Differentialrechnung

Grundidee und Definition

Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Sie untersucht lokale Veränderungen von Funktionen: Wie stark ändert sich der Funktionswert, wenn sich der Eingabewert um einen sehr kleinen Betrag ändert? Die Ableitung ist dabei zugleich die lokale Änderungsrate, die beste lineare Näherung und geometrisch die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen.

Für zwei Punkte beschreibt zunächst die Sekanten- oder Differenzensteigung die mittlere Änderung:

Δy/Δx = [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx.

Rücken die beiden Punkte immer näher zusammen, wird der Grenzwert des Differenzenquotienten betrachtet. Eine Funktion f ist an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn

f′(x₀) = limₕ→0 [f(x₀+h)−f(x₀)]/h

existiert. Dieser Grenzwert heißt auch Differentialquotient. Gleichwertig gibt es eine Konstante L, sodass

limₕ→0 [f(x₀+h)−f(x₀)−Lh]/h = 0.

Dann ist L=f′(x₀), und die Linearisierung lautet g(x)=f(x₀)+L(x−x₀). Eine differenzierbare Funktion ist stetig; die Umkehrung gilt nicht. Es gibt sogar Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind.

Bei einer linearen Funktion f(x)=mx+c ist die Ableitung überall m; eine konstante Funktion hat die Ableitung 0. Bei nichtlinearen Funktionen ändert sich die Steigung von Punkt zu Punkt. Die Ableitung f′ ordnet jeder Stelle die dortige Tangentensteigung zu. Übliche Schreibweisen sind f′(x), df/dx, Df oder Dₓf(x). Nach der Zeit abgeleitet bedeutet die Ableitung eine momentane Änderungsrate: Aus einer Weg-Zeit-Funktion s(t) wird die Momentangeschwindigkeit v=ds/dt, aus dieser durch nochmalige Ableitung die Beschleunigung. Im Artikel beträgt die Geschwindigkeit des beschriebenen Autos bei t=25 Sekunden ungefähr 7,6 m/s beziehungsweise 27 km/h.

Berechnung und wichtige Regeln

Zur Berechnung wird der Grenzwert des Differenzenquotienten meist nur bei elementaren Funktionen direkt hergeleitet. Für f(x)=x² ergibt sich

[(x+h)²−x²]/h = 2x+h → 2x,

also f′(x)=2x. Allgemein gilt für natürliche Zahlen n: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹. Ein konstanter Summand verschwindet beim Ableiten, ein konstanter Faktor bleibt erhalten.

Wichtige elementare Ableitungen sind:

• (eˣ)′=eˣ und (aˣ)′=aˣ ln a für a>0;
• (ln|x|)′=1/x sowie (logₐ|x|)′=1/(x ln a) für x≠0;
• (sin x)′=cos x und (cos x)′=−sin x;
• (tan x)′=1/cos²x=1+tan²x und (cot x)′=−1/sin²x=−1−cot²x;
• (arcsin x)′=1/√(1−x²) und (arccos x)′=−1/√(1−x²) für |x|<1;
• (arctan x)′=1/(1+x²) und (arccot x)′=−1/(1+x²);
• (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ auch für reelle n bei x>0, insbesondere (√x)′=1/(2√x).

Für Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen gelten die Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel:

(u·v)′=u′v+v′u, (u/v)′=(u′v−v′u)/v², (u(v(x)))′=u′(v(x))·v′(x).

Die Umkehrregel lautet (f⁻¹)′(y)=1/f′(f⁻¹(y)). Beispielhaft wird f(x)=(1+sin 2x)² schrittweise zerlegt; mit der Kettenregel erhält man f′(x)=4(1+sin 2x)cos 2x.

Ist eine Funktion mehrfach differenzierbar, heißen die weiteren Ableitungen zweite, dritte oder höhere Ableitungen: f″, f‴ beziehungsweise f⁽ⁿ⁾. Bei einer Wegfunktion sind sie Beschleunigung und Ruck. Für Produkte gilt die Leibniz-Regel (fg)⁽ⁿ⁾=Σₖ₌₀ⁿ (n über k) f⁽ᵏ⁾g⁽ⁿ⁻ᵏ⁾; die Formel von Faà di Bruno verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Approximation, Anwendungen und zentrale Sätze

