Schwerefeld

Definition und Bedeutung des Schwerefeldes

Ein Schwerefeld ist ein Kraftfeld, das durch das Zusammenwirken von Gravitation und Trägheitskräften, insbesondere der Zentrifugalkraft, entsteht. Seine Feldstärke heißt Schwere und wird mit dem Vektor g bezeichnet. Sie ist die auf die Masse bezogene Gewichtskraft eines Probekörpers, also dessen Beschleunigung. Die SI-Einheit lautet N/kg = m/s². Die Schwere wird auch Schwerebeschleunigung oder Fallbeschleunigung genannt und setzt beispielsweise einen frei fallenden Körper in Bewegung.

Der Vektor g besitzt einen Betrag und eine Richtung. Die Richtung heißt Lotrichtung, der Betrag wird auch Ortsfaktor genannt, weil g und damit das Gewicht eines Körpers vom Ort abhängen. In Deutschland beträgt die Fallbeschleunigung ungefähr 9,81 m/s² = 981 Gal; ihre Änderung über die Erdoberfläche liegt bei wenigen Gal. Linien, die der Lotrichtung folgen, heißen Lotlinien und sind Feldlinien des Schwerefeldes.

Im engeren, besonders geowissenschaftlichen Sinn setzt sich das Schwerefeld eines Himmelskörpers aus seinem Gravitationsfeld und der Zentrifugalbeschleunigung in einem mitrotierenden Bezugssystem zusammen. In nicht rotierenden Bezugssystemen der Himmelsmechanik wird häufig nur die Gravitation berücksichtigt. Allgemeiner kann auch in jedem beschleunigten Bezugssystem von einem Schwerefeld gesprochen werden. In einer Zentrifuge dominiert die Zentrifugalkraft. In einem frei fallenden Bezugssystem, etwa einer Raumstation, herrscht Schwerelosigkeit: Gravitation und Trägheitskraft sind entgegengesetzt gleich, nicht weil die Gravitation fehlt.

Zusammensetzung und räumliche Wirkung

Die Fallbeschleunigung ist die Vektorsumme aus Gravitations- und Zentrifugalanteil:

g⃗ = g⃗Gravitation + a⃗Zentrifugal.

Für einen kugelsymmetrischen Himmelskörper gilt nach dem Gravitationsgesetz:

g⃗Gravitation = −(GM/r²)e⃗r.

Dabei ist G die Gravitationskonstante, M die Masse des Himmelskörpers, r der Abstand zwischen seinem Schwerpunkt und dem Probekörper und e⃗r ein Einheitsvektor vom Schwerpunkt zum Probekörper. Bei einer nicht isotropen Massenverteilung entstehen Schwereanomalien. Die Zentrifugalbeschleunigung wirkt, weil sich ein Beobachter auf der Oberfläche in einem mitrotierenden Bezugssystem befindet. Gezeitenkräfte durch andere Himmelskörper, insbesondere Mond und Sonne, werden in diesem Artikel nicht zum Schwerefeld gerechnet; ob sie dazugehören, hängt von der Definition ab.

An einer Planetenoberfläche nimmt die Gravitationsbeschleunigung mit der Höhe nach gGravitation ∼ 1/r² ab. Wegen der Abplattung ist der Abstand zum Mittelpunkt an den Polen kleiner, sodass dort die Gravitationswirkung größer ist. Zugleich verschwindet an den Polen die Zentrifugalbeschleunigung, weil der Abstand von der Rotationsachse null ist. Am Äquator ist sie maximal und der Gravitation entgegengerichtet; außerdem ist dort der Abstand zum Mittelpunkt größer. Deshalb ist das Schwerefeld am Äquator am schwächsten.

Die Lotrichtung zeigt ungefähr zum Gravizentrum des Himmelskörpers. Abweichungen entstehen unter anderem, weil die Zentrifugalbeschleunigung in mittleren Breiten schräg zur Gravitation steht. Bei zunehmender Geschwindigkeit eines bewegten Körpers weicht die Richtung der wirksamen Beschleunigung von der Lotrichtung ab; dies kann als Wirkung der Corioliskraft gedeutet werden.

Schwerepotential und Geopotential

Flächen mit konstantem Schwerepotential heißen Äquipotentialflächen oder Niveauflächen. Lotlinien durchstoßen sie rechtwinklig. Beim Übergang zu einer höheren Niveaufläche muss Hubarbeit verrichtet werden. Die Wasseroberfläche in einem halb gefüllten Eimer ist ein Beispiel: Im stehenden Eimer ist sie eben, im rotierenden Eimer parabelförmig gekrümmt.

Da die Gewichtskraft konservativ ist, gilt für ein Potential U: g⃗(r⃗) = −∇⃗U(r⃗). In der physikalischen Geodäsie wird stattdessen W = −U verwendet und ebenfalls Schwerepotential genannt. Dadurch lautet die Beziehung g⃗(r⃗) = +∇⃗W(r⃗). Das Potential besteht aus einem Gravitations- und einem Zentrifugalanteil:

W(r⃗) = G ∭ ρ(r⃗′)/|r⃗ − r⃗′| d³r′ + ½(ω⃗ × r⃗)².

