Intervall (Mathematik)

Grundidee und Begriffe

Ein Intervall ist in Analysis, Ordnungstopologie und verwandten Gebieten eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer total oder linear geordneten Menge, etwa ℝ. Zusammenhängend bedeutet hier: Sind zwei Objekte in der Teilmenge enthalten, so gehören auch alle Objekte der Trägermenge dazu, die zwischen ihnen liegen.

Ein beschränktes Intervall wird durch eine untere Grenze a und eine obere Grenze b bestimmt. Es enthält alle x zwischen diesen Grenzen. Die Grenzen können beide dazugehören, beide ausgeschlossen sein oder nur teilweise dazugehören. Falls die Differenz definiert ist, heißt b−a Intervalllänge oder Intervalldurchmesser. Falls ein arithmetisches Mittel definiert ist, heißt es Intervallmittelpunkt.

Wichtige Trägermengen sind die reellen, rationalen, ganzen und natürlichen Zahlen. In ℝ sind Intervalle genau die topologisch zusammenhängenden Teilmengen.

Schreibweise und beschränkte Formen

Eckige Klammern bedeuten, dass eine Grenze enthalten ist, und entsprechen ≤. Runde Klammern bedeuten, dass eine Grenze nicht enthalten ist, und entsprechen <. Alternativ werden für ausgeschlossene Grenzen nach außen gewendete eckige Klammern verwendet.

Für a<b gelten die grundlegenden Formen:

• [a,b] := {x∈ℝ | a≤x≤b}: abgeschlossen; beide Grenzen gehören dazu. Für b<a ist es leer.
• (a,b) = ]a,b[ := {x∈ℝ | a<x<b}: offen; keine Grenze gehört dazu.
• [a,b) = [a,b[ := {x∈ℝ | a≤x<b}: rechtsoffen; a gehört dazu, b nicht.
• (a,b] = ]a,b] := {x∈ℝ | a<x≤b}: linksoffen; b gehört dazu, a nicht.

[0,1] heißt abgeschlossenes Einheitsintervall, (0,1) offenes Einheitsintervall. Ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist. Nach der verwendeten Definition ist bei a>b jedes Intervall leer; in anderen Anwendungen können solche Fälle ausgeschlossen oder die Grenzen vertauscht werden.

Unbeschränkte Intervalle

Fehlt eine untere oder obere Schranke, ist das Intervall unbeschränkt. Die Symbole −∞ und ∞ dienen als Ersatzgrenzen, gehören aber nie selbst zum Intervall und stehen deshalb bei runden Klammern.

• (−∞,b] = ]−∞,b] := {x∈ℝ | x≤b}
• (−∞,b) = ]−∞,b[ := {x∈ℝ | x<b}
• [a,∞) = [a,∞[ := {x∈ℝ | a≤x}
• (a,∞) = ]a,∞[ := {x∈ℝ | a<x}
• (−∞,∞) = ]−∞,∞[ := ℝ

Die gesamte Menge ℝ ist die einzige nichtleere Teilmenge von ℝ, die zugleich offen und abgeschlossen ist. Als Trennzeichen zwischen den Grenzen können zur Vermeidung einer Verwechslung mit dem Dezimalkomma auch Semikolon oder selten ein senkrechter Strich benutzt werden, etwa (0;2,5] oder (0|2,5].

Beispiele und topologische Eigenschaften

In den natürlichen Zahlen ist {5,6,7,8,9} ein Intervall; die Elemente sind dort benachbart. Als Teilmenge von ℝ ist dieselbe Menge dagegen kein Intervall, weil sie beispielsweise die zwischen 6 und 7 liegenden nichtnatürlichen reellen Zahlen nicht enthält.

Ein Beispiel in ℝ ist [0,1] = {x∈ℝ | 0≤x≤1}. Es enthält alle Zahlen von 0 bis 1 einschließlich beider Endpunkte. Auch die leere Menge und eine Menge mit genau einem Element sind triviale Intervalle. Ohne solche Fälle spricht man von echten Intervallen.

In der Topologie sind offene Intervalle offene Mengen, abgeschlossene Intervalle abgeschlossene Mengen und halboffene Intervalle weder offen noch abgeschlossen.

Intervalle in mehreren Dimensionen und Verallgemeinerung

Für n∈ℕ ist ein n-dimensionales Intervall oder Hyperrechteck ein kartesisches Produkt I := I₁×…×Iₙ mit Intervallen I₁,…,Iₙ⊆ℝ. Für a=(a₁,…,aₙ) und b=(b₁,…,bₙ) in ℝⁿ besteht etwa das abgeschlossene Intervall [a,b] aus allen (x₁,…,xₙ), für die in jeder Koordinate aᵢ≤xᵢ≤bᵢ gilt. Beim offenen Intervall gilt überall aᵢ<xᵢ<bᵢ. Für [a,b) gilt aᵢ≤xᵢ<bᵢ, für (a,b] gilt aᵢ<xᵢ≤bᵢ.

Die Schreibweisen für ℝ lassen sich auf beliebige total geordnete Mengen übertragen. Bei Halbordnungen können Intervalle wegen fehlender Totalität oft leer sein. Bei Quasiordnungen enthalten sie gewöhnlich viel mehr Elemente: Mit der Quasiordnung für komplexe Zahlen a≤b genau dann, wenn |a|≤|b|, entstehen im Normalfall Kreisscheiben in der komplexen Ebene. In metrischen oder normierten Vektorräumen ergeben analoge Definitionen im Normalfall Kugelschalen oder Ähnliches.