Die Differentialrechnung wird zur Linearisierung, zur Modellbildung und zur Untersuchung von Funktionen verwendet. Eine lokale Extremstelle kann bei einer differenzierbaren Funktion nur dort liegen, wo f′(x₀)=0; diese Bedingung ist aber nicht hinreichend, weil auch ein Sattelpunkt eine waagerechte Tangente besitzen kann. Im Beispiel

f(x)=⅓x³−2x²+3x= x/3·(x−3)²

ist f′(x)=(x−1)(x−3). Die einzigen waagerechten Tangenten liegen bei x=1 und x=3; mit f(1)=4/3 und f(3)=0 ergeben sich der Hochpunkt (1,4/3) und der Tiefpunkt (3,0). Weitere Ableitungen helfen bei der Untersuchung von Wende- und Sattelpunkten, Konvexität und Monotonie.

Bei der Modellierung wird ein Zusammenhang zwischen dem Bestand und seiner Änderungsrate durch Differentialgleichungen beschrieben. Im Stadtbeispiel gilt B(t)=B′(t), B(0)=1 000 000. Die Lösung B(t)=1 000 000 eᵗ liefert für das Jahr 2030, also t=1, die Prognose B(1)≈2,718 Mio. Einwohner. Proportionales Wachstum führt zu exponentiellem Wachstum; bei natürlichen Obergrenzen sind Modelle wie logistisches Wachstum geeigneter.

Differenzierbarkeit ermöglicht numerische Verfahren wie das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen. Sie liefert auch lokale Näherungen, etwa √26≈5,1 aus der Linearisierung von √x bei x=25; das exakte Ergebnis ist √26=5,09901… und der Fehler kleiner als 1/1000. Durch Ableiten von Identitäten lassen sich außerdem Summenformeln gewinnen.

Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet Differentiation und Integration: Für F(x)=∫ₐˣ f(t)dt mit stetigem f gilt F′=f und ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Der Mittelwertsatz besagt unter den üblichen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbedingungen, dass ein x₀∈(a,b) existiert mit f′(x₀)=[f(b)−f(a)]/(b−a). Die Regel von de L’Hospital erlaubt unter ihren Voraussetzungen die Berechnung von Grenzwerten der Formen 0/0 oder ∞/∞ durch den Quotienten der Ableitungen.

Höhere Ableitungen, Taylorentwicklung und Grenzprozesse

Eine Funktion heißt n-mal stetig differenzierbar, wenn ihre Ableitung bis zur n-ten Ordnung stetig existiert; der entsprechende Raum wird mit Cⁿ(U) bezeichnet. Es gilt die Kette Cⁿ(U)⊊Cⁿ⁻¹(U)⊊…⊊C⁰(U). Beliebig oft differenzierbare Funktionen heißen glatt und bilden C∞(U). Analytische Funktionen bilden die strengere Klasse Cω(U): Sie stimmen lokal mit ihrer Taylorreihe überein. Es gilt Cω(U)⊊C∞(U); die glatte Funktion f(0)=0 und f(x)=e⁻¹/ˣ² für x≠0 ist ein Gegenbeispiel, weil dort alle Ableitungen in 0 verschwinden, obwohl die Funktion nicht überall null ist.

Für eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion gilt die Taylorformel

f(x)=Tₙ(a;x)+Rₙ₊₁(a;x),

mit Tₙ(a;x)=Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(a)/k! ·(x−a)ᵏ und Rₙ₊₁(a;x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!·(x−a)ⁿ⁺¹ für ein ξ zwischen a und x. Eine Taylorreihe kann eine Funktion darstellen, muss dies bei einer glatten Funktion aber nicht tun.

Bei Funktionenfolgen darf der Grenzübergang im Allgemeinen nicht mit dem Ableiten vertauscht werden, auch nicht bei gleichmäßiger Konvergenz. Konvergieren dagegen die Ableitungen stetig differenzierbarer Funktionen gleichmäßig gegen g und konvergieren die Funktionswerte an mindestens einem Punkt, so konvergiert die Folge gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion f mit f′=g. Entsprechende Bedingungen erlauben das gliedweise Ableiten bestimmter Funktionenreihen. Für g(x)=∫ₐᵇ f(t,x)dt gilt bei stetiger partieller Ableitung die Leibnizsche Regel g′(x)=∫ₐᵇ ∂f(t,x)/∂x dt.

