Kurvendiskussion

Ziel und Grundschritte

Eine Kurvendiskussion untersucht den Graphen einer Funktion auf geometrische Eigenschaften: Definitionsbereich, Achsenschnittpunkte und Nullstellen, Symmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- oder Flachpunkte, Polstellen, Asymptoten und Verhalten im Unendlichen. Sie ermöglicht eine begründete Skizze und vor allem exakte Koordinaten sowie Beweise für Eigenschaften, die ein Funktionsplot nur näherungsweise oder innerhalb eines begrenzten Bildausschnitts zeigt. Sie ist nicht von der Auflösung eines Graphikprogramms abhängig und lässt sich ähnlich auch auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen.

Meist ist ℝ die Grundmenge. Der maximale Definitionsbereich enthält alle reellen x, für die f definiert ist. Bei Polynomfunktionen gilt D = ℝ. Bei gebrochen-rationalen Funktionen werden die Nullstellen des Nenners ausgeschlossen, etwa bei f(x) = 1/(x(x−3)): D = ℝ \ {0; 3}. Bei Wurzeln muss der Radikand mindestens 0 sein; für f(x) = √(25−x²) ist D = [−5; 5]. Für f(x) = ln(x+4) gilt D = ]−4; ∞[, weil das Logarithmusargument positiv sein muss.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen und erfüllen f(x) = 0. Der y-Achsenabschnitt ist (0|f(0)).

Symmetrie des Graphen

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt genau dann vor, wenn für alle passenden x gilt: f(−x) = f(x). Bei ganzrationalen Funktionen dürfen dann nur gerade Exponenten auftreten.

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt genau dann vor, wenn f(−x) = −f(x) gilt. Bei Polynomen kommen dann nur ungerade Exponenten vor.

Für eine vertikale Symmetrieachse x = x₀ lautet das Kriterium f(x₀−h) = f(x₀+h). Quadratische Funktionen sind achsensymmetrisch; ihre Symmetrieachse verläuft durch die x-Koordinate des Scheitels. Punktsymmetrie zum Punkt (x₀|y₀) liegt vor, wenn f(x₀−h)+f(x₀+h) = 2y₀ gilt, äquivalent zu f(x₀+h)−y₀ = y₀−f(x₀−h). Alle kubischen Funktionen sind punktsymmetrisch, ihr Symmetriezentrum ist der einzige Wendepunkt.

Extrempunkte und Monotonie

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. Für eine stetig differenzierbare Funktion liefern Lösungen von f′(x) = 0 mögliche Extremstellen. Dies ist nur notwendig: Bei f(x) = x³ gilt f′(0) = 0, aber (0|0) ist ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt. Außerdem erfasst diese Bedingung keine Extrema am Rand des Definitionsbereichs oder an nicht differenzierbaren Stellen.

Der f″-Test ist hinreichend: Aus f′(x₀) = 0 und f″(x₀) > 0 folgt ein relatives Minimum; aus f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0 ein relatives Maximum. Ist f″(x₀) = 0, sind weitere Ableitungen nötig. Die erste an dieser Stelle von 0 verschiedene Ableitung gerader Ordnung entscheidet über ein Extremum; ihr positives Vorzeichen zeigt ein Minimum, ihr negatives ein Maximum. Bei f(x) = x⁴ ist erst f⁽⁴⁾(0) = 24 ≠ 0 entscheidend. Es gibt seltene Fälle, in denen alle Ableitungen an einer Stelle 0 sind.

Alternativ prüft man den Vorzeichenwechsel von f′: Wechsel von negativ nach positiv bedeutet Minimum, von positiv nach negativ Maximum. Allgemein gilt f′(x) ≥ 0 beziehungsweise > 0 für steigende beziehungsweise streng steigende Funktionen; f′(x) ≤ 0 beziehungsweise < 0 für fallende beziehungsweise streng fallende Funktionen.