Der erste Summand ist das Gravitationspotential eines ausgedehnten Körpers mit der Dichteverteilung ρ(r⃗′). Für einen radialsymmetrischen Körper der Masse M vereinfacht es sich im Außenraum zu GM/r und verschwindet im Unendlichen. Der zweite Summand ist das Potential der Zentrifugalbeschleunigung; mit dem Abstand r⊥ von der Rotationsachse lautet er ½ω²r⊥² und verschwindet im Ursprung. Beide Summanden sind nicht negativ, daher nimmt W nur positive Werte an.

Das Schwerepotential der Erde heißt Geopotential. Eine wichtige Niveaufläche ist das Geoid mit W₀ ≈ W₀,conv = 62.636.856,0 m²/s². Dieser Wert heißt konventionelles Geoidpotential und wurde als bester Messwert des Jahres 1998 verwendet, unter anderem bei der Definition der Internationalen Atomzeit, durch den Internationalen Dienst für Erdrotation und Referenzsysteme sowie durch die IAU für die Terrestrische Zeit. Neuere Messungen ergeben einen um etwa 2,6 m²/s² kleineren Wert, entsprechend 26 cm Höhenunterschied.

Die geopotentielle Kote lautet C(P) = W₀ − Wₚ = −∫P₀ᴾ g⃗ · ds⃗ und wird in geopotentiellen Metern (gpm) angegeben. Durch Division durch die Normalschwere erhält man die dynamische Höhe. In mittleren Breiten entspricht sie ungefähr der metrischen Höhe über dem Meeresspiegel. Je größer die lokale Schwerebeschleunigung ist, desto kleiner ist der Abstand benachbarter Äquipotentialflächen.

Erdschwerefeld, Messung und Referenzsysteme

Große Himmelskörper nehmen unter dem Einfluss ihres Schwerefeldes eine Form an, die einer Niveaufläche entspricht. Auf der Erde folgt das Geoid ungefähr dem Meeresspiegel und ist durch die Zentrifugalbeschleunigung leicht abgeplattet. Normalschwereformeln berücksichtigen diese Abplattung und die Abnahme der Erdbeschleunigung mit der Höhe. Zusätzlich gibt es globale, regionale und lokale Schwereanomalien, weil die Massen in Gebirgen, Kontinentalplatten, Erdmantel und Erdkern nicht gleichmäßig verteilt sind. Die Satellitengeodäsie bestimmt das Geoid unter anderem durch die Beobachtung von Satellitenbahnen. Schwereanomalien erreichen ungefähr 0,01 % im Betrag und 0,01° in der Richtung. Zwischen Geoid und mittlerem Ellipsoid liegen bis zu 100 m.

Die Schwere kann direkt über die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers oder indirekt über die Schwingungsdauer eines Pendels bestimmt werden. Ein modernes Gravimeter ist eine spezielle Federwaage und erreicht eine Präzision von einem Mikrogal, etwa 10⁻⁹g. Damit kann auf der Erde eine Höhenänderung von weniger als einem Zentimeter registriert werden. Luftdruckschwankungen verändern über den Auftrieb die Messung in derselben Größenordnung. Gebirge und unterschiedliche Gesteinsdichten in der Erdkruste beeinflussen g um bis zu 100 Milligal; etwas schwächer wirken Gezeitenkräfte durch die Inhomogenität äußerer Gravitationsfelder, besonders von Mond und Sonne.

An der Erdoberfläche beträgt die Erdbeschleunigung ungefähr 9,81 m/s² und variiert wegen Zentrifugalkraft, Erdabplattung und Höhenprofil regional um einige Promille. Sie beträgt 9,832 m/s² an den Polen und 9,780 m/s² am Äquator. Die Anziehung ist an den Polen daher etwa 0,5 % größer. Eine Gewichtskraft von 800 N am Äquator entspricht an den Polen 804,24 N. Auf dem 6768 m hohen Nevado Huascarán in den Anden wurde 2013 mit 9,7639 m/s² der geringste Wert ermittelt.

1901 wurde auf der dritten Generalkonferenz für Maß und Gewicht die Normfallbeschleunigung gn = 9,80665 m/s² festgelegt. Sie entspricht dem Wert für 45° nördlicher oder südlicher Breite und Meereshöhe und diente unter anderem der Definition technischer Maßeinheiten nach DIN 1305.

