Scheitelpunkt

Grundidee

Scheitelpunkte, kurz Scheitel, sind in der Geometrie besondere Punkte auf Kurven. Bei einem Kegelschnitt, also einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel, sind sie die Schnittpunkte der Kurve mit ihren Symmetrieachsen. Zugleich sind es Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Bei einer regulären Kurve in der Differentialgeometrie heißt ein Punkt Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum besitzt, also ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über Existenz und Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven.

Für den Schulunterricht ist besonders der Scheitelpunkt einer Parabel wichtig. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ist die Parabel nach unten geöffnet, ist ihr Scheitelpunkt ein Hochpunkt, also ein lokales Maximum. Ist sie nach oben geöffnet, ist er ein Tiefpunkt, also ein lokales Minimum. Durch die Lage des Scheitelpunkts und den Streckfaktor ist der Graph einer quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Deshalb hilft die Bestimmung des Scheitelpunkts beim Zeichnen und Verstehen quadratischer Funktionen.

Scheitelpunkte bei Kegelschnitten

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts sind die Schnittpunkte der Kurve mit ihren Symmetrieachsen. Die Anzahl hängt von der Art des Kegelschnitts ab.

Eine Ellipse hat vier Scheitelpunkte: zwei Hauptscheitel und zwei Nebenscheitel. Eine Hyperbel hat zwei Scheitelpunkte. Eine Parabel hat nur einen Scheitelpunkt. Ein Kreis hat keinen expliziten Scheitelpunkt.

Scheitelpunktform

Jede quadratische Funktion kann in der Scheitelpunktform geschrieben werden:

f(x)=a(x−x_S)^2+y_S

Dabei sind x_S und y_S die Koordinaten des Scheitelpunkts. Deshalb heißt diese Darstellung auch Scheitelform oder Scheitelpunktform. Wenn eine quadratische Funktion bereits in dieser Form gegeben ist, kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen: S(x_S|y_S).

Beispiel: Die Funktion f(x)=2(x+2)^2+3 hat den Scheitelpunkt S(−2|3). Das liegt daran, dass x+2 als x−(−2) gelesen wird; daher ist x_S=−2 und y_S=3.

Allgemeine Form

Eine quadratische Funktion kann auch in der allgemeinen Form gegeben sein:

f(x)=ax^2+bx+c mit a≠0

Dann lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts:

x_S=−b/(2a), y_S=c−b^2/(4a)

Diese Formeln sind zentral, weil man damit den Scheitelpunkt direkt aus den Koeffizienten a, b und c berechnen kann.

Beispiel: Für f(x)=x^2−6x+4 gilt a=1, b=−6 und c=4. Damit ist x_S=−(−6)/(2·1)=3. Außerdem ist y_S=4−(−6)^2/(4·1)=4−36/4=−5. Der Scheitelpunkt ist also S(3|−5).

Herleitungen der Formeln

Die Formeln für den Scheitelpunkt können auf verschiedene Arten hergeleitet werden.

Eine Möglichkeit ist die Verschiebung der Normalparabel y=x^2. Diese hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung. Eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a, also y=ax^2, ändert die Lage des Scheitels nicht. Wird die Parabel um x_S in x-Richtung und um y_S in y-Richtung verschoben, erhält man (y−y_S)=a(x−x_S)^2. Ausmultiplizieren ergibt y=ax^2−2ax_Sx+a(x_S)^2+y_S. Der Vergleich mit y=ax^2+bx+c liefert b=−2ax_S und c=a(x_S)^2+y_S. Daraus folgt x_S=b/(−2a)=−b/(2a) und y_S=c−b^2/(4a).

Eine zweite Möglichkeit ist die Überführung in Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung. Aus f(x)=ax^2+bx+c wird durch Ausklammern von a und Umformen die Form a(x−(−b/(2a)))^2+c−b^2/(4a). Daraus liest man direkt x_S=−b/(2a) und y_S=c−b^2/(4a) ab.

Mit Differentialrechnung geht man davon aus, dass der Scheitelpunkt ein lokales Extremum ist. Für f(x)=ax^2+bx+c ist die Ableitung f'(x)=2ax+b. Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist f'(x)=0. Also gilt 2ax+b=0 und damit x_S=−b/(2a). Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung erhält man y_S=f(−b/(2a))=c−b^2/(4a).

Auch über Nullstellen kann man die x-Koordinate bestimmen. Hat die quadratische Funktion die Nullstellen x_1 und x_2, liegt der Scheitelpunkt wegen der Achsensymmetrie genau in deren Mitte: x_S=(x_1+x_2)/2. Mit der a-b-c-Formel für die Nullstellen ergibt sich daraus ebenfalls x_S=−b/(2a). Die y-Koordinate erhält man anschließend durch Einsetzen in die Funktionsgleichung. Wenn keine Nullstellen vorausgesetzt werden sollen, kann man f um c vertikal verschieben und g(x)=ax^2+bx=x(ax+b) betrachten. Diese Funktion hat die Nullstellen x_1=0 und x_2=−b/a; deren Mitte ist wieder x_S=−b/(2a).

Zeichnen einer Parabel

Wenn die Lage des Scheitelpunkts bekannt ist, lässt sich eine Parabel gut in ein Koordinatensystem einzeichnen. Ist sie weder gestaucht noch gestreckt, kann man dafür eine Parabelschablone verwenden. Bei gestauchten oder gestreckten Parabeln kann die Schablone ebenfalls verwendet werden, wenn das Koordinatensystem entsprechend skaliert wird.

Entscheidend ist: Der Scheitelpunkt gibt die Lage des Hochpunkts oder Tiefpunkts an, und der Faktor a beschreibt die Streckung oder Stauchung sowie die Öffnungsrichtung der Parabel. Zusammen bestimmen sie den Graphen einer quadratischen Funktion eindeutig.