Trajektorie (Physik)

Begriff und Bedeutung

Eine Trajektorie, auch Bahnkurve, Pfad oder Weg, ist in der Physik die Raumkurve, entlang der sich ein Körper oder ein Punkt bewegt. Ein solcher Punkt kann beispielsweise der Schwerpunkt eines starren Körpers sein. Bei makroskopischen Körpern wie einem Geschoss oder Ball heißt die Trajektorie auch Flugbahn.

Im erweiterten Sinn bezeichnet eine Trajektorie eine Kurve in einem n-dimensionalen Phasenraum. Ein Phasenraum stellt den Zustand eines Systems mithilfe mehrerer Größen dar. Ein Integral der Bewegung ist eine Größe, die entlang einer Trajektorie konstant bleibt. Solche Integrale erlauben Rückschlüsse auf den weiteren Bahnverlauf und helfen dabei, Bewegungsgleichungen zu lösen. Ein Beispiel ist die spezifische Bahnenergie bei Keplerbewegungen.

Mathematische Beschreibung

Unterliegt ein Körper Zwangsbedingungen, wird die Form seiner Trajektorie mathematisch durch die Kinematik beschrieben. So bewegt sich ein Pendel auf einem Kreisbogen.

Wirken auf einen Körper nur äußere Kräfte, ergeben sich seine möglichen Trajektorien als Lösungen von Differentialgleichungssystemen. Die Kinetik untersucht die Trajektorie als zeitabhängigen Verlauf des Ortes in einem Bezugssystem.

Nach dem Trägheitsgesetz ist die Trajektorie eines Körpers eine Gerade, wenn keine Kraft auf ihn wirkt oder wenn sich alle wirkenden Kräfte gegenseitig ausgleichen.

Typische Bahnen in Mechanik und Astronomie

Die Flugbahn einer vom Boden abgeschossenen Kanonenkugel oder einer ballistischen Rakete heißt ballistische Kurve. Beim schiefen Wurf hängt ihr Verlauf davon ab, ob keine Reibung, Stokes-Reibung oder Newton-Reibung berücksichtigt wird.

Ein natürlicher oder künstlicher Himmelskörper bewegt sich im Schwerefeld eines Zentralkörpers oder im freien Weltraum auf einer Keplerbahn. Geschlossene Bahnen im Sonnensystem oder in der Galaxis werden meist Umlaufbahnen genannt. In jedem Zentralfeld ist die Bahn eines Körpers aufgrund der Drehimpulserhaltung eine ebene Kurve. Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen, werden jedoch durch andere Planeten mehr oder weniger stark gestört. Eine Umlaufbahn kann gegenüber der Erdbahnebene, der Ekliptik, um einen Winkel i geneigt sein.

In einem homogenen magnetischen Feld bewegen sich geladene Teilchen auf spiralförmigen Bahnen, sogenannten Schraubenlinien, um die Magnetfeldlinien. Im bohrschen Atommodell werden Elektronenbahnen um den Atomkern als geschlossene Kreisbahnen dargestellt.

Trajektorien in Strömungen und Anwendungen

In einem Strömungsfeld sind Bahnlinien die Trajektorien einzelner Partikel. Eine Stromlinie zeigt dagegen die momentane Richtung der Strömung. Nur bei einer stationären, also zeitlich unveränderten Strömung stimmen Stromlinien und Bahnlinien überein.

In der Meteorologie beschreibt eine Trajektorie den Weg eines hypothetischen Luftpartikels. Rückwärtstrajektorien geben an, woher die Luft gekommen ist; Vorwärtstrajektorien zeigen, wohin sie sich bewegt.

Weitere Anwendungen sind:

• Im Straßenbau wird der Übergang zwischen einer Geraden und einer kreisförmigen Kurve häufig als Klothoide gestaltet.
• Im Rennsport ist die Ideallinie die Trajektorie eines fahrzeugfesten Punktes, auf der ein Streckenabschnitt mit der größten Geschwindigkeit befahren werden kann.
• In der Objektverfolgung wird die Trajektorie eines Objekts durch eine zeitliche Folge von Koordinaten während der Laufzeit dargestellt.
• Räuber-Beute-Beziehungen können durch die Lotka-Volterra-Gleichungen beschrieben werden.

Trajektorien chemischer Systeme

In der technischen Chemie dienen Trajektorien dazu, das dynamische Verhalten einer chemischen Reaktion darzustellen. Dazu verwendet man eine Zustands- oder Phasenebene, in der die momentane Konzentration c(t) über der Temperatur T(t) aufgetragen wird.

Die entstehende Trajektorie zeigt, wie sich Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorgangs gleichzeitig verändern. Entlang der Kurve schreitet die Zeit fort. Abhängig von den Startbedingungen und weiteren Variablen können solche Graphen beispielsweise spiralförmig sein.

Praktische Ermittlung und Grenzen

Bei sichtbaren Objekten lässt sich eine Trajektorie meist mit fotografischen Verfahren bestimmen, beispielsweise durch Photogrammetrie.

Für atomare oder subatomare Teilchen ist eine Trajektorie dagegen nur eine anschauliche Hilfsvorstellung, weil diese Teilchen durch die Quantenmechanik beschrieben werden müssen. Näherungsweise können ihre Bahnen in Blasen- oder Nebelkammern sichtbar gemacht werden. Eine indirekte Ermittlung ist außerdem mit Hodoskopen oder Drahtkammern möglich.