Das Deutsche Hauptschwerenetz 1996 (DHSN 96) hielt die ortsabhängige Erdbeschleunigung in Deutschland fest. Es war die Fortsetzung des westdeutschen DHSN 82 und neben Hauptdreiecksnetz und Haupthöhennetz die dritte Größe zur eindeutigen Festlegung eines geodätischen Bezugssystems. Es beruhte auf etwa 16.000 Schwerefestpunkten. Der 1906 von Kühnen und Furtwänger am Potsdamer Geodätischen Institut bestimmte Wert von 9,81274 m/s² machte Potsdam zunächst zum Fundamentalpunkt. 1971 wurde das International Gravity Standardization Net eingeführt. Mit dem Integrierten Raumbezug wurde das DHSN 96 2016 durch das DHSN 2016 abgelöst.

Schwerefeld im Erdinneren und außerhalb der Erde

Wäre die Erde eine nicht rotierende, homogene Kugel, würde die Schwerebeschleunigung nach dem Newtonschen Kugelschalentheorem vom Wert null im Erdmittelpunkt linear bis zu einem Maximum an der Oberfläche ansteigen. Tatsächlich besitzt die Erde Schichten unterschiedlicher Dichte. Im Erdkern wächst die Schwerebeschleunigung zunächst ungefähr gleichmäßig mit dem Abstand vom Mittelpunkt. An der Kern-Mantel-Grenze in etwa 2900 km Entfernung vom Erdmittelpunkt, der Wiechert-Gutenberg-Diskontinuität, erreicht sie knapp 10,68 m/s². Der überwiegend metallische Erdkern ist mehr als doppelt so dicht wie Erdmantel und Erdkruste. Bis etwa 4900 km sinkt die Beschleunigung zunächst langsam auf 9,93 m/s², steigt bei 5700 km nochmals auf 10,01 m/s² und sinkt danach monoton bis auf etwa 9,82 m/s² an der Erdoberfläche.

In der Nähe der Erdoberfläche nimmt g pro zusätzlichem Meter Höhe um etwa 3,1 µm/s² ab. In der Meteorologie wird das Geopotential der Atmosphäre durch Äquipotentialflächen und für die Praxis durch Hauptdruckflächen wie 1000, 500 und 200 hPa beschrieben.

Außerhalb der Erde nimmt das Gravitationsfeld proportional zum Quadrat des Abstands vom Erdmittelpunkt ab. Bei gleichbleibender geografischer Länge und Breite wächst dagegen die Zentrifugalbeschleunigung proportional mit diesem Abstand. Das Schwerefeld ist prinzipiell unbegrenzt, wird aber schnell schwächer. In 300 bis 400 km Höhe sinkt die Erdbeschleunigung um 10 bis 15 %, in 5000 km um etwa 70 %. In knapp 36.000 km Höhe heben sich beide Einflüsse exakt auf; ein Satellit kann dort geostationär umlaufen und bleibt über demselben Längengrad. Der Einfluss anderer Himmelskörper ist in der Praxis nur im Nahbereich eines schweren Körpers vernachlässigbar, wo dessen Einfluss dominiert.

Schwerebeschleunigung von Himmelskörpern

Bei Sternen und anderen Gas- oder Plasmakörpern ist eine Sternoberfläche nicht eindeutig definiert. Ihre Oberflächenbeschleunigung hängt stark von Masse und Dichte ab. Wegen ihres viel größeren Radius besitzen Riesensterne eine kleinere Oberflächenbeschleunigung als die Sonne.

Da die Oberflächenbeschleunigungen über viele Größenordnungen schwanken, wird sie in der Astrophysik häufig als log g angegeben. Dazu wird g in cm/s² implizit durch 1 cm/s² geteilt und anschließend der dekadische Logarithmus gebildet. Für die Sonne gilt g ≈ 27.400 cm/s² und log g ≈ 4,44. Weitere Beispiele sind Beteigeuze als Roter Riese mit log g ≈ −0,6, Sirius B als Weißer Zwerg mit etwa 8 und Gliese 229 B als Brauner Zwerg mit etwa 5.

Die Rotation eines Himmelskörpers verringert seine Schwerebeschleunigung durch die entgegengerichtete Zentrifugalbeschleunigung. Ausgewählte Werte in m/s² sind:

• Sonne: Gravitation 274,0; Zentrifugalbeschleunigung −0,0057; Schwere 274,0.
• Merkur: 3,70; −3,75·10⁻⁶; 3,70. Venus: 8,87; −0,541·10⁻⁶; 8,87.
• Erde: 9,80665; −0,0339; 9,780. Mond: 1,622; −12,3·10⁻⁶; 1,622.
• Mars: 3,711; −0,0171; 3,69. Jupiter: 24,79; −2,21; 23,12.
• Io: 1,81; −0,007; 1,796. Amalthea: 0,02; −0,003; 0,017.
• Saturn: 10,44; −1,67; 8,96. Uranus: 8,87; −0,262; 8,69. Neptun: 11,15; −0,291; 11,00.
• Larissa: 0,0355; −0,00186; 0,0336. Pluto: 0,62; −154·10⁻⁶; 0,62.