Komplexe und mehrdimensionale Differentialrechnung

Für eine Funktion f:U→ℂ ist komplexe Differenzierbarkeit in z definiert durch

f′(z)=limₕ→0 [f(z+h)−f(z)]/h,

wobei h komplexe Werte aus allen Richtungen annehmen darf. Daher ist diese Eigenschaft wesentlich strenger als reelle Differenzierbarkeit; die Betragsfunktion z↦|z| ist nirgends komplex differenzierbar. Eine komplexe Funktion ist genau dann komplex differenzierbar in einem Punkt, wenn sie dort total differenzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Ist sie auf einer offenen Menge überall komplex differenzierbar, heißt sie holomorph; holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar und analytisch. Auf ganz ℂ holomorphe Funktionen heißen ganze Funktionen.

Bei Funktionen mehrerer reeller Variablen gibt es viele Richtungen. Die Richtungsableitung in Richtung v ist

Dᵥf(x₀)=limₕ→0 [f(x₀+hv)−f(x₀)]/h.

Die Richtungsableitungen in Koordinatenrichtungen heißen partielle Ableitungen. Für eine skalare Funktion werden sie im Gradienten ∇f zusammengefasst. Eine Funktion f:ℝⁿ→ℝᵐ ist total differenzierbar, wenn sie lokal durch eine lineare Abbildung L angenähert werden kann; deren Matrixdarstellung heißt Jacobi-Matrix J_f und hat m Zeilen und n Spalten. Existieren stetige partielle Ableitungen in einer Umgebung, folgt totale Differenzierbarkeit; bloße Existenz der partiellen Ableitungen genügt nicht.

Die mehrdimensionale Kettenregel lautet J_{g∘f}(x₀)=J_g(f(x₀))J_f(x₀); die Reihenfolge der Matrizen ist wichtig. Für implizite Gleichungen F(x,y(x))=0 gilt bei F_y≠0: y′=−F_x/F_y. Der Satz von Schwarz erlaubt das Vertauschen gemischter partieller Ableitungen, wenn diese bis zur betreffenden Ordnung stetig sind. Extrema werden zunächst durch ∂f/∂x_j=0 für alle j gesucht und anschließend etwa mit der Hesse-Matrix untersucht.

Weiterführende Theorien und Anwendungen

Differentialgleichungen enthalten Ableitungen unbekannter Funktionen und modellieren unter anderem Wachstum, Bewegung und Kräfte. Das newtonsche Bewegungsgesetz lautet F⃗(t)=m a⃗(t)=m r⃗¨(t)=m d²r⃗(t)/dt². Differentialgeometrie überträgt die Analysis auf gekrümmte Räume und Mannigfaltigkeiten. Sie untersucht etwa Geodätische, also kürzeste Wege auf gekrümmten Flächen, und verwendet Differentialformen zur koordinatenunabhängigen Integration.

Weitere Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung sind Fehlerrechnung, numerische Lösung von Gleichungssystemen und Optimierung unter Nebenbedingungen. Für das Volumen V=lbh eines Quaders gilt bei Messfehlern Δl, Δb und Δh:

ΔV=bhΔl+hlΔb+lbΔh.

Allgemein wird der Fehler näherungsweise durch Δf=Σₖ₌₁ⁿ |∂f/∂xₖ(m)|Δxₖ angegeben. Zur Lösung von f(x⃗)=0 dient unter geeigneten Voraussetzungen das mehrdimensionale Newton-Verfahren x⃗ₙ₊₁=x⃗ₙ−J_f(x⃗ₙ)⁻¹f(x⃗ₙ).

In der Mikroökonomie beschreibt die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion F(K,L)=T·KᵅL¹⁻ᵅ mit α∈(0,1) den Output in Abhängigkeit von Kapital K, Arbeit L und Technologie T. Die ersten partiellen Ableitungen sind positiv, die zweiten negativ: Mehr Input erhöht den Output, aber mit abnehmenden Zuwächsen. Die Produktionselastizität des Kapitals entspricht dem Exponenten α.

Für nicht stetige Funktionen wurden Distributionen und schwache Ableitungen eingeführt. Die Fréchet-Ableitung verallgemeinert die Linearisierung auf normierte topologische Vektorräume. Eine Übertragung der Ableitung auf andere Ringe und Algebren führt zur Derivation.