Wendungen, Lücken und Grenzverhalten

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph zwischen Links- und Rechtskrümmung wechselt. Dabei steht f″(x) > 0 für Linkskrümmung beziehungsweise einen nach oben offenen Konvexbogen und f″(x) < 0 für Rechtskrümmung beziehungsweise einen nach unten offenen Konkavbogen. Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist f″(x₀) = 0 eine notwendige Bedingung. Hinreichend ist f″(x₀) = 0 zusammen mit f‴(x₀) ≠ 0. Andernfalls muss f″ an x₀ sein Vorzeichen wechseln. Ein Wechsel von minus nach plus ist ein Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung, der umgekehrte Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung.

Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Zwar gilt dann f′(x₀) = 0 und f″(x₀) = 0, dies reicht aber nicht aus: x³ hat bei 0 einen Sattelpunkt, x⁴ nicht. f‴(x₀) ≠ 0 beweist einen Sattelpunkt. Allgemeiner liegt ein Wendepunkt vor, wenn die erste von 0 verschiedene Ableitung ungeraden Grades ist; bei geradem Grad liegt ein Extremum vor.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist p eine Polstelle, wenn das Nennerpolynom dort eine Nullstelle besitzt und das Zählerpolynom eine Nullstelle niedrigerer Ordnung oder keine besitzt. Haben Zähler und Nenner Nullstellen, deren Ordnung im Zähler mindestens so groß ist wie im Nenner, liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor. Für (x²−4)/(x−2) kann bei x = 2 der Faktor (x−2) gekürzt werden; für x ≠ 2 bleibt x+2. Eine solche Lücke liegt auch vor, wenn lim x→x₀ f(x) existiert und endlich ist.

Das Verhalten im Unendlichen wird durch lim x→∞ f(x) und lim x→−∞ f(x) untersucht. Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist die x-Achse Asymptote, wenn der Nennergrad größer ist als der Zählergrad; bei gleichem Grad eine zur x-Achse parallele Gerade. Ist der Zählergrad um 1 größer, gibt es eine schräge Asymptote; bei einem noch größeren Unterschied eine gekrümmte asymptotische Näherungskurve.

Beispiele und Einordnung im Unterricht

Für f(x) = 3x³−5x²+8 ist x = −1 die einzige reelle Nullstelle. Es gilt f′(x) = 9x²−10x und f″(x) = 18x−10. Deshalb liegt ein Hochpunkt bei (0|8) und ein Tiefpunkt bei (10/9|5 229/243). Aus f″(x) = 0 folgt x = 5/9; da f‴(x) = 18 ≠ 0, ist (5/9|6 236/243) ein Wendepunkt. Als Polynom ungerader Ordnung geht die Funktion für x → +∞ gegen +∞ und für x → −∞ gegen −∞.

Für f(x) = (x³−4x²+4x)/(4x²−8x+4) ist D = ℝ \ {1}. Die Nullstellen sind x = 0 und die doppelte Nullstelle x = 2. Bei x = 1 liegt eine Polstelle vor. Der Graph ist weder y-achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Mit f′(x) = (x−2)(x²−x+2)/(4(x−1)³) und f″(x) = (4−x)/(2(x−1)⁴) ergibt sich ein Tiefpunkt bei (2|0). Der Wendepunkt ist (4|4/9). Die senkrechte Asymptote lautet x = 1; durch Polynomdivision erhält man die schräge Asymptote a(x) = 1/4 x−1/2.

Seit spätestens den 1990er Jahren wird didaktisch diskutiert, ob Funktionsplotter die Kurvendiskussion überholt haben. Kritisiert wird ihr Routinecharakter; zugleich gilt sie als vergleichsweise sicher vorbereitbares Prüfungsthema. In zentralen Abiturprüfungen treten rein schematische Aufgaben daher selten auf. Häufiger werden Anwendungen und Zusammenhänge zwischen Ableitungsfunktion und Ausgangsfunktion geprüft.