch den Pol. Für einen Pol innerhalb der Parabel gibt es keine solchen Schnittpunkte. Brennpunkt und Leitlinie sind zueinander polar.

Eine Fußpunktkurve besteht aus den Lotfußpunkten eines festen Pols auf den Tangenten einer Kurve. Nimmt man bei einer Parabel den Brennpunkt als Pol, ist die Fußpunktkurve genau die Scheiteltangente. Bei anderen besonderen Polen auf der Symmetrieachse entstehen Zissoiden, darunter die Zissoide des Diokles, die gerade Strophoide und die Trisektrix von Maclaurin.

Konstruktionen, Dualität und Bézierkurven

Die Leitliniendefinition ermöglicht eine Fadenkonstruktion: Ein Faden wird am Brennpunkt und an einem entlang der Leitlinie gleitenden rechten Winkel befestigt. Hält ein Stift den Faden gespannt an der Linealkante, gilt ständig |PF| = |PB|; beim Verschieben zeichnet der Stift daher einen Parabelbogen.

Punkte und Tangenten lassen sich außerdem mit affinen und projektiven Eigenschaften konstruieren. Bei der Steiner-Erzeugung werden ein Geradenbüschel durch den Scheitel und ein Büschel achsenparalleler Geraden projektiv einander zugeordnet. Die Schnittpunkte entsprechender Geraden liegen auf einer Parabel. Sind drei Parabelpunkte und die Achsenrichtung bekannt, kann mithilfe von Sekanten, Schnittpunkten und Parallelen ein weiterer Punkt konstruiert werden. Tangenten können ähnlich aus drei Punkten oder aus zwei Punkten und einer bereits bekannten Tangente gewonnen werden. Sind Brennpunkt und Leitlinie bekannt, folgt die Tangente auch als Winkelhalbierende aus der Brennpunkteigenschaft. Die Achsenrichtung erhält man etwa aus den Mittelpunkten zweier paralleler Sehnen oder aus zwei Punkten mit ihren Tangenten.

Die duale Parabel ist die Menge der Tangenten einer gewöhnlichen Parabel. Teilt man die Strecken P₀P₁ und P₁P₂ gleichartig, so sind die Verbindungsgeraden zugeordneter Teilpunkte Tangenten eines Parabelbogens. Dieser ist zugleich eine quadratische Bézierkurve mit Kontrollpunkten P₀, P₁ und P₂: c⃗(t) = (1−t)²p⃗₀ + 2t(1−t)p⃗₁ + t²p⃗₂, t ∈ [0,1]. Die Konstruktion entspricht den ersten Schritten des De-Casteljau-Algorithmus und wird im CAD-Bereich verwendet.

Für Parabeln y = ax² + bx + c bestimmen drei Punkte mit verschiedenen x-Koordinaten die drei Parameter eindeutig. Der Peripheriewinkelsatz für Parabeln verwendet als Winkelmaß zweier nicht vertikaler Geraden mit Steigungen m₁ und m₂ die Differenz m₁ − m₂. Vier Punkte liegen genau dann auf einer solchen Parabel, wenn die entsprechend gemessenen Winkel bei zwei der Punkte gleich sind. Daraus folgt eine 3-Punkte-Form, mit der sich die Gleichung der Parabel durch drei vorgegebene Punkte bestimmen lässt.

Anwendungen und Rechenverfahren

Parabolantennen und Parabolspiegel sammeln achsenparallel einfallende Strahlen im Brennpunkt. Wasserstrahlen, geworfene Steine und hüpfende Bälle bewegen sich bei vernachlässigten Reibungsverlusten näherungsweise auf Wurfparabeln, weil ihre Bewegung durch quadratische Funktionen beschrieben wird. In einem Flugzeug auf einer solchen Bahn entsteht Schwerelosigkeit; Parabelflüge dienen deshalb dem Astronautentraining.

