Tangente

Grundidee

Eine Tangente ist in der Geometrie eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Im Berührungspunkt haben Tangente und Kurve die gleiche Richtung. Dadurch ist die Tangente dort die beste lineare Näherung der Kurve.

Beim Kreis ist die Lage einer Geraden besonders einfach zu unterscheiden: Eine Sekante hat mit dem Kreis zwei Punkte gemeinsam, eine Tangente genau einen Punkt und eine Passante keinen Punkt. Eine Kreistangente berührt den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht in diesem Punkt senkrecht auf dem Berührungsradius, also auf dem Radius vom Kreismittelpunkt zum Berührungspunkt.

Allgemeiner steht die Tangente senkrecht auf dem Radius des Krümmungskreises zum Berührungspunkt, wenn ein solcher Krümmungskreis existiert. Eine Tangente kann die Ausgangskurve aber an weiteren Punkten schneiden. Wenn eine Gerade zwei Berührpunkte mit derselben oder einer anderen Kurve hat, heißt sie Bitangente.

Tangenten an Funktionsgraphen

Ist die Kurve der Graph einer reellen Funktion f, dann ist die Tangente t im Punkt P(x0|f(x0)) die Gerade, die dort dieselbe Steigung wie der Graph hat. Diese Steigung mt ist die erste Ableitung von f an der Stelle x0:

mt = f'(x0)

Die Tangentengleichung lautet:

y = f(x0) + f'(x0) · (x - x0)

Das ist die Punktsteigungsform. Zugleich beschreibt die Tangente die beste lineare Näherung der Funktion in der Nähe von x0:

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0) · (x - x0) für x ≈ x0

Meist kann eine Tangente nur existieren, wenn die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar ist. Differenzierbar bedeutet hier: Die Ableitung und damit eine eindeutige Steigung ist vorhanden. Ein Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion x ↦ |x|. Sie ist bei x = 0 nicht differenzierbar, weil der Graph dort einen Knick hat; es ist deshalb sinnlos, dort von einer Tangente zu sprechen.

Es gibt auch senkrechte Tangenten. Wenn eine Funktion an x0 zwar nicht differenzierbar ist, der Wert der Ableitungsfunktion für x → x0 dem Betrag nach aber gegen Unendlich strebt, hat der Graph dort eine Tangente parallel zur y-Achse. Diese Tangente ist keine lineare Funktion. Als Beispiel nennt der Artikel eine stückweise definierte Funktion mit x0 = 2,5:

f(x) = ∛(x - 2,5) für 2,5 ≤ x, f(x) = -∛(-(x - 2,5)) für x < 2,5.

Eine Wendetangente ist eine Tangente in einem Wendepunkt. Sie durchdringt den Funktionsgraphen: Der Graph wechselt von einer Halbebene bezüglich der Tangente in die andere. Trotzdem gilt der Punkt als Berührpunkt, weil Funktion und Gerade dort dieselbe Steigung haben.

Kurven im Raum

In der Differentialgeometrie werden Tangenten auch für Kurven im n-dimensionalen Raum beschrieben. Eine reguläre Kurve im R^n sei durch eine Funktion γ: [a,b] → R^n gegeben. Regulär bedeutet hier, dass die Ableitung nicht verschwindet: |γ'(t)| ≠ 0 für alle t ∈ [a,b].

Ist γ(t0) ein Punkt der Kurve mit t0 ∈ [a,b], dann heißt die erste Ableitung γ'(t0) Tangentialvektor. Ein Tangentialvektor gibt die Richtung der Kurve in diesem Punkt an. Eine Kurventangente in diesem Punkt ist die Gerade durch γ(t0), die dieselbe Richtung wie dieser Tangentialvektor hat.

Tangenten ohne Ableitungen

In der synthetischen Geometrie und in der endlichen Geometrie kann der Begriff Tangente ohne Ableitungen definiert werden. Entscheidend sind dort Inzidenzen, also Beziehungen wie „Punkt liegt auf Gerade“ oder „Gerade trifft Menge“.

Für eine quadratische Menge in einer projektiven Ebene ist eine Tangente eine Gerade, die mit dieser Menge genau einen Punkt gemeinsam hat oder ganz in ihr enthalten ist. Bei einem Oval in einer projektiven Ebene gibt es mit dieser Definition in jedem Punkt des Ovals genau eine Tangente. Außerdem hat keine Gerade mit dem Oval mehr als zwei Punkte gemeinsam.

Für eine projektive Quadrik über einer papposschen projektiven Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, gilt analytisch: Eine projektive Gerade ist genau dann Tangente der Quadrik, wenn der Koeffizientenvektor der Geraden die homogene quadratische Gleichung erfüllt, die die Quadrik als Punktmenge definiert.

Für die reelle euklidische Ebene, aufgefasst als affiner Ausschnitt der reellen projektiven Ebene mit Standardskalarprodukt, entspricht dies der Aussage: Der Gradient der Gleichung, die die Quadrik definiert, ist im Berührpunkt ein Normalenvektor der Tangente. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Geraden. Beim Kreis zeigt der Radius zum Berührpunkt zugleich in Richtung eines Normalenvektors der Tangente und in Richtung des Gradienten der Kreisgleichung.

Konstruktion an Parabel und Ellipse

Für eine Parabel beschreibt der Artikel eine Konstruktion am Beispiel y = 1/4 x^2. Zuerst zeichnet man die Parabel und ihre Symmetrieachse; ihr Schnittpunkt ist der Scheitel S. Der Brennpunkt F = (0, 1/(4a)) wird mithilfe des Koeffizienten a = 1/4 von x^2 bestimmt. Dabei ist FS = (1 · 4)/(4 · 1) = 1. Dann zeichnet man einen Kreis k um F mit Radius |PF|. Sein Schnittpunkt mit der Symmetrieachse ist A. Die Gerade durch P und A ist die Tangente t.

Der Nachweis nutzt die Brennpunkt-Leitlinien-Eigenschaft der Parabel: Ein Punkt P liegt auf der Parabel, wenn sein Abstand zur Leitlinie |Pl| gleich seinem Abstand zum Brennpunkt |PF| ist. Das Lot von P auf die Leitlinie l und die Verbindung von P mit F bilden wegen |Pl| = |PF| = |FA| eine Raute. Die Gerade durch P und A ist deshalb die Winkelhalbierende w und damit die Tangente in P.

Für eine Ellipse mit Brennpunkten F1 und F2 wählt man einen Punkt P auf der Ellipse. Dann zeichnet man eine Halbgerade von F2 durch P. Nach dem Verbinden von P mit F1 zeichnet man einen Kreis k1 um P mit Radius |PF1|; sein Schnittpunkt mit der Halbgeraden ist F'. Danach werden zwei weitere Kreise mit gleichem Radius gezeichnet: k2 um F' und k3 um F1. Ihr Schnittpunkt ist A. Die Gerade durch A und P ist die Tangente.

Der Nachweis beruht darauf, dass die Tangente im Punkt P die Winkelhalbierende des Winkels F1, P, F' ist. Die Kreise k2 und k3 bestimmen den Punkt A so, dass die Gerade durch A und P diesen Winkel halbiert. Daher ist diese Gerade die gesuchte Tangente im Punkt P.