Differenzierbarkeit

Grundidee und Ableitung in einer Variablen

Differenzierbarkeit bedeutet, dass sich eine Funktion in der Nähe eines Punktes eindeutig durch eine lineare Funktion annähern lässt. Sie ist ein Grundbegriff der Differentialrechnung.

Für eine Funktion f:D→ℝ auf einem offenen Intervall und x₀∈D ist f genau dann in x₀ differenzierbar, wenn der beidseitige Grenzwert

lim(x→x₀) (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = lim(h→0) (f(x₀+h)-f(x₀))/h

existiert. Er heißt Ableitung und wird f′(x₀) geschrieben. Gleichwertig gibt es eine Zahl m und einen Fehler r(h) mit f(x₀+h)=f(x₀)+m·h+r(h) sowie r(h)/h→0 für h→0. Dann ist m=f′(x₀). Der Fehler wird also im Vergleich zu h vernachlässigbar klein.

Geometrisch ist die lineare Näherung die nicht vertikale Tangente an den Graphen im Punkt (x₀,f(x₀)); f′(x₀) ist ihre Steigung. Die Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten. Differenzierbarkeit an einer Stelle impliziert dort Stetigkeit, aber Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit.

Regeln, typische Beispiele und höhere Ableitungen

Polynome sind überall differenzierbar. Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen differenzierbarer Funktionen sind wieder differenzierbar. Die Umkehrfunktion f⁻¹ einer bijektiven differenzierbaren Funktion ist bei y₀=f(x₀) genau dann differenzierbar, wenn f′(x₀)≠0. Auch lokal durch Potenzreihen darstellbare Funktionen sind differenzierbar. Für f(x)=x² gilt f′(x)=2x.

Nicht stetige Funktionen, etwa die Heaviside-Funktion bei 0, Treppenfunktionen oder die Dirichlet-Funktion, sind nicht differenzierbar. Die stetige Funktion √x auf [0,∞) ist bei 0 nicht differenzierbar, weil 1/√x gegen unendlich strebt; ihre Tangente ist dort vertikal. Bei f(x)=|x| sind die einseitigen Ableitungen in 0 f′₊(0)=1 und f′₋(0)=-1, daher fehlt wegen des Knicks die Ableitung. Die bei 0 mit 0 ergänzte Funktion x sin(1/x) ist stetig, aber dort nicht differenzierbar, weil sin(1/x) keinen Grenzwert besitzt. Die Weierstraß-Funktion Σ(k=1 bis ∞) 2ᵏsin(2ᵏx)/3ᵏ ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar; fast jeder Pfad eines Wiener-Prozesses hat dieselbe Eigenschaft.

Stetig differenzierbar heißt: f ist differenzierbar und f′ ist stetig. Differenzierbarkeit allein genügt nicht: Für f(x)=x²cos(1/x) bei x≠0 und f(0)=0 gilt f′(0)=0, aber die angegebene Ableitung 2xcos(1/x)+sin(1/x) ist bei 0 nicht stetig. Eine Funktion ist k-mal differenzierbar, wenn ihre Ableitung (k-1)-mal differenzierbar ist. Cᵏ(D) bezeichnet die Menge der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf D, C∞(D) die glatten, also unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Bei k-mal Differenzierbarkeit sind f bis f⁽ᵏ⁻¹⁾ stetig; f⁽ᵏ⁾ muss nicht stetig sein.

Komplexe Funktionen

Für f:U→ℂ auf einer offenen Menge U⊂ℂ heißt f im Punkt z₀ komplex differenzierbar, wenn

lim(h→0) (f(z₀+h)-f(z₀))/h = lim(z→z₀) (f(z)-f(z₀))/(z-z₀)

existiert. Der Grenzwert ist f′(z₀). Eine Funktion heißt in z₀ holomorph, wenn sie in einer Umgebung von z₀ komplex differenzierbar ist. Holomorphe Funktionen sind automatisch unendlich oft komplex differenzierbar und analytisch.

Mehrere Variablen: Ableitungsbegriffe und ihre Beziehungen

Für f:U→ℝ mit U⊂ℝⁿ offen gibt es unterschiedlich starke Begriffe. Die partielle Ableitung nach xᵢ entsteht, indem alle anderen Variablen festgehalten werden. Partielle Differenzierbarkeit fordert diese Ableitungen in allen Koordinatenrichtungen; sie gewährleistet nur Stetigkeit entlang der Koordinatenachsen, nicht die Stetigkeit der Funktion insgesamt.

Die Richtungsableitung in Einheitsrichtung v ist Dᵥf(a)=lim(h→0)(f(a+hv)-f(a))/h. Bei h↘0 erhält man die einseitige Richtungsableitung Dᵥ⁺f(a). Für die Standardbasis gilt ∂f/∂xᵢ(a)=Dₑᵢf(a).

