Stetige Funktion

Grundidee und Definition

Eine stetige Funktion ist eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts verursachen. Stetigkeit beschreibt damit ein verträgliches Verhalten ohne Sprünge und ist ein zentraler Begriff der Analysis und der Topologie. Viele in der reellen Analysis verwendete Funktionen sind stetig; insbesondere ist jede differenzierbare Funktion stetig.

Anschaulich wird Stetigkeit oft damit verbunden, den Graphen ohne Absetzen zu zeichnen. Diese Vorstellung ist jedoch nicht für alle Definitionsbereiche zuverlässig. Die Funktion

f(x) = x für x ≤ 1 und f(x) = x + 1 für x > 1

hat bei x = 1 eine Sprungstelle: Der Funktionswert springt von 1 auf 2. Sie ist nur an dieser Stelle unstetig und an allen anderen Stellen stetig.

Sei f: D_f → ℝ eine reelle Funktion mit D_f ⊆ ℝ. Die Funktion heißt stetig in x₀ ∈ D_f, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x ∈ D_f aus |x − x₀| < δ die Ungleichung |f(x) − f(x₀)| < ε folgt. Die erlaubte Änderung δ des Arguments darf dabei von ε, nicht aber von x abhängen.

Gleichwertig gilt nach der Grenzwertdefinition:

limₓ→x₀ f(x) = f(x₀).

Nach dem Folgenkriterium muss für jede Folge (aₙ) mit aₙ ∈ D_f und aₙ → x₀ auch f(aₙ) → f(x₀) gelten. Ist die Bedingung in jedem Punkt des Definitionsbereichs erfüllt, heißt f stetig oder überall stetig. Andernfalls ist x₀ eine Unstetigkeitsstelle.

Beispiele und Rechenregeln

Für die lineare Funktion f(x) = 2x + 3 gilt |f(x) − f(x₀)| = 2|x − x₀|.

Zu jedem ε > 0 kann daher δ(ε) = ε/2 gewählt werden. Aus |x − x₀| < ε/2 folgt |f(x) − f(x₀)| < ε. Da dieses δ nicht von x₀ abhängt, ist die Funktion auf ganz ℝ gleichmäßig stetig.

Stetig sind unter anderem alle Polynomfunktionen, gebrochen-rationalen Funktionen auf ihrem Definitionsbereich, Exponentialfunktionen x ↦ aˣ für festes a ∈ ℝᐩ, trigonometrische Funktionen, Logarithmusfunktionen und Potenzfunktionen. Auch die Betragsfunktion ist überall stetig, obwohl sie bei 0 nicht differenzierbar ist. Die Wurzelfunktion ist ebenfalls stetig, obwohl sie für einen Exponenten kleiner als 1 bei 0 nicht differenzierbar ist. Tatsächlich sind alle elementaren Funktionen stetig, jeweils auf ihrem Definitionsbereich.

Definitionslücken müssen dabei beachtet werden. Die Funktion f(x) = (2x − 1)/(x + 2) ist für D_f = ℝ \ {−2} definiert und dort überall stetig. Eine Stetigkeit bei x₀ = −2 wird nicht verlangt, weil −2 nicht zum Definitionsbereich gehört. Eine stetige Fortsetzung ist hier nicht möglich, da limₓ→x₀ |f(x)| = +∞ gilt.

Ist f in x₀ stetig und g in f(x₀) stetig, dann ist die Komposition g ∘ f in x₀ stetig. Sind f und g mit demselben Definitionsbereich in x₀ stetig, so sind auch f + g, f − g und f · g stetig. Falls g(x₀) ≠ 0 gilt, ist außerdem f/g stetig. Ebenso sind max(f,g) und min(f,g) stetig.

Ist f eine injektive, stetige reelle Funktion auf einem Intervall, so ist sie streng monoton. Ihre Umkehrfunktion ist auf dem Wertebereich ebenfalls stetig. Als weitere Beispiele für unstetige Funktionen nennt der Artikel die Vorzeichenfunktion, die nur bei 0 unstetig ist, die Dirichlet-Funktion, die in jedem Punkt unstetig ist, und die thomaesche Funktion, die genau in allen rationalen Zahlen unstetig ist. Es gibt außerdem Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind: die Bolzanofunktion und die in den 1860er Jahren bekannt gewordene Weierstraß-Funktion.

Wichtige Sätze und weiterführende Stetigkeitsbegriffe

Für eine stetige reelle Funktion f mit Definitionsbereich [a,b], wobei a,b ∈ ℝ und a < b gelten, gelten wichtige Sätze:

• Der Zwischenwertsatz besagt, dass f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt.

• Nach dem Satz vom Minimum und Maximum ist f beschränkt. Infimum und Supremum der Funktionswerte werden tatsächlich angenommen; es existieren also ein Minimum und ein Maximum. Der Satz liefert nur die Existenz dieser Extremwerte, nicht in der Regel ihr praktisches Auffinden.

• Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist f Riemann-integrierbar. Die Integralfunktion F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ist eine Stammfunktion von f.

• Der Satz von Heine besagt, dass f eine strengere Form des Epsilon-Delta-Kriteriums erfüllt. Diese Eigenschaft heißt gleichmäßige Stetigkeit.

Zusammen mit dem Zwischenwertsatz folgt aus dem Satz vom Minimum und Maximum, dass das Bild von f ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist; bei einer konstanten Funktion ist es eine einpunktige Menge.

