Wendepunkt

Grundidee und Begriffe

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Die Kurve wechselt dort entweder von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve oder umgekehrt. Bei Funktionsgraphen ist die Bestimmung von Wendepunkten ein Teil der Kurvendiskussion.

Die x-Koordinate eines Wendepunkts heißt Wendestelle, oft mit x_W bezeichnet. Eine Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Verläuft diese Tangente horizontal, spricht man von einem Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt.

Ist eine Funktion f zweimal differenzierbar, beschreibt die zweite Ableitung f'' das Krümmungsverhalten: In Bereichen mit Linkskrümmung gilt f''(x)>0, in Bereichen mit Rechtskrümmung gilt f''(x)<0. An einer Wendestelle nimmt die Steigung f'(x) einen Extremwert an, also ein lokales Minimum oder Maximum.

Definition

Sei ]a,b[ ein offenes Intervall in R und f: ]a,b[ -> R eine stetige Funktion. f hat in x_0 einen Wendepunkt, wenn es Intervalle ]alpha,x_0[ und ]x_0,beta[ gibt, sodass entweder f links von x_0 strikt konvex und rechts von x_0 strikt konkav ist oder umgekehrt.

Strikt konvex entspricht anschaulich einer Linkskrümmung, strikt konkav einer Rechtskrümmung. In der Literatur wird manchmal nur konvex und konkav statt strikt konvex und strikt konkav gefordert. Dann hätten zum Beispiel die Graphen linearer Funktionen, also Geraden, an jeder Stelle einen Wendepunkt.

Kriterien für Funktionsgraphen

Die üblichen rechnerischen Kriterien gelten nur, wenn die Funktion hinreichend oft differenzierbar ist. Ein notwendiges Kriterium lautet: Ist f in einer Umgebung von x_W zweimal differenzierbar und ist x_W eine Wendestelle, dann gilt f''(x_W)=0. Dieses Kriterium allein reicht aber nicht aus, um einen Wendepunkt sicher nachzuweisen.

Ein hinreichendes Kriterium ohne dritte Ableitung lautet: Ist f in einer Umgebung von x_W zweimal differenzierbar und wechselt f''(x) an der Stelle x_W das Vorzeichen, dann ist x_W eine Wendestelle. Wechselt f'' vom Negativen ins Positive, liegt eine Rechts-links-Wendestelle vor. Wechselt f'' vom Positiven ins Negative, liegt eine Links-rechts-Wendestelle vor.

Ein weiteres hinreichendes Kriterium verwendet die dritte Ableitung: Ist f in einer Umgebung von x_W dreimal differenzierbar, gilt f''(x_W)=0 und f'''(x_W) != 0, dann ist x_W eine Wendestelle. Bei f'''(x_W)>0 hat f dort ein Minimum des Anstiegs, also eine Rechts-links-Wendestelle. Bei f'''(x_W)<0 hat f dort ein Maximum des Anstiegs, also eine Links-rechts-Wendestelle. Wenn f'''(x_W)=0 ist, entscheidet dieses Kriterium nicht.

Allgemeiner kann man höhere Ableitungen verwenden: Ist f in einer Umgebung von x_W n-mal differenzierbar, gilt f''(x_W)=...=f^(n-1)(x_W)=0 und f^(n)(x_W) != 0 mit n>2 und n ungerade, dann ist x_W eine Wendestelle. Anders gesagt: Beginnend mit der dritten Ableitung sucht man die erste von null verschiedene Ableitung; hat sie ungerade Ordnung n>2, liegt ein Wendepunkt vor.

Typisches Beispiel

Für f(x)=1/3x^3-2x^2+3x ist die zweite Ableitung f''(x)=2x-4. Eine mögliche Wendestelle muss f''(x)=0 erfüllen, also 2*x-4=0. Daraus folgt x=2.

Zur Bestätigung kann man die dritte Ableitung verwenden: f'''(x)=2, also f'''(2)=2 != 0. Damit liegt ein Wendepunkt vor. Dasselbe erkennt man auch am Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung: Für x<2 ist f''(x)=2x-4<0, für x>2 ist f''(x)=2x-4>0.

Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen: y_W=f(2)=1/32^3-22^2+32=2/3. Der Wendepunkt ist also (2|2/3). Für die Wendetangente berechnet man zuerst die Steigung mit f'(x)=x^2-4x+3. Es gilt m=f'(2)=2^2-42+3=-1. Mit y=mx+b und dem Punkt (2|2/3) folgt 2/3=(-1)*2+b, also b=8/3. Die Wendetangente lautet y=-x+8/3.

Besondere Fälle

Es gibt Wendepunkte, bei denen die üblichen Ableitungskriterien nicht direkt anwendbar sind. Der Graph der Funktion f(x)=(x-2)*e^{|x|} ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten von Rechts- zu Linkskrümmung. Die erste Ableitung existiert dort wegen eines Knicks nicht. Trotzdem hat die Funktion dort den Wendepunkt (0|-2).

Der Graph von x -> x|x|, also -x^2 für x<0 und x^2 für x>=0, hat bei x=0 zwar eine erste, aber keine zweite Ableitung. Gleichwohl liegt ein Wendepunkt vor.

Auch eine unendlich oft differenzierbare Funktion kann an einer Wendestelle alle Ableitungen gleich null haben. Das Beispiel ist x -> -e^{-1/x^2} für x<0, x -> 0 für x=0 und x -> e^{-1/x^2} für x>0. Der Graph besitzt bei x=0 einen Wendepunkt, obwohl dort sämtliche Ableitungen gleich null sind.

Allgemeinere Kurven

Der Begriff des Wendepunkts gilt auch für beliebige ebene Kurven. In der Differentialgeometrie beschreibt die vorzeichenbehaftete Krümmung, ob sich eine Kurve in die eine oder andere Richtung krümmt. Ein Wendepunkt liegt dort vor, wo sich das Vorzeichen dieser Krümmung umkehrt. In der Praxis sucht man zuerst mit notwendigen Kriterien mögliche Wendepunkte und prüft danach, ob die Krümmung wirklich ihr Vorzeichen ändert.

Für eine Kurve in Parameterdarstellung r(t)=(x(t),y(t)) mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen x und y ist eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt bei t_0: x'(t_0)*y''(t_0)-x''(t_0)*y'(t_0)=0. Dies entspricht einer Determinante aus ersten und zweiten Ableitungen nach dem Parameter t.

Für eine Kurve in Polarkoordinaten r=rho(phi), wobei rho zweimal stetig differenzierbar ist, lautet eine notwendige Bedingung: rho^2+2*(rho')^2-rho*rho''=0. Für eine implizit gegebene Kurve F(x,y)=0 mit zweimal stetig differenzierbarer Funktion F ist eine notwendige Bedingung, dass die angegebene 3x3-Determinante aus F_x, F_y und den zweiten partiellen Ableitungen F_xx, F_xy, F_yx, F_yy gleich 0 ist.