In der Statik ist die Stützlinie eines über die Spannweite gleichmäßig belasteten Bogens eine Parabel. Deshalb besitzen zahlreiche Fachwerke, Bogenbrücken und Hängebrücken näherungsweise Parabelform, sofern Eigengewicht und Belastung passend verteilt sind. Eine frei hängende, nur durch ihr Eigengewicht belastete Kette bildet dagegen eine Kettenlinie. Sie wird durch cosh x beschrieben. Da cosh x = 1 + x²/2 + x⁴/24 + x⁶/720 + … gilt, liefern die ersten beiden Terme für kleine |x| eine parabelförmige Näherung.

Bei der numerischen Integration ersetzt die Simpsonregel einen Kurvenabschnitt durch einen Parabelbogen: ∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (b−a)/6 · (f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)). Eine feinere Unterteilung und mehr Parabelbögen verbessern die Approximation.

Die Normalparabel kann auch zur graphischen Multiplikation dienen. Für P = (a,a²) und Q = (b,b²) schneidet die Sekante PQ die y-Achse bei −ab. Trägt man einen Faktor mit umgekehrtem Vorzeichen ein, lässt sich das positive Produkt unmittelbar ablesen: Die Gerade durch (−3,9) und (2,4) schneidet die y-Achse bei 6 = 2·3.

Mit der Parabel y = 2x² ist außerdem eine exakte Winkeldrittelung möglich. Die Konstruktion führt auf 4x³ − 3x − cos(3α) = 0; wegen cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α) ist x = cos(α) eine Lösung. Dies widerspricht nicht der Unmöglichkeit der klassischen Winkeldrittelung, weil dabei nur Zirkel und Lineal, aber keine vorgegebene Parabel erlaubt sind.

Verallgemeinerungen und Einordnung

Parabeln treten als ebene Schnitte mehrerer Quadriken auf: elliptischer Kegel, parabolischer Zylinder, elliptisches und hyperbolisches Paraboloid sowie ein- und zweischaliges Hyperboloid. Eine Laguerre-Ebene beschreibt im klassischen Fall im Wesentlichen die Geometrie der Kurven y = ax² + bx + c einschließlich der Geraden; durch drei Punkte mit verschiedenen x-Koordinaten geht dort genau eine solche Verbindungskurve.

Nur Parabeln zweiten Grades sind Parabeln im üblichen Sinn und damit Kegelschnitte. Der Ausdruck „Parabel n-ter Ordnung“ bezeichnet allgemein den Graphen eines Polynoms n-ten Grades. Eine Parabel dritter Ordnung heißt kubische Parabel. Auch die Neilsche oder semikubische Parabel y² − a²x³ = 0 mit a > 0 beziehungsweise y = ±ax^(3/2) ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung und kein Kegelschnitt.

Über einem beliebigen kommutativen Zahlkörper K bleiben viele rechnerische und affine Eigenschaften von y = x² erhalten: Eine Gerade hat höchstens zwei Schnittpunkte; die Tangente in (x₀,x₀²) lautet y = 2x₀x − x₀². Unterschiede entstehen durch den Körper: Über ℚ ist y = 2 eine Passante, weil x² = 2 keine rationale Lösung hat. Über ℂ gibt es keine Passanten; y = −1 trifft die Parabel in (i,−1) und (−i,−1). In Charakteristik 2, also bei 1 + 1 = 0, haben Gleichungen x² = d höchstens eine Lösung; alle Tangenten y = x₀² sind dann parallel zur x-Achse.

Historisch wurden Kegelschnitte bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. von Menaichmos untersucht. Archimedes bestimmte im 3. Jahrhundert v. Chr. die Fläche eines Parabelsegments mit der Exhaustionsmethode. Apollonios von Perge prägte die Bezeichnung und untersuchte zahlreiche Eigenschaften. Galileo Galilei erkannte die parabelförmige Geschossbahn bei konstanter Fallbeschleunigung. Seit dem 17. Jahrhundert wurde die Wirkung von Parabolspiegeln untersucht; heute werden sie unter anderem in Spiegelteleskopen, Parabolantennen und Radarempfängern eingesetzt.