Totale Differenzierbarkeit in a verlangt eine lineare Abbildung L:ℝⁿ→ℝ mit f(a+v)=f(a)+Lv+r(v) und r(v)/||v||→0 für ||v||→0. L=Df(a) heißt totale Ableitung oder Differential; ihre Matrix heißt Jacobi-Matrix. Totale Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit und liefert Dᵥf(a)=Df(a)v=Σ(i=1 bis n) ∂f/∂xᵢ(a)vᵢ.

Es gilt: stetige partielle Differenzierbarkeit ⇒ totale Differenzierbarkeit ⇒ Differenzierbarkeit in jede Richtung ⇒ partielle Differenzierbarkeit. Keine Umkehrung gilt. Insbesondere reichen alle Richtungsableitungen nicht aus, auch dann nicht, wenn v↦Dᵥf(a) linear ist. Polynome sowie Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen stetig differenzierbarer Funktionen sind stetig differenzierbar.

Gegenbeispiele und vektorwertige Abbildungen

Die Beispiele im ℝ² zeigen die fehlenden Umkehrungen. f₁(x,y)=2xy/(x²+y²) außerhalb von (0,0) und f₁(0,0)=0 hat in (0,0) beide partiellen Ableitungen 0, ist aber nicht stetig, denn f₁(t,t)=1. Richtungsableitungen außerhalb der Koordinatenachsen existieren nicht.

Für f₂(x,y)=2xy/√(x²+y²) außerhalb des Ursprungs, sonst 0, bestehen Stetigkeit, partielle Ableitungen und alle einseitigen Richtungsableitungen; außer in Koordinatenrichtungen fehlen jedoch beidseitige Richtungsableitungen. Auch f₃(x,y)=√(x²+y²) besitzt im Ursprung in jeder Richtung die einseitige Richtungsableitung 1, aber keine beidseitige und insbesondere keine partiellen Ableitungen.

Bei f₄(x,y)=(3x²y-y³)/(x²+y²) außerhalb des Ursprungs, sonst 0, existieren alle Richtungsableitungen, doch ihre Zuordnung zu Richtungen ist nicht linear. Bei f₅(x,y)=xy³/(x²+y⁴) außerhalb des Ursprungs, sonst 0, sind alle Richtungsableitungen 0 und damit linear, die Funktion ist aber nicht total differenzierbar: entlang v=(h²,h) wird r(v)/||v||→1/2 statt 0. Umgekehrt ist f₆(x,y)=(x²+y²)sin(1/(x²+y²)) außerhalb des Ursprungs, sonst 0, dort total differenzierbar mit Nullableitung, aber ihre partiellen Ableitungen sind nicht stetig.

Für F:U⊂ℝⁿ→ℝᵐ mit Komponenten F=(f₁,…,fₘ) gelten partielle, Richtungs-, totale und stetige partielle Differenzierbarkeit genau dann, wenn sie für alle Komponenten gelten. Bei totaler Differenzierbarkeit ist DF(a):ℝⁿ→ℝᵐ linear; seine Jacobi-Matrix besteht aus den partiellen Ableitungen ∂fᵢ/∂xⱼ.

Unendliche Dimensionen und Mannigfaltigkeiten

In unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten und somit keine partielle Differenzierbarkeit. Auf normierten Räumen entspricht die Gâteaux-Ableitung der Richtungsableitung: δF(a,v)=lim(τ→0)(F(a+τv)-F(a))/τ. Existiert sie für jedes v, ist v↦δF(a,v) positiv homogen; sie muss aber weder additiv beziehungsweise linear noch stetig sein. Für „Gâteaux-differenzierbar“ verwenden Autoren unterschiedliche Konventionen: Manche verlangen nur die Existenz aller Richtungsableitungen, andere zusätzlich Linearität und Stetigkeit.

Die Fréchet-Differenzierbarkeit verallgemeinert die totale Differenzierbarkeit. Für Banachräume V,W gilt F:U→W als Fréchet-differenzierbar in a, wenn es einen beschränkten linearen Operator L:V→W gibt mit F(a+h)=F(a)+Lh+r(h) und ||r(h)||/||h||→0. L heißt Fréchet-Ableitung. Fréchet-Differenzierbarkeit impliziert Gâteaux-Differenzierbarkeit mit derselben Ableitung, die Umkehrung gilt auch bei linearer und stetiger Gâteaux-Ableitung nicht.

Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird Differenzierbarkeit einer stetigen Abbildung F:M→N über ihre Kartendarstellungen ψ∘F∘φ⁻¹ zwischen offenen Teilmengen euklidischer Räume definiert. F ist von Klasse Cᵏ, wenn diese Darstellungen k-mal stetig differenzierbar sind, wobei k≤r für Mannigfaltigkeiten der Klasse Cʳ. Dies ist unabhängig von der Kartenwahl. Weitere Verallgemeinerungen sind schwache Ableitungen, Differenzierbarkeit im Sinne von Distributionen, die Radon-Nikodým-Ableitung und Subgradienten.