Sattelpunkt

Begriff und Bedeutung

Ein Sattelpunkt, auch Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt genannt, ist bei einer Funktion einer Veränderlichen ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Der Graph wechselt dort sein Krümmungsverhalten, während seine Steigung null ist. Sattelpunkte sind unter anderem bei der Optimierung unter Nebenbedingungen mithilfe der Lagrange-Dualität wichtig.

Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher bezeichnet der Begriff einen kritischen Punkt, an dem die Funktion in unterschiedlichen Richtungen ein gegensätzliches Verhalten zeigt: In einer Richtung steigt sie, in einer anderen fällt sie. Ein solcher Punkt ist daher weder einfach ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.

Sattelpunkte bei Funktionen einer Veränderlichen

Für eine Funktion f: U → ℝ mit U ⊆ ℝ ist x₀ ein kritischer Punkt, wenn die erste Ableitung dort verschwindet:

f′(x₀) = 0.

Ist die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich null, liegt ein Extrempunkt und somit kein Sattelpunkt vor. Wenn die zweite Ableitung existiert, muss für einen Sattelpunkt daher gelten:

f″(x₀) = 0.

Diese Bedingung ist bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen notwendig, aber nicht hinreichend. So erfüllen beispielsweise bei f(x) = x⁴ die ersten beiden Ableitungen am Nullpunkt die Gleichungen f′(0) = 0 und f″(0) = 0, ohne dass dort ein Sattelpunkt vorliegt.

Eine hinreichende Bedingung lautet:

f′(x₀) = 0, f″(x₀) = 0 und f‴(x₀) ≠ 0.

Dann liegt bei x₀ ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente und damit ein Sattelpunkt vor. Ein einfaches Beispiel ist y = x³ mit dem Sattelpunkt (0,0).

Das Ableitungskriterium lässt sich verallgemeinern. Gilt für ein n ∈ ℕ

f′(x₀) = f″(x₀) = … = f^(2n)(x₀) = 0 und f^(2n+1)(x₀) ≠ 0,

so besitzt der Graph von f bei x₀ einen Sattelpunkt. Die ersten 2n Ableitungen verschwinden also, während die Ableitung ungerader Ordnung 2n + 1 nicht null ist. Auch dieses Kriterium ist nur hinreichend und nicht notwendig: An einem Sattelpunkt können sämtliche Ableitungen f^(n)(x₀) gleich null sein.

Polynom mit zwei Sattelpunkten

Bereits eine ganzrationale Funktion 5. Grades kann zwei Sattelpunkte besitzen. Ein Beispiel ist

f(x) = 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ − 20x² + 40x + 30.

Ihre erste Ableitung lautet

f′(x) = 10x⁴ + 20x³ − 30x² − 40x + 40 = 10(x + 2)²(x − 1)².

Damit hat f′ die beiden doppelten Nullstellen −2 und 1. Auch die zweite Ableitung

f″(x) = 40x³ + 60x² − 60x − 40

verschwindet an beiden Stellen. Für die dritte Ableitung gilt dagegen

f‴(x) = 120x² + 120x − 60

und

f‴(−2) = f‴(1) = 180.

Da die dritte Ableitung dort ungleich null ist, greift das hinreichende Kriterium. Die Funktion besitzt somit die beiden Sattelpunkte S₁(−2|−34) und S₂(1|47).

Sattelpunkte bei mehreren Veränderlichen

Für eine Funktion mehrerer Veränderlicher, also ein Skalarfeld F: U → ℝ mit U ⊆ ℝⁿ, liegt ein kritischer Punkt bei x⃗₀ vor, wenn der Gradient verschwindet:

∇F(x⃗₀) = 0.

Der Gradient fasst die partiellen Ableitungen zusammen; die Gleichung bedeutet daher, dass alle partiellen Ableitungen an x⃗₀ null sind. Ist außerdem die Hesse-Matrix indefinit, liegt ein Sattelpunkt vor. Die Hesse-Matrix enthält die zweiten partiellen Ableitungen. „Indefinit“ bedeutet hier, dass sie sowohl positive als auch negative Richtungen beziehungsweise Eigenwerte besitzt.

Im generischen Fall verschwindet die zweite Ableitung in keiner Richtung; gleichbedeutend damit ist die Hesse-Matrix invertierbar. Ist ein solcher Sattelpunkt an den Koordinatenachsen ausgerichtet, kann man ihn auch direkt über die Funktionswerte beschreiben. Ein Punkt (x*,y*) ∈ U ist dann ein Sattelpunkt von F, wenn es eine offene Umgebung V ⊆ U von (x*,y*) gibt, in der für alle (x,y) ∈ V eine der beiden Beziehungen gilt:

F(x,y*) ≤ F(x*,y*) ≤ F(x*,y)

oder

F(x*,y) ≤ F(x*,y*) ≤ F(x,y*).

Anschaulich fällt die Funktion beim Verlassen des Punktes in x-Richtung und steigt in y-Richtung, oder umgekehrt. Ist der Sattelpunkt nicht entlang der Koordinatenrichtungen ausgerichtet, ergibt sich diese Form nach einer Koordinatentransformation.

Sattelpunkte dieses generischen Typs gibt es in Dimension 1 nicht. Verschwindet dort die zweite Ableitung nicht, liegt automatisch ein lokales Maximum oder Minimum vor. Die eindimensionalen Beispiele entsprechen stattdessen degenerierten kritischen Punkten. Beispiele dafür sind der Nullpunkt bei f(x,y) = x² und bei f(x,y) = x² + y³: In beiden Fällen gibt es eine Richtung, in der die zweite Ableitung verschwindet, sodass die Hesse-Matrix nicht invertierbar ist.

Beispiel im zweidimensionalen Fall

Betrachtet wird die Funktion

F(x,y) = (1 − x²)(1 + ¼(y − 1)²)

auf der Menge {(x,y) ∈ ℝ × [0,∞)}. Sie hat bei (0,1) einen Sattelpunkt. Entlang der Geraden y = 1 gilt

F(x,1) = 1 − x² ≤ 1 = F(0,1).

Entlang der Geraden x = 0 gilt dagegen

F(0,y) = 1 + ¼(y − 1)² ≥ 1 = F(0,1).

Der Funktionswert nimmt somit in der einen Koordinatenrichtung ab und in der anderen zu.

Dasselbe Ergebnis liefert das Ableitungskriterium. Der Gradient ist

∇F(x,y) = [−2x(1 + ¼(y − 1)²), (1 − x²)(y − 1)/2],

sodass ∇F(0,1) = 0⃗ gilt. Die Hesse-Matrix lautet

H(x,y) = ((−2 − (y − 1)²/2, −x(y − 1)), (−x(y − 1), (1 − x²)/2)).

Am Punkt (0,1) ergibt sich die Diagonalmatrix

H(0,1) = ((−2,0), (0,½)).

Ihre Eigenwerte sind −2 und ½. Weil einer negativ und einer positiv ist, ist die Hesse-Matrix indefinit; damit ist (0,1) tatsächlich ein Sattelpunkt.

Verwendung bei Differentialgleichungen

Der Ausdruck „Sattelpunkt“ wird außerdem bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen verwendet. Die entsprechende Definition gehört zum Thema autonome Differentialgleichungen.