Neben der gewöhnlichen, auch punktweise genannten Stetigkeit gibt es gleichmäßige Stetigkeit, lokale und globale Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit, absolute Stetigkeit und geometrische Stetigkeit. Gleichgradige Stetigkeit ist eine Eigenschaft einer Menge von Funktionen und spielt im Satz von Arzelà-Ascoli eine Rolle. Lipschitz-Stetigkeit wird unter anderem in Existenz- und Eindeutigkeitssätzen für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen, etwa im Satz von Picard-Lindelöf, und in der geometrischen Maßtheorie verwendet. Absolute Stetigkeit ist für Stochastik und Maßtheorie wichtig, geometrische Stetigkeit für geometrische Modellierung.

Mehrere Variablen und metrische Räume

Eine Funktion f: ℝⁿ → ℝ heißt in (x₁,…,xₙ) stetig, wenn für jede gegen diesen Punkt konvergierende Folge die Folge der Funktionswerte gegen f(x₁,…,xₙ) konvergiert. Sie heißt stetig, wenn dies in jedem Punkt des Definitionsbereichs gilt.

Stetigkeit in jedem einzelnen Argument bedeutet zunächst nur, dass bei Festhalten aller übrigen Argumente die entstehende Funktion einer Variablen stetig ist. Aus der Stetigkeit von f folgt die Stetigkeit in jedem Argument, aber die Umkehrung gilt nicht. Ein Gegenbeispiel ist

f(x,y) = 0 für x = y = 0 und f(x,y) = xy/(x² + y²) sonst.

Diese Funktion ist in beiden Argumenten stetig, aber nicht im Punkt (0,0) stetig. Für aₖ = (1/k, 1/k) gilt aₖ → (0,0), während f(aₖ) = 1/2 für alle k ∈ ℕ gilt. Die Bildfolge konvergiert daher nicht gegen den Funktionswert 0.

Für metrische Räume (X,d_X) und (Y,d_Y) heißt eine Abbildung f: X → Y stetig in x, wenn aus xₙ → x stets f(xₙ) → f(x) folgt. Sie ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist; diese Bedingung ist äquivalent zum Epsilon-Delta-Kriterium.

Eine Abbildung f = (f₁,…,fₘ): ℝⁿ → ℝᵐ ist genau dann stetig in x, wenn alle Komponentenabbildungen f₁,…,fₘ in x stetig sind. Für einen linearen Operator T: V → W zwischen normierten Vektorräumen gilt: T ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist, also wenn eine Konstante K existiert mit ‖T(x)‖ ≤ K‖x‖ für alle x ∈ V. Sind V und W Banachräume, kann häufig der Satz vom abgeschlossenen Graphen zum Nachweis der Stetigkeit verwendet werden.

Punktweise Konvergenz stetiger Funktionen erhält die Stetigkeit im Allgemeinen nicht. Auf [0,1] konvergiert fₖ(x) = xᵏ gegen die unstetige Funktion, die bei x = 1 den Wert 1 und sonst den Wert 0 besitzt. Bei gleichmäßiger oder lokal gleichmäßiger Konvergenz bleibt die Grenzfunktion dagegen stetig.

Stetigkeit in der Topologie und stetige Funktionenräume

In topologischen Räumen hängt die Stetigkeit nicht nur von der Funktion, sondern auch von den gewählten Topologien auf Definitionsbereich und Zielmenge ab. Für f: X → Y und ξ ∈ X lautet die Umgebungsdefinition: Für jede Umgebung U von f(ξ) gibt es eine Umgebung V von ξ, sodass f(V) ⊆ U.

Äquivalente Charakterisierungen sind:

• Die Urbilder offener Mengen sind offen: f ist stetig genau dann, wenn für jede offene Menge O in Y das Urbild f⁻¹(O) in X offen ist.

• Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

• Für jede Teilmenge A ⊆ X gilt f(Ā) ⊆ f(A)̄, wobei der Überstrich den Abschluss bezeichnet.

• Netze werden unter f in Netze verwandelt, die ihre Grenzwerte erhalten. Ein Netz ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge in X; Folgen sind spezielle Netze. In Räumen mit dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, insbesondere in metrischen Räumen, ist diese Bedingung gleichwertig mit Folgenstetigkeit.

Stetige Funktionen werden verkettet, und Einschränkungen stetiger Funktionen sind stetig. Bilder kompakter, zusammenhängender oder wegzusammenhängender Räume sind wieder kompakt, zusammenhängend beziehungsweise wegzusammenhängend. Stetigkeit in einem Punkt ist eine lokale Eigenschaft. Ein stetiger Weg ist eine stetige Funktion [0,1] → X; Wege werden unter anderem zur Definition von Kurvenintegralen, Wegzusammenhang und Fundamentalgruppe verwendet. Der Würfel [0,1]ⁿ kann für jedes n ∈ ℕ durch einen Weg vollständig ausgefüllt werden (Peano-Kurve).

Eine bijektive stetige Abbildung ist nicht automatisch ein Homöomorphismus. Ein Homöomorphismus ist eine bijektive Abbildung, deren Funktion und Umkehrfunktion stetig sind; gleichwertig kann man verlangen, dass beide offen oder beide abgeschlossen sind, oder dass die Funktion stetig und offen beziehungsweise stetig und abgeschlossen ist. Jede stetige Bijektion zwischen kompakten Hausdorff-Räumen ist ein Homöomorphismus.

Die Menge der stetigen Funktionen von X nach Y wird mit C(X,Y) oder C⁰(X,Y) bezeichnet. Für komplexwertige Funktionen schreibt man häufig C(X). Auf einem kompakten Raum sind stetige Funktionen beschränkt. Mit ‖f‖sup = supₓ∈X ‖f(x)‖Y erhält C(X,Y) die Supremumsnorm. Ist Y ein Banach-Raum, so ist auch C(X,Y) ein Banach-Raum. Für komplexwertige Funktionen ist C(X) eine kommutative, unitale -Algebra; C_b(X) der beschränkten stetigen Funktionen ist mit der Supremumsnorm eine kommutative, unitale